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相似是初中幾何重要且難度較大的內(nèi)容，相似側(cè)重研究線段之間的比例關(guān)系，本文從一個(gè)例題的證明出發(fā)，探究圖形中存在的線段比例關(guān)系． 如圖，△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，延長(zhǎng)AB交CE的延長(zhǎng)線于P，若AD=2DE，求證：AP=3AB． 
思路分析：條件為兩個(gè)比例，AD：DE=2:1，BD：DC=1:1，求證AB：AP=1:3．
已知比例求比例，考慮作平行線得“A”字型或“8”字型，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化比例．重點(diǎn)考慮：過哪個(gè)點(diǎn)作哪條線的平行線？【思路1】考慮到問題是求證AB:AP=1:3，等價(jià)于AB:BP=1:2，不妨過點(diǎn)B作平行線．【思路2】考慮到條件中的兩個(gè)比例均與點(diǎn)D有關(guān)，不妨過點(diǎn)D作平行線．【思路3】除了B、D之外，剩下的A、P、E、C同樣可以試著作平行線，這四個(gè)點(diǎn)均為條件或問題中比例線段的一個(gè)端點(diǎn)．【思路4】既然已經(jīng)有這么多作法了，不妨猜想，在本題中，是否過任意一點(diǎn)作任意一邊平行線均可解決問題？實(shí)際上，只差作AC的平行線了．但輕易不作AC平行線，與其他線段相比，AC顯得最多余，甚至拿掉AC也是一個(gè)完整的題目．
【思路5】涉及到關(guān)于三角形中的比例線段，不妨考慮下Menelaus定理．
運(yùn)用梅涅勞斯定理解題，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)三角形和截線，本題涉及到比例的三條線分別為AP、BC、AE，構(gòu)成的三角形為△ABD，∴△ABD被PEC所截，得比例關(guān)系．回到上面的問題，我們?cè)谒伎紴槭裁丛诶}中我們從不同的角度作輔助線均可解決問題？如果從不同的位置作輔助線均能證明梅涅勞斯定理，也算是一種回答．過程雖略顯麻煩，但結(jié)果依然是肯定的，事實(shí)上，如果條件中有具體比例，則計(jì)算算不上復(fù)雜，對(duì)于定理的證明而言，不著急過截點(diǎn)作平行線．舉了以上3種情況，代表著過任意點(diǎn)作任意線的平行線均能證明定理，則必能解決比例計(jì)算的問題．問題到這里就可以結(jié)束了，但結(jié)果還不能讓人滿意，為什么三角形被直線所截，會(huì)有如此的比例關(guān)系？能否有更加直觀的解釋或證明？
也正因?yàn)榇吮疚臄R置甚久，直到我遇見了……
定理：如圖，點(diǎn)P在△ABC的外接圓上，過點(diǎn)P分別向△ABC三邊作垂線，則三個(gè)垂足共線．（即D、E、F共線）
或許涉及到比例的線段之間是這樣一種位置關(guān)系吧，或許探究還可以繼續(xù)，但我覺得我可以說服自己了，就這樣吧．
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