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旋轉(zhuǎn)定義：

在平面內(nèi)，把一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)。點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cPˊ，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點。

 旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：

①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。

旋轉(zhuǎn)三要素：

①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度。

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手拉手旋轉(zhuǎn)

所謂手拉手旋轉(zhuǎn)，就是把兩個全等或相似的三角形繞著一對重合的對應(yīng)頂點進行旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，再次生成一對全等或相似的三角形.其常見圖形如下：

1、一對相似的等腰三角形（以等腰直角三角形和等邊三角形最為常見）的頂角頂點重合

已知△ABC∽△ADE可得△ABD≌△ACE

2、全等三角形的一對對應(yīng)頂點重合

已知△ABC≌△ADE  可得△ABD∽△ACE

3、一對相似三角形的對應(yīng)頂點重合

已知△ABC∽△DEC可得△BCD∽△ACE

手拉手旋轉(zhuǎn)中以共直角頂點的等腰直角三角形和共頂點的等邊三角形最為常見，下面我們就以這兩種形式為例.來探究一下它們在旋轉(zhuǎn)中會出現(xiàn)哪些結(jié)論.

一、共直角頂點的等腰直角三角形

如圖，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形， ∠ABC=∠EBD=90°，AB=BC，EB=BD.試探究線段AE和CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.并說明理由.

解：AE=CE且AE⊥CD

理由如下：因為△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，所以AB=CB,EB=DB，且∠ABC=∠EBD=90°，則∠ABE=∠CBD.所以△ABE≌△CBD.所以AE=CD；

如圖，延長CD分別交AE、AB于點F、G.

由全等可知，∠BAE=∠BCD.又∠AGF=∠CGB

所以∠AFG=∠CBG=90°，即AE⊥CD.

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二、共頂點的等邊三角形

如圖，△ABC和△DBE都是等邊三角形，連接AE、CD.

求證：（1）AE=CD，（2）AE和CD所在直線所成的銳角等于60°

證明：因為△ABC和△DBE都是等邊三角形

所以AB=CB,EB=DB，且∠EBD=∠ABC=60°.

所以∠ABE=∠CBD

所以△ABE≌△CBD.

所以AE=CD.

（2）如圖，延長CD分別交AE、AB于點F、G.

由全等可得，∠GAF=∠BCG，又∠AGF=∠CGB.

所以∠AFG=∠CBG=60°.

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近年來，手拉手旋轉(zhuǎn)在各地的中考試卷中屢次出現(xiàn)，尤以等邊三角形的手拉手和共直角頂點的等腰直角三角形為甚.今天我們就以幾道河南中考題為例，探究一下手拉手旋轉(zhuǎn)在河南中考中的應(yīng)用.

（2017·河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．

（1）觀察猜想

 圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是     ，位置關(guān)系是      ；

（2）探究證明

 把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN面積的最大值．

分析：（1）由題可知BD=CE且BD⊥CE.又因為點P、M、N分別是CD、DE、BC的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知，PM=1/2CE且PM//CE；PN=1/2BD且PN//BD.所以PM=PN且PM⊥PN.當然，對于本題，結(jié)合題中的幾個中點，也可通過倍長中線或延長過中點的線段交平行線添加輔助線.如圖：

證明方法可參照中考數(shù)學(xué)中的基本模型——中點模型，請同學(xué)們自行完成.

（2）審題可知，圖中有一對共直角頂點的等腰直角三角形，易證△ABD≌△ACE.由全等可得，BD=CE且BD⊥CE.再根據(jù)中位線的性質(zhì)得，PM=1/2CE，PM//CE；PN=1/2BD，PN//BD.所以BD=CE且BD⊥CE.

（3）由第二問可知，△PMN是等腰直角三角形.

所以S△PMN=1/2PM*PN=1/8BD^2,

所以當BD取最大值時，△PMN的面積有最大值

分析可知，當點D落在BA的延長線上時，BD有最大值，此時BD=10=4=14.

所以△PMN面積的最大值為49/2.

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（2016·河南）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．

填空：當點A位于                                      　時，線段AC的長取得最大值，且最大值為                      （用含a，b的式子表示）

（2）應(yīng)用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

分析：（1）如圖：

觀察上面動圖，你有答案了嗎？對，當點A位于CB延長線上時，AC有最大值，此時AC=a b.

（2）題中有一對共頂點等邊三角形，易證△BAE≌△DAC，所以BE=DC，要使BE最大，只需CD最大即可.由上題可知，當點D落在CB的延長線上時，CD有最大值，此時CD=CB BD=3 1=4，所以BE的最大值是4.

（3）解法一：由題可知△PBM是等腰直角三角形，可構(gòu)造共頂點的等腰直角三角形.將點A繞點P順時針方向90°得到點C.如下作圖：

連接AC，BC.則AC=2√2.

易證△BPC≌△MPA.所以BC=AM.

要使AM取最大值，只需BC取最大值即可.

當點C在線段BA的延長線上時，BC取最大值.此時，BC=BA AC=2√2 3.

所以AM的最大值是2√2 3.

此時點P的坐標是P（2-√2，√2）

解法二：將點A繞點P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點C.

如下左圖. 連接AC，MC.則AC=2√2.

易證△MPC≌△BPA.所以MC=BA=3,.

當點C落在線段AM上時，AM取最大值，此時，AM=AC MC=2√2 3.

解法三：捆綁旋轉(zhuǎn)法（關(guān)于捆綁旋轉(zhuǎn)，可參閱文章再說捆綁旋轉(zhuǎn)）. 由題可知，AP=2，且點A為定點，所以點P在以點A為圓心，半徑為2的圓上. 如圖：

再來確定點M的軌跡. 由題可知，∠PBM=45°，且BM=√2BP.

所以點M可以看做是將點P繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再以點B為位似中心放大√2倍得到的. 因此將點P的軌跡，即圓P繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再以點B為中心放大√2倍，得到的就是點M的軌跡.而該圓的圓心就是將點A繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再以點B為位似中心放大√2倍得到的.如下左圖：

此時，AA''=AB=3，A''M=2√2.

當點M落在AA''的延長線上時，AM取最大值，此時AM=AA'' A''M=2√2 3.

若點M是由點B繞點P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，如圖：

此時，當AM取最大值時，點P的坐標是（2-√2，-√2）

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（2015·河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

 （1）問題發(fā)現(xiàn)

①當α=0°時，AE:BD=                  ；②當α=180°時，AE:BD=                  ．

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時，BD:CE的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

當△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長．

分析：（1）根據(jù)題意作圖如下：

則BD:CE=√5：2.

（2）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，可證△ACE∽△BCD，

所以AE:BD=AC:BC=√5：2.

（3）在△CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)的過程中，點D到點C的距離始終保持不變.所以點D在以點C為圓心，CD長為半徑的圓上.又∠CDE=90°，當A、D、E三點共線時，可得∠ADC=90°.根據(jù)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線可知，AD所在直線即為圓的切線.所以過點A作圓的切線，切點的位置即為點D的確定位置.如圖：

①如上左圖，因為AB=CD根據(jù)勾股定理可求AD=BC，又，且∠ABC=90°，所以四邊形ABCD是矩形，所以BD=AC=4√5.  ②如下圖：設(shè)AD與BC的交點為點F.

AB=CD,∠ABF=∠CDF，∠AFB=∠CFD.所以△ABF≌△CDF

所以AF=CF，BF=DF.

所以∠CBD=∠ACB.，過點D作DG⊥BC于點G.

則GD:BG=AB:BC=1:2，設(shè)DG=x，則BG=2x.所以CG=8-2x.

在Rt△CDG中，CG^2 DG^2=CD^2.

即x^2 (8-2x)^2=4^2，解得，x=4（舍去）或x=12/5.

所以BD=√5X=12√5/5.

綜上所述，BD=4√5或BD=12√5/5.

反思：本題的前兩問比較簡單，難點在于第三問，而第三問的難點又在于確定點D的位置，進而準確畫出所需圖形.在確定點D的過程中，根據(jù)A、D、E三點共線，且CD⊥DE.利用輔助圓及其切線巧妙地確定了點D的位置.（關(guān)于輔助圓的應(yīng)用可參考以下兩篇文章 （“圓”來如此——輔助圓在解題中的應(yīng)用（一）  、   “圓”來如此——輔助圓在解題中的作用（二））