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李，M．S． 許以超 (中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所) 李， M． S．(Lie，Marius Sophus)1842年12月17日生于挪威努爾菲尤爾埃德；1899年2月18日卒于挪威克里斯蒂安尼亞(今奧斯陸)．?dāng)?shù)學(xué)． 李在家中是六個孩子中最小的一個，小學(xué)和中學(xué)畢業(yè)后，從1859年到1865年就讀于克里斯蒂安尼亞大學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)．畢業(yè)后，擔(dān)任家庭教師，這時他對天文有些興趣，又想去學(xué)機(jī)械，直到1868年，在一個極偶然的機(jī)會，他看到了J．V．彭賽列(Pon－celet)和J．普呂克爾(Plücker)的論文，才使他走上了數(shù)學(xué)工作的道路．普呂克爾提出了射影空間的概念，即打破了傳統(tǒng)，不用空間中的點(diǎn)而用空間中直線為元素，構(gòu)成新的空間，研究它們的幾何性質(zhì)．在當(dāng)時，這種新的思想，深深地吸引了他，使得他去考慮其他類型的空間，從而成為李群這個學(xué)科的創(chuàng)始人．所以他雖然從來也沒有見過普呂克爾，但總是聲稱自己是普呂克爾的學(xué)生． 李的早期工作屬于微分幾何范疇．他的第一篇論文，使得他獲得了國外的獎學(xué)金．在1869年秋，他來到柏林．在那里，他和F．克萊因(Klein)交上了朋友．(克萊因比李小7歲，和李一樣，也是受了普呂克爾的影響而對幾何感興趣，但是普呂克爾是克萊因的老師．)他們兩人具有迥然不同的風(fēng)格．克萊因是一個代數(shù)學(xué)家，他常常被迷人的問題的特殊性所傾倒，而李卻是一個分析學(xué)家，他常常撇開特殊情況，而力圖用適當(dāng)?shù)囊话阈詠砝斫鈫栴}．然而他們兩人之間的友誼，對他們兩人在數(shù)學(xué)上的進(jìn)步卻是非常關(guān)鍵的． 1870年夏天，李和克萊因一同到了巴黎，他們結(jié)識了G．達(dá)布(Darboux)和C．若爾當(dāng)(Jordan)．這時，李受法國analla-gmatic學(xué)派思想的影響，發(fā)現(xiàn)了他的著名的接觸變換．應(yīng)用于曲面情形，這種變換將直線映為球，將主切曲線映為曲率線． 這年7月，法國和普魯士間爆發(fā)了戰(zhàn)爭．8月，他決定步行到意大利，但是在楓丹白露附近，他被誤會為間諜而抓了起來，過了一個月，才被達(dá)布營救出獄，他轉(zhuǎn)道意大利，再回到德國． 1871年，李得到了克里斯蒂安尼亞大學(xué)的獎學(xué)金，同時在中學(xué)母校中做兼職教員．1872年，他在克里斯蒂安尼亞大學(xué)獲得了博士學(xué)位．這期間，他和A．邁耶(Mayer)同時獨(dú)立地建立了偏微分方程的積分理論，這個理論現(xiàn)在已經(jīng)成為普通教科書的內(nèi)容之一，在李獲得博士學(xué)位后，他在克里斯蒂安尼亞大學(xué)主持了一個數(shù)學(xué)講座． 大概在1870年左右，群論成為當(dāng)時數(shù)學(xué)研究的主流之一．到1872年，克萊因發(fā)表了他的著名的埃朗根綱領(lǐng)，即幾何學(xué)是研究空間中圖形在一已知變換群之下不變的性質(zhì)的學(xué)科．受他的影響，李從1873年開始，從研究接觸變換的不變量轉(zhuǎn)向了研究變換群理論．這是他最有成就的研究領(lǐng)域．他考慮n維空間中依賴于r個參數(shù)的光滑映射所構(gòu)成的群，他命名為有限連續(xù)群(有限是指依賴于有限個參數(shù)，連續(xù)實(shí)際上是指光滑)，這個理論在19世紀(jì)70年代已經(jīng)做好了奠基工作，但是發(fā)表得比較遲． 在1873年，李還和P．L．M．西羅(Sylow)一起，擔(dān)任了N．阿貝爾(Abel)遺著的編輯工作． 李在1874年和安娜·伯奇(Anna Birch)結(jié)婚，婚后生有二子一女． 直到1876年，他又回到微分幾何方面的研究，同年他和GO．薩斯 naturvidenskab”． 在1882年，由于G．H．阿爾方(Halphen)和利格爾(Legu-erre)在微分不變式方面的文章，促使他再次轉(zhuǎn)向變換群的研究． 在克里斯蒂安尼亞大學(xué)的十多年中，李非常孤立，學(xué)生們對他的研究工作不感興趣．在國外，除了克萊因、邁耶和C．E．皮卡(Picard)外，也沒有人注意他的工作，例如，在《進(jìn)展》(Fortschri-tte)雜志中關(guān)于李的工作的報(bào)道是由李本人寫的，這實(shí)際上是一種反?，F(xiàn)象．直到F．恩格爾(Engel)的到來，才逐漸打破了這種狀態(tài)．其原因在于，李的思想被隱藏在他的極復(fù)雜的表達(dá)和算式中，李不善于抽象提煉，也是受了當(dāng)時時代潮流的影響太深之故． 1884年，恩格爾剛拿到博士學(xué)位，于是克萊因和邁耶勸他到克里斯蒂安尼亞大學(xué)向李學(xué)習(xí)變換群，并且?guī)椭顚懸槐娟P(guān)于變換群方面的綜合性著作．恩格爾在李處工作了9個月，由于恩格爾的努力，這部巨著終于完成了，后來，從1888年到1893年分三卷出版． 到1886年，克萊因回到格丁根大學(xué)任教，在他的推薦下，李受聘去德國萊比錫繼任講座職務(wù)．在這里，李的工作的影響擴(kuò)大了．而克萊因和J．H．龐加萊等人不斷地鼓勵學(xué)生到萊比錫學(xué)習(xí)這種新數(shù)學(xué)．所以繼恩格爾后，又有了一批學(xué)生，其中之一為G舍費(fèi)爾斯(Scheffers)．李和他一起出版了有關(guān)變換群、微分方程和接觸變換的局部幾何方面的教科書．這時，李的工作方向?yàn)楹ツ坊羝澘臻g問題．這是1868年由H．von亥姆霍茲(Holmholtz)提出來的．1890年，李發(fā)現(xiàn)了亥姆霍茲的文章有問題，經(jīng)過改進(jìn)，成了現(xiàn)在的所謂亥姆霍茲-李空間問題． 不幸的是，李在1889年得了當(dāng)時稱之為神經(jīng)衰弱的病，在精神病醫(yī)院治療后，從1890年開始繼續(xù)工作．但是他的性格有了很大的變化，盡管他的名望甚高，他仍然變得很多疑和敏感． 直到1898年，他的挪威朋友勸他回祖國工作，他毅然放棄他在當(dāng)時世界數(shù)學(xué)中心——德國的第一流的講座職務(wù)，在9月回到了克里斯蒂安尼亞大學(xué)作一個普通教授．在那里，專門為他設(shè)立了一個數(shù)學(xué)講座．1899年，他因惡性貧血而去世，享年55歲．他的所有著作由恩格爾和P．希加德(Heegaard)編輯成冊，并且加上了很好的注解． 李群及其李代數(shù)是20世紀(jì)重要學(xué)科之一．李群是一個群，又是一個光滑流形，且乘法運(yùn)算和取逆運(yùn)算關(guān)于流形結(jié)構(gòu)而言是光滑的．李代數(shù)是一個具有換位運(yùn)算(記作[，])的線性空間，它適合條件[a，b］=－[b，a]，[λa+μb，c]=λ[a，c]+μ[b，c]，[[a，b]，c]+[[c，a]，b]+[[b，c]，a]=0，其中a，b，c為向量，λ，μ為數(shù)． 由于在1935年H．外爾(Weyl)給出流形的嚴(yán)格定義前，不可能用別的辦法理解李群，實(shí)際上，李發(fā)現(xiàn)的是局部李群，他首先建立了局部李群和它的李代數(shù)間的三個基本定理和逆定理．記U為n維立方體，U中點(diǎn)x和y間可定義乘法x·y=f(x，y)，只要f(x，y)∈U．在容許情況下有結(jié)合律，又原點(diǎn)為單位元素，且對x∈U，存在y∈U使 理說乘法函數(shù)f(x，y)適合普法夫(Pfaff)方程組 則有泊松(Poīsson)括號 此即以X1，…，Xn為基之n維線性空間在柏松括號下構(gòu)成李代數(shù)．于是李引進(jìn)了局部李群U的李代數(shù)．反之，三個基本定理之逆是極其出人意料之外的．它告訴我們，隨便給出一個有限維李代數(shù)，即給出適合條 普法夫方程組(1)，且f(x，y)定義了一個局部李群．所以李的基本定理給出了局部李群和李代數(shù)間的充分必要關(guān)系．用現(xiàn)代語言來說，李代數(shù)完全決定了李群的局部性質(zhì)．從這個基本定理出發(fā)，就把局部李群的問題，化為純粹且相對簡單的代數(shù)問題． 實(shí)際上，李群理論的第一步就是弄清和它的李代數(shù)的關(guān)系，引進(jìn)單參數(shù)子群．所以李的奠基性工作，使得這個學(xué)科能夠建立起來．李的另一個工作是希望建立微分方程求解的伽羅瓦(Galois)理論，雖然他未能成功，但是他給出了著名的李定理：線性可解李代數(shù)的任一表示有公共特征向量． 李實(shí)際上是微分幾何和偏微分方程學(xué)家．他具有幾何直覺的天賦．李在李變換群方面的工作，給數(shù)學(xué)展開了一個新的天地．從一開始，李群就和分析、代數(shù)及幾何密切相關(guān)． 李在李變換群方面的工作，由他的學(xué)生恩格爾，W．基靈(Killing)，舍費(fèi)爾斯，舒爾(Schur)，E．嘉當(dāng)(Cartan)繼承和發(fā)展．特別是嘉當(dāng)，繼承了李的各個方向，成為20世紀(jì)最著名的幾何學(xué)家之一．到1922—1923年，韋爾在緊李群方面的系統(tǒng)工作，以及在韋爾明確提出流形的概念后，李群才發(fā)展成當(dāng)代重要的學(xué)科之一．它在數(shù)學(xué)的各個分支，在理論物理及其他眾多學(xué)科中，都得到了大量的應(yīng)用． |
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