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初二我們學(xué)習(xí)全等的時(shí)候，知道旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，畢竟全等是相似的一種特殊情況，今天我們主要談?wù)勑D(zhuǎn)在相似中的體現(xiàn)。   先看初二的一道典型例題：  例題：如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，分別以AB、BC為邊向同一側(cè)作等邊三角形△ABD、△BCE，連接AE、CD交于點(diǎn)F。求證：AE=CD。  大家立刻可以在圖中發(fā)現(xiàn)手拉手的基本模型，加上要證線段相等，需要證明全等，從而發(fā)現(xiàn)只要證明△ABE≌△DBC就行了。解決完問題之后，老師都會(huì)告訴大家其實(shí)△ABE可以看作是將△DBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°就行了，加深大家對(duì)旋轉(zhuǎn)和手拉手的印象。換個(gè)角度，其實(shí)也可以看做△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△EBC，只不過此時(shí)△ABD和△EBC不是全等，而是相似。 其實(shí)這就是相似中的一種基本圖形——手拉手。如下圖所示是圖形的基本特點(diǎn)，題目條件為∠POQ=∠MON，其實(shí)目的是告訴你∠QOM=∠PON；同理題目告訴你∠QOM=∠PON其實(shí)目的是告訴你∠POQ=∠MON。 顯然手拉手跟旋轉(zhuǎn)有千絲萬縷的聯(lián)系。   例題一：如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是△ABC外的一點(diǎn)，且∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，求證：∠ACB=∠AED。  分析： 從圖形中很容易發(fā)現(xiàn)△ABD∽△ACE，很顯然符合上圖的手拉手基本圖形，由此可以發(fā)現(xiàn)∠BAC＝∠DAE， 結(jié)合△ABD∽△ACE可以通過證明△ABC∽△ADE來證明∠BCA＝∠DEA。（如下圖所示）
解答：
例題二：已知，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn).點(diǎn)M為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接AM，將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ME，連接EC. （1）如圖1，若點(diǎn)M在線段BD上，求∠MCE的度數(shù). （2）如圖2，若點(diǎn)M在線段CD上，試探究線段AC、CE、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
分析： 這是今年蘇州市一模的一道試題，我們只討論第一題的解法，當(dāng)然由于我們這篇文章的主題，我們先從手拉手的角度來思考。題目中是存在旋轉(zhuǎn)的，將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ME ，而手拉手的旋轉(zhuǎn)是角的旋轉(zhuǎn)，也就是說是兩條有公共端點(diǎn)的線的旋轉(zhuǎn)，顯然點(diǎn)M處還缺一條線，從而我們想到過M點(diǎn)作垂直，如下圖。
仔細(xì)思考后發(fā)現(xiàn)向下作垂直所得到的三角形全等比較難證明，我們選擇向上作垂直來解答。 解答：
分析2： 我們除了從題目中直接看到的旋轉(zhuǎn)條件考慮補(bǔ)全旋轉(zhuǎn)圖形，還可以從AM、AN構(gòu)成等腰直角三角形的角度考慮，連接AD，就構(gòu)造出手拉手。如下圖所示，只需要證明△AMD∽△AEC就行了。
解答2：
引申： 當(dāng)然這道題還有其他不需要構(gòu)造手拉手的方法，下面給出另外的兩種路徑，大家可以自行思考一下。
（方法一可以先證明△ADM≌△MHE，然后說明△CEH為等腰直角三角形）
（方法二可以先證明△ACH∽△MEH，然后證明△AMH∽△CEH） 類似這樣的構(gòu)造旋轉(zhuǎn)手拉手，利用相似來解決問題的題目有很多，比如下面兩道習(xí)題，第一道也可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)手拉手來解決；第二道有手拉手的圖形 ，但需要通過相似來證明角相等，也不失為一種巧妙的考察方式。 1.如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)． 小明對(duì)圖①進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB．將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)． 請(qǐng)你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題： （1）當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示． ①∠BEP＝_________°； ②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是_________． （2）請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出△BPE，使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE．試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由． （3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AE的最小值．
2.如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB = 1，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)F是線段BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，EF，DF，EF交AD于點(diǎn)G.設(shè)BE = x，AF = y，已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示. （1）y與x的函數(shù)表達(dá)式為_________ ，邊BC的長(zhǎng)為_________ ； （2）求證:DE⊥DF； （3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形?如果存在，求出x的值；如果不存在，說明理由.
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