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在更帶分析味的方向上，我們得到了現(xiàn)在被稱為非交換調(diào)和分析的理論。這是Fourier理論的推廣，對于后者，F(xiàn)ourier級數(shù)或者是Fourier積分本質(zhì)上對應(yīng)于圓周和直線的交換李群，當我們用更為復(fù)雜的李群代替它們時，我們就可以得到一個非常漂亮、非常精巧并且將李群表示理論和分析融為一體的理論，這本質(zhì)上是Harish-Chandra一生的工作。 在數(shù)論方面，整個“Langlands綱領(lǐng)”,現(xiàn)在許多人都這樣稱呼它，緊密聯(lián)系于Harish-Chandra理論，產(chǎn)生于李群理論之中。對于每一個李群，我們都可以給出相應(yīng)的數(shù)論和在某種程度實施Langlands綱領(lǐng)。在本世紀后半葉，代數(shù)數(shù)論的一大批工作深受其影響，模形式的研究就是其中一個很好的例證，這還包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工作。 也許有人認為李群只不過在幾何范疇內(nèi)特別重要而已，因為這是出于連續(xù)變量的需要。然而事實并非如此，有限域上的李群的類似討論可以給出有限群，并且大多數(shù)有限群都是通過這種方式產(chǎn)生的。因此李群理論的一些技巧甚至可以被應(yīng)用到有限域或者是局部域等一些離散情形中。這方面有許多純代數(shù)的工作，例如與George Lusztig名字聯(lián)系在一起的工作。在這些工作中，有限群的表示理論被加以討論，并且我已經(jīng)提到的許多技術(shù)在這里也可以找到它們的用武之地。 在這項研究中，有一個可以彌補缺點的優(yōu)點。我在這里實際上指的是在所有的所謂“散在群”(sporadic groups)中，最大的被賦予了“魔群”名字的那一個。我認為魔群的發(fā)現(xiàn)這件事本身就是有限單群分類中最叫人興奮的結(jié)果了?？梢钥闯瞿菏且粋€極其有意思的動物而且現(xiàn)在還處于被了解之中。它與數(shù)學(xué)的許多分支的很大一部分有著意想不到的聯(lián)系，如與橢圓模函數(shù)的聯(lián)系，甚至與理論物理和量子場論都有聯(lián)系。這是分類工作的一個有趣的副產(chǎn)品。正如我所說的，有限單群分類本身關(guān)上了大門，但是魔群又開啟了一扇大門。 在十九世紀，Hamilton發(fā)展了經(jīng)典力學(xué)，引入了現(xiàn)在稱為Hamilton量的形式化。經(jīng)典力學(xué)導(dǎo)出現(xiàn)在所謂的“辛幾何”，這是幾何的一個分支，雖然很早已經(jīng)有人研究了，但是實際上直到最近二十年，這個課題才得到真正的研究，這已經(jīng)是幾何學(xué)非常豐富的一部分。幾何學(xué)，我在這里使用這個詞的意思是指，它有三個分支：Riemann幾何，復(fù)幾何和辛幾何，并且分別對應(yīng)三個不同類型的李群。辛幾何是它們之中最新發(fā)展起來的，并且在某種意義下也許是最有趣的，當然也是與物理有極其緊密聯(lián)系的一個，這主要因為它的歷史起源與Hamilton力學(xué)有關(guān)以及近些年來它與量子力學(xué)的聯(lián)系，現(xiàn)在，我前面提到過的、作為電磁學(xué)基本線性方程的Maxwell方程，是Hodge在調(diào)和形式方面工作和在代數(shù)幾何中應(yīng)用方面工作的源動力。這是一個非常富有成果的理論，并且自從本世紀三十年代以來已經(jīng)成為幾何學(xué)中的許多工作的基礎(chǔ)。 以一種更具體和明顯的方式，結(jié)晶學(xué)的古典形式是與晶體結(jié)構(gòu)的對稱性有關(guān)的。第一個被研究的實例是發(fā)生在點周圍的有限對稱群，這是鑒于它們在結(jié)晶學(xué)中的應(yīng)用。在本世紀中，群論更深刻的應(yīng)用已經(jīng)轉(zhuǎn)向與物理的關(guān)系，被假設(shè)用來構(gòu)成物質(zhì)的基本粒子看起來在最小的層面上有隱藏的對稱性，在這個層面上，有某些李群在此出沒，對此我們看不見，但是當我們研究粒子的實際行為時，它們的對稱性就顯現(xiàn)無遺了。所以我們假定了一個模型，在這個模型當中，對稱性是一個本質(zhì)性的要素，而且目前那些很普遍的不同理論都有一些象SU(2)和SU(3)那樣的基本李群融入其中并構(gòu)成基礎(chǔ)的對稱群，因此這些李群看起來象是建設(shè)物質(zhì)大廈的磚石。 并不是只有緊李群才出現(xiàn)在物理中，一些非緊李群也出現(xiàn)在物理中，例如Lorentz群，正是由物理學(xué)家第一個開始研究非緊李群的表示理論的。它們是那些能夠發(fā)生在Hilbert空間的表示，這是因為，對于緊群而言，所有不可約表示都是有限維的，而非緊群需要的是無窮維表示，這也是首先由物理學(xué)家意識到的。 在二十世紀的最后25年里，正如我剛剛完成闡述的，有一種巨大的從物理學(xué)的新思想到數(shù)學(xué)的滲透，這也許是整個世紀最引人注目的事件之一，就這個問題本身，也許就需要一個完整的報告，但是，基本上來講，量子場論和弦理論已經(jīng)以引人注目的方式影響了數(shù)學(xué)的許多分支，得到了眾多的新結(jié)果、新思想和新技術(shù)。這里，我的意思是指物理學(xué)家通過對物理理論的理解已經(jīng)能夠預(yù)言某些在數(shù)學(xué)上是對的事情了。當然，這不是一個精確的證明，但是確有非常強有力的直覺、一些特例和類比所支持。數(shù)學(xué)家們經(jīng)常來檢驗這些由物理學(xué)家預(yù)言的結(jié)果，并且發(fā)現(xiàn)它們基本上是正確的，盡管給出證明是很困難的而且它們中的許多還沒有被完全證明。 所以說沿著這個方向，在過去的25年里取得了巨大的成果，這些結(jié)果是極其細致的，這并不象物理學(xué)家所講的“這是一種應(yīng)該是對的東西”。他們說：“這里有明確的公式，還有頭十個實例（涉及超過12位的數(shù)字）”。他們會給出關(guān)于復(fù)雜問題的準確答案，這些決不是那種靠猜測就能得到的，而是需要用機器計算的東西，量子場論提供了一個重要的工具，雖然從數(shù)學(xué)上來理解很困難，但是站在應(yīng)用的角度，它有意想不到的回報。這是最近25年中真正令人興奮的事件。 在這里我列一些重要的成果：Simon Dona1dson在四維流形方面的工作；Vaughan-Jones在扭結(jié)不變量方面的工作；鏡面對稱，量子群；再加上我剛才提到的“魔群”。 這個主題到底講的是什么呢？正如我在前面提到過的一樣，二十世紀見證了維數(shù)的一種轉(zhuǎn)換并且以轉(zhuǎn)換為無窮維而告終，物理學(xué)家超越了這些，在量子場論方面，他們真正試圖對廣泛的無窮維空間進行細致的研究，他們處理的無窮維空間是各類典型的函數(shù)空間，它們非常復(fù)雜，不僅是因為它們是無窮維的，而且它們有復(fù)雜的代數(shù)、幾何以及拓撲，還有圍繞其中的很大的李群，即無窮維的李群，因此正如二十世紀數(shù)學(xué)的大部分涉及的是幾何、拓撲、代數(shù)以及有限維李群和流形上分析的發(fā)展，這部分物理涉及了在無窮維情形下的類似處理。當然，這是一件非常不同的事情，但確有巨大的成功。 讓我更詳盡地解釋一下，量子場論存在于空間和時間中，空間的真正的意義是三維的，但是有簡化的模型使我們將空間取成一維，在一維空間和一維時間里，物理學(xué)家遇到的典型事物，用數(shù)學(xué)語言來講，就是由圓周的微分同胚構(gòu)成的群或者是由從圓周到一個緊李群的微分映射構(gòu)成的群。它們是出現(xiàn)在這些維數(shù)里的量子場論中的兩個非?；镜臒o窮維李群的例子，它們也是理所當然的數(shù)學(xué)事物并且已經(jīng)被數(shù)學(xué)家們研究了一段時間。 在這樣一個1＋1維理論中，我們將時空取成一個Riemann曲面并且由此可以得到很多新的結(jié)果。例如，研究一個給定虧格數(shù)的Riemann曲面的?？臻g是個可以追溯到上個世紀的古典課題。而由量子場論已經(jīng)得到了很多關(guān)于這些?？臻g的上同調(diào)的新結(jié)果。另一個非常類似的?？臻g是一個具有虧格數(shù)g的Riemann曲面上的平坦G-叢的?？臻g。這些空間都是非常有趣的并且量子場論給出關(guān)于它們的一些精確結(jié)果。特別地，可以得到一些關(guān)于體積的很漂亮的公式，這其中涉及到Zeta函數(shù)的取值。 另一個應(yīng)用與計數(shù)曲線(counting curve)有關(guān)。如果我們來看給定次數(shù)和類型的平面代數(shù)曲線，我們想要知道的是，例如，經(jīng)過那么多點究竟有多少曲線，這樣我們就要面臨代數(shù)幾何的計數(shù)問題，這些問題在上個世紀一直是很經(jīng)典的。而且也是非常困難的?，F(xiàn)在它們已經(jīng)通過被稱為“量子上同調(diào)”的現(xiàn)代技術(shù)解決了，這完全是從量子場論中得到的?；蛘呶覀円部梢越佑|那些關(guān)于不在平面上而在彎曲族上的曲線的更加困難的問題，這樣我們得到了另一個具有明確結(jié)果的被稱為鏡面對稱的美妙理論，所有這些都產(chǎn)生于1＋1維量子場論。 如果我們升高一個維數(shù)，也就是2-維空間和1-維時間，就可以得到Vaughan-Jones的扭結(jié)不變量理論，這個理論已經(jīng)用量子場論的術(shù)語給予了很美妙的解釋和分析。 量子場論另一個結(jié)果是所謂的“量子群”。現(xiàn)在關(guān)于量子群的最好的東西是它們的名字，明確地講它們不是群！如果有人要問我一個量子群的定義，我也許需要用半個小時來解釋，它們是復(fù)雜的事物，但毫無疑問它們與量子理論有著很深的聯(lián)系它們源于物理，而且現(xiàn)在的應(yīng)用者是那些腳踏實地的代數(shù)學(xué)家們，他們實際上用它們進行確定的計算。 如果我們將維數(shù)升得更高一些，到一個全四維理論（三加一維），這就是Donaldson的四維流形理論，在這里量子場論產(chǎn)生了重大影響，特別地，這還導(dǎo)致Seiberg和Witten建立了他們相應(yīng)的理論，該理論建立在物理直覺之上并且也給出許多非同尋常的數(shù)學(xué)結(jié)果。所有這些都是些突出的例子，其實還有更多的例子。 接下來是弦理論并且這已經(jīng)是過時的了！我們現(xiàn)在所談?wù)摰氖荕一理論，這是一個內(nèi)容豐富的理論，其中同樣有大量的數(shù)學(xué)，從關(guān)于它的研究中得到的結(jié)果仍有待于進一步消化并且足可以讓數(shù)學(xué)家們忙上相當長的時間。 二十世紀大致可以一分為二地分成兩部分。我認為二十世紀前半葉是被我稱為“專門化的時代”，這是一個Hilbert的處理辦法大行其道的時代，即努力進行形式化，仔細地定義各種事物，并在每一個領(lǐng)域中貫徹始終。正如我說到過的，Bourbaki的名字是與這種趨勢聯(lián)系在一起的，在這種趨勢下，人們把注意力都集中于在特定的時期從特定的代數(shù)系統(tǒng)或者其它系統(tǒng)能獲得什么。二十世紀后半葉更多地被我稱為“統(tǒng)一的時代”，在這個時代，各個領(lǐng)域的界限被打破了，各種技術(shù)可以從一個領(lǐng)域應(yīng)用到另外一個領(lǐng)域，并且事物在很大程度上變得越來越有交叉性。我想這是一種過于簡單的說法，但是我認為這簡單總結(jié)了我們所看到的二十世紀數(shù)學(xué)的一些方面。 二十一世紀會是什么呢？我已經(jīng)說過，二十一世紀是量子數(shù)學(xué)的時代，或者，如果大家喜歡，可稱為是無窮維數(shù)學(xué)的時代。這意味著什么呢？量子數(shù)學(xué)的含義是指我們能夠恰當?shù)乩斫夥治觥缀?、拓撲和各式各樣的非線性函數(shù)空間的代數(shù)，在這里，“恰當?shù)乩斫狻?，我是指能夠以某種方式對那些物理學(xué)家們已經(jīng)推斷出來的美妙事物給出較精確的證明。 有人要說，如果用天真幼稚的方式(naive way)來研究無窮維并問一些天真幼稚的問題，通常來講，只能得到錯誤的答案或者答案是無意義的，物理的應(yīng)用、洞察力和動機使得物理學(xué)家能夠問一些關(guān)于無窮維的明智的問題，并且可以在有合乎情理的答案時作一些非常細致的工作，因此用這種方式分析無窮維決不是一件輕而易舉的事情。我們必須沿著這條正確的道路走下去。我們已經(jīng)得到了許多線索，地圖已經(jīng)攤開了：我們的目標已經(jīng)有了，只不過還有很長的路要走。 還有什么會發(fā)生在二十一世紀？我想強調(diào)一下Connes的非交換微分幾何，Alain Connes擁有這個相當宏偉的統(tǒng)一理論，同樣，它融合了一切、它融合了分析、代數(shù)、幾何、拓撲、物理、數(shù)論，所有這一切都是它的一部分。這是一個框架性理論，它能夠讓我們在非交換分析的范疇里從事微分幾何學(xué)家通常所做的工作，這當中包括與拓撲的關(guān)系。要求這樣做是有很好的理由的，因為它在數(shù)論、幾何、離散群等等以及在物理中都有（潛力巨大的或者特別的）應(yīng)用。一個與物理有趣的聯(lián)系也剛剛被發(fā)現(xiàn)。這個理論能夠走多遠，能夠得到什么結(jié)果，還有待進一步觀察，它理所當然地是我所期望的至少在下個世紀頭十年能夠得到顯著發(fā)展的課題，而且找到它與尚不成熟的（精確）量子場論之間的聯(lián)系是完全有可能的。 我們轉(zhuǎn)到另一個方面，也就是所謂的“算術(shù)幾何”或者是Arakelov幾何，其試圖盡可能多地將代數(shù)幾何和數(shù)論的部分內(nèi)容統(tǒng)一起來。這是一個非常成功的理論。它已經(jīng)有了一個美好的開端，但仍有很長的路要走，這又有誰知道呢？ 當然，所有這些都有一些共同點。我期待物理學(xué)能夠?qū)⑺挠绊懕榧八械胤?，甚至是?shù)論：Andrew Wiles不同意我這樣說，只有時間會說明一切。 這些是我所能看到的在下個十年里出現(xiàn)的幾個方面，但也有一些難以捉摸的東西：返回至低維幾何，與所有無窮維的富有想象的事物在一起，低維幾何的處境有些尷尬。從很多方面來看，我們開始時討論的維數(shù)，或我們祖先開始時的維數(shù)，仍留下某些未解之謎。維數(shù)為2，3和4的對象被我們稱為“低”維的，例如Thurston在三維幾何的工作，目標就是能夠給出一個三維流形上的幾何分類，這比二維理論要深刻得多，Thurston綱領(lǐng)還遠遠沒有完成，完成這個綱領(lǐng)當然將是一個重要的挑戰(zhàn)。 在三維中另外一個引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本質(zhì)上來源于物理的工作。這給了我們更多的關(guān)于三維的信息，并且它們幾乎完全不在Thurston綱領(lǐng)包含的信息之內(nèi)。如何將這兩個方面聯(lián)系起來仍然是一個巨大的挑戰(zhàn)，但是最近得到的結(jié)果暗示兩者之間可能有一座橋，因此，整個低維的領(lǐng)域都與物理有關(guān)，但是其中實在有太多讓人琢磨不透的東西。 最后，我要提一下的是在物理學(xué)中出現(xiàn)的非常重要的“對偶”。這些對偶，泛泛地來講，產(chǎn)生于一個量子理論被看成一個經(jīng)典理論時有兩種不同的實現(xiàn)。一個簡單的例子是經(jīng)典力學(xué)中的位置和動量的對偶。這樣由對偶空間代替了原空間，并且在線性理論中，對偶就是Fourier變換，但是在非線性理論中，如何來代替Fourier變換是巨大的挑戰(zhàn)之一。數(shù)學(xué)的大部分都與如何在非線性情形下推廣對偶有關(guān)，物理學(xué)家看起來能夠在他們的弦理論和M一理論中以一種非同尋常的方式做到了這一點。他們構(gòu)造了一個又一個令人嘆為觀止的對偶實例，在某種廣義的意義下，它們是Fourier變換的無窮維非線性體現(xiàn)，并且看起來它們能解決問題，然而理解這些非線性對偶性看起來也是下個世紀的巨大挑戰(zhàn)之一。 我想我就談到這里。這里還有大量的工作，并且我覺得象我這樣的一個老人可以和你們這么多的年輕人談?wù)勈且患浅：玫氖虑?。而且我也可以對你們說：在下個世紀，有大量的工作在等著你們?nèi)ネ瓿伞?/p> 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