丘成桐 數(shù)學與人文 2016-02-20

（1969年，年輕的丘成桐在香港新界的海邊打太極拳）

【作者簡介：丘成桐，當代數(shù)學大師，現(xiàn)任哈佛大學講座教授，學術(shù)影響遍及理論物理和幾乎所有核心數(shù)學分支。年僅33歲就獲得代表數(shù)學界最高榮譽的菲爾茲獎(1982)，此后獲得MacArthur天才獎(1985)、瑞典皇家科學院Crafoord獎(1994)、美國國家科學獎(1997)、沃爾夫獎(2010)等眾多大獎?，F(xiàn)為美國科學院院士、中國科學院和俄羅斯科學院的外籍院士?！?/p>

本文載于高等教育出版社“數(shù)學與人文”叢書第16輯《數(shù)學與生活》，網(wǎng)絡轉(zhuǎn)載請注明出處，商業(yè)用途請聯(lián)系本社。http://academic./mh

5. 數(shù)學的意境

王國維在《人間詞話》中說：

詞以境界為最上。有境界則自成高格······有造境，有寫境，此理想與寫實二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩人所造之境必合乎自然，所寫之境亦必鄰于理想故也。有有我之境，有無我之境。“淚眼問花花不語，亂紅飛過秋千去?！薄ぁぁぁぁぁび形抑骋??！安删諙|籬下，悠然見南山?！薄ぁぁぁぁぁo我之境也。有我之境，以我觀物，故物皆著我之色彩。無我之境，以物觀物，故不知何者為我，何者為物。

無我之境，人惟于靜中得之。有我之境，于由動入靜時得之，故一優(yōu)美，一宏壯也。自然中之物則互相關(guān)系，互相限制。然其寫之于文學及美術(shù)中也，必有其關(guān)系限制之處。故雖寫實家亦理想家也。又雖如何虛構(gòu)之境，其材料必求之于自然，而其構(gòu)造亦必從自然之法則。故雖理想家亦寫實家也。

數(shù)學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境。當年歐拉開創(chuàng)變分法和推導流體方程，由自然現(xiàn)象引導，可謂無我之境；他又憑自己的想象力研究發(fā)散級數(shù)，而得到Zeta 函數(shù)的種種重要結(jié)果，開三百年數(shù)論之先河，可謂有我之境矣。另外一個例子是法國數(shù)學家格羅滕迪克(A. Grothendieck)。他著述極豐，以個人的哲學觀點和美感出發(fā)，竟然不用實例，建立了近代代數(shù)幾何的基礎，真可謂有我之境矣。

在幾何的研究中，我們發(fā)現(xiàn)狄拉克在物理上發(fā)現(xiàn)的旋子在幾何結(jié)構(gòu)中有魔術(shù)性的能力。我們不知道它內(nèi)在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結(jié)構(gòu)中的精髓。在應用旋子理論時，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個很微妙的事情。我們制造了曲率而讓曲率自動發(fā)酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無我之境矣。以前我提出用愛氏結(jié)構(gòu)來證明代數(shù)幾何的問題和用調(diào)和映像來看研究幾何結(jié)構(gòu)的剛性問題也可作如是觀。

不少偉大的數(shù)學家，以文學、音樂來培養(yǎng)自己的氣質(zhì)，與古人神交，直追數(shù)學的本源，來達到高超的意境。

《文心雕龍·神思篇》：

文之思也，其神遠矣。故寂然凝慮，思接千載；悄焉動容，視通萬里。吟詠之間，吐納珠玉之聲；眉睫之前，卷舒風云之色，其思理之致乎！

6. 數(shù)學的品評

好的工作應當是文已盡而意有余。大部分數(shù)學文章質(zhì)木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時所好，往往十數(shù)年后始見其功。

我曾經(jīng)用一個嶄新的方法去研究調(diào)和函數(shù)，以后和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的贊賞，直到最近五年大家才領(lǐng)會到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺得意猶未盡。

我的老師陳省身先生在他的文集中引杜甫詩“文章千古事，得失寸心知”。而杜甫就曾批評初唐四杰的作品“王楊盧駱當時體，不廢江河萬古流”。

時俗所好的作品，不必為作者本人所認同。舉個例子，白居易留傳至今的詩甚多，最出名之一是《長恨歌》，但他給元微之的信中卻說：

及再來長安，又聞有軍使高霞寓者欲聘娼妓，妓大夸曰：“我誦得白學士《長恨歌》，豈同他妓哉?！薄ぁぁぁぁぁぶT妓見仆來，指而相顧曰：“此是《秦中吟》、《長恨歌》主耳！”自長安抵江西，三四千里······每每有詠仆詩者，此誠雕蟲之戲，不足為多，然今時俗所重，正在此耳。

白居易說謝朓的詩麗而無諷。其實建安以后，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鐘嶸評謝朓詩為中品，以后六朝駢文、五代《花間集》以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。

數(shù)學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗外表和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數(shù)空間抽象出來的一個重要概念叫作巴拿赫空間，在微分方程學有很重要的功用，但是以后很多數(shù)學家為了研究這種空間而不斷地推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數(shù)學大流上卻未能激起任何波瀾。

在20世紀70年代，高維拓撲的研究已成強弩之末，作品雖然不少，但真正有價值的不多，有如“野云孤飛，去留無跡”。文氣已盡，再無新的比興了。當時有拓撲學者做

群作用于流形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了80年代，值得懷念的工作只有博特(R. Bott)的局部化定理。

能經(jīng)得起時間考驗的工作寥寥無幾，政府評審人才應當以此為首選，不應以文章篇數(shù)和被引用次數(shù)來作指標。

7. 數(shù)學的演化

王國維說：

四言敝而有《楚辭》，《楚辭》敝而有五言，五言敝而有七言，古詩敝而有律絕，律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習套。豪杰之士，亦難于其中自出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始盛終衰者，皆由于此，故謂文體后不如前，余未敢信。但就一體論，則此說固無以易也。

數(shù)學的演化和文學有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，再至微分幾何等，一方面是工具得到改進，另一方面是對自然界有進一步的了解，將原來所認識的數(shù)學結(jié)構(gòu)的美發(fā)揮至盡后，需要進入新的境界。江山代有人才出，能夠帶領(lǐng)我們進入新的境界的都是好的數(shù)學。上面談到的高維拓撲文氣已盡，假使它能與微分幾何、數(shù)學物理和算術(shù)幾何組合變化，亦可振翼高翔。

我在香港念數(shù)學時，讀到蘇聯(lián)數(shù)學家蓋爾范德（I. M. Gel'fand）的看法，用函數(shù)來描述空間的幾何性質(zhì)，使我感觸良深，以后在研究院時才知道，代數(shù)幾何學家也用有理函數(shù)來定義代數(shù)空間，于是我猜想一般的黎曼流形應當也可以用函數(shù)來描述空間的結(jié)構(gòu)。但是為了深入了解流形的幾何性質(zhì)，我們需要的函數(shù)必須由幾何引出的微分方程來定義?？墒且话銕缀螌W家厭惡微分方程，我對它卻情有獨鐘，與幾個朋友合作將非線性方程帶入幾何學，開創(chuàng)了幾何分析這門學問，解決了拓撲學和廣義相對論的一些重要問題。在1981年時我建議朋友哈密頓(R. Hamilton)用他創(chuàng)造的方程去解決三維拓撲的基本結(jié)構(gòu)問題，20多年來他引進了不少重要的工具，運用上述我和李偉光在熱方程的工作，深入地了解奇異點的產(chǎn)生。兩年前俄國數(shù)學家佩雷爾曼(G. Perelman)更進一步地推廣了這個理論，很可能完成了我的愿望，將幾何和三維拓撲帶進了新紀元。

八年前我訪問北京，提出全國向哈密頓先生學習的口號。廣州的朱熹平接受我的建議，鍥而不舍地鉆研，他的工作已經(jīng)遠超國內(nèi)外成名的中國學者。

當一個大問題懸而未決的時候，我們往往以為數(shù)學之難莫過于此。待問題解決后，前途豁然開朗，看到比原來更為燦爛的火花，就會有不同的感受。這點可以跟莊子《秋水篇》比較：

秋水時至，百川灌河，涇流之大，兩涘渚崖之間，不辨牛馬。于是焉河伯欣然自喜，以天下之美為盡在已，順流而東行，至于北海，東面而視，不見水端，于是焉河伯始旋其面目，望洋向若而嘆曰：“野語有之曰：'聞道百，以為莫已若者?！抑^也。且夫我嘗聞少仲尼之聞，而輕伯夷之義者，始吾弗信；今我睹子之難窮也。吾非至于子之門，則殆矣。吾長見笑于大方之家?！?/span>

科學家對自然界的了解，都是循序漸進的，在不同的時空自然會有不同的感受。有學生略識之無后，不知創(chuàng)作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見識更為豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進步。

莊子：

今爾出于崖涘，觀于大海，乃知爾丑，爾將可與語大理矣。

我曾經(jīng)參觀德國的哥廷根大學，看到19世紀和20世紀偉大科學家的手稿，他們傳世的作品只是他們工作的一部分，很多杰作都還未發(fā)表，使我深為慚愧，更為欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍為改動，據(jù)為己有，盡快發(fā)表。或申請院士，或自炫為學術(shù)宗匠，于古人何如哉！

8. 數(shù)學的感情

為了達到深遠的效果，數(shù)學家需要找尋問題的精華所在，需要不斷地培養(yǎng)我們對問題的感情和技巧。這一點與孟子所說的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋找數(shù)學的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。

白居易說：

圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫深乎義······未有聲入而不應，情交而不感者。

嚴羽《滄浪詩話》：

盛唐諸公惟在興趣，羚羊掛角，無跡可求。故其妙處透澈玲瓏，不可湊拍，如空中之音，相中之色，水中之影，鏡中之象，言有盡而意無窮。

我的朋友哈密頓先生，他一見到問題可以用曲率來推動，就眉飛色舞。另外一個澳洲來的學生，見到與愛因斯坦方程有關(guān)的幾何現(xiàn)象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學者，文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對自然界、對數(shù)學問題沒有感情的現(xiàn)象，他們對名位權(quán)利特別重視。在這種情形下，難以想象他們對數(shù)學、對自然界會有深厚的感情。

數(shù)學的感情是需要培養(yǎng)的，慎于交友才能夠培養(yǎng)氣質(zhì)。博學多聞，感慨始深，堂廡始大。歐陽永叔：

人間自是有情癡，此恨不關(guān)風與月。

直須看盡洛城花，始與東風容易別。

能夠有這樣的感情，才能夠達到晏殊所說：

昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。

濃厚的感情使我們對研究的對象產(chǎn)生直覺，這種直覺看對象而定，例如在幾何上叫作幾何直覺。好的數(shù)學家會將這種直覺寫出來，有時可以用來證明定理，有時可以用來猜測新的命題或提出新的學說。

但數(shù)學畢竟是說理的學問，不可能極度主觀?！对娊?jīng)》中的《蓼莪》、《黍離》，屈原《離騷》、《九歌》，漢都尉《河梁送別》，李后主憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書成、直抒胸臆，非論證之學所能及也。

9. 數(shù)學的應用

王國維說：

詩人對宇宙人生須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之；出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣；出乎其外，故有高致。美成能入而不能出，白石以降，于此二事皆未夢見。

詞之《雅》《鄭》，在神不在貌。永叔、少游雖作艷語，終有品格。方之美成，便有淑女與娼妓之別。

數(shù)學除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數(shù)學問題都是純工程上的問題。有些數(shù)學家畢生接觸的都是現(xiàn)象界的問題，可謂入乎其內(nèi)。大數(shù)學家如歐拉、傅里葉、高斯、維納、馮·諾伊曼等都能入乎其內(nèi)，出乎其外，既能將抽象的數(shù)學在工程學上應用，又能在實用的科學中找出共同的理念而發(fā)展出有意義的數(shù)學。反過來說，有些應用數(shù)學家只用計算器做出一些計算，不求甚解，可謂二者皆未見矣。

傅里葉在研究波的分解時，得出傅里葉級數(shù)的展開方法，不但成為應用科學最重要的工具，在基本數(shù)學上的貢獻也是不可磨滅的。近代孤立子的發(fā)展和幾何光學的研究，都在基本數(shù)學上占有重要的位置。

應用數(shù)學對基本數(shù)學的貢獻可與元劇相比較。王國維評元?。?/p>

其作劇也，非有藏之名山，傳之其人之意也，彼以意興之所至為之，以自娛娛人，關(guān)目之拙劣，所不問也；思想之卑陋，所不諱也；人物之矛盾，所不顧也。彼但摹寫其胸中之感想與時代之情狀，而真摯之理與秀杰之氣時流露于其間。

例如金融數(shù)學旨在謀利，應用隨機過程理論，間有可觀的數(shù)學內(nèi)容。正如王國維評古詩“何不策高足，先據(jù)要路津，無為久貧賤，坎坷長苦辛”，認為“無視其淫詞、鄙詞者，以其真也”。偉大的數(shù)學家高斯就是金融數(shù)學的創(chuàng)始人，他本人投資股票而獲利，克萊因則研究保險業(yè)所需要的概率論。

然而近代有些應用數(shù)學家以爭取政府經(jīng)費為唯一目標，本身無一技之長，卻巧立名目，反誣告基礎數(shù)學家對社會沒有貢獻，盡失其真矣。有如近代小說以情欲、仇殺、奸詐為主題，取寵于時俗，不如太史公《刺客列傳》中所說：

自曹沫至荊軻五人，此其義或成或不成，然其立意較然，不欺其志，名垂后世，豈妄也哉。

應用數(shù)學家不能立意較然，而妄談對社會有貢獻，恐怕是緣木求魚了。

10. 數(shù)學的訓練

好的數(shù)學家需要領(lǐng)會自然界所賦予的情趣，因此也需向同道學習他們的經(jīng)驗。然而學習太過，則有依傍之病。顧亭林云：

君詩之病在于有杜，君文之病在于有韓、歐。有此蹊徑于胸中，便終身不脫依傍二字，斷不能登峰造極。

今人習數(shù)學，往往依傍名士，以為凡海外畢業(yè)的留學生，都為佳士，殊不知這些名士大半文章與自然相隔千萬里，畫虎不成反類犬矣。李義山云：

劉郎已恨蓬山遠，更隔蓬山一萬重。

很多研究生在跟隨名師時，做出第一流的工作，畢業(yè)后卻每況愈下，就是依傍之過。更有甚者，依傍而不自知，由導師提攜指導，竟自炫“無心插柳柳成蔭”，難有創(chuàng)意之作矣。

有些學者則倚洋自重，國外大師的工作已經(jīng)完成，除非另有新意，不大可能再進一步發(fā)展。國內(nèi)學者繼之，不假思索，頂多能夠發(fā)表一些二三流的文章。極值理論就是很好的例子。由伯克霍夫（Birkhoff）、莫爾斯（Morse）到尼倫伯格（L. Nirenberg）發(fā)展出來的過山理論，文意已盡，不宜再繼續(xù)了。

推其下流，則莫如抄襲。有成名學者為了速成，竟抄襲名作，居廟堂之上，腰纏萬貫而沾沾自喜，良可嘆也。

數(shù)學家如何不依傍才能做出有創(chuàng)意的文章呢？

屈原說：

紛吾既有此內(nèi)美兮，又重之以修能。

如何能夠解除名利的束縛，俾欣賞大自然的直覺毫無拘束地表露出來，乃是數(shù)學家養(yǎng)氣最重要的一步。

賈誼：

獨不見夫鸞鳳之高翔兮，乃集大皇之野。循四極而回周兮，見盛德而后下。彼圣人之神德兮，遠濁世而自藏。使麒麟可得羈而系兮，又何以異乎犬羊。

媒體或一般傳記作者喜歡說某人是天才，下筆成章，仿佛做學問可以一蹴而就。其實無論文學和數(shù)學，都需要經(jīng)過深入的思考才能產(chǎn)生傳世的作品。

柳永：

衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。

一般來說，作者經(jīng)過長期浸淫，才能夠出口成章；經(jīng)過不斷推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王閣序》，麗則麗矣，終不如陶淵明《歸去來辭》、庾信《哀江南賦》、曹植《洛神賦》諸作來得結(jié)實。文學家的推敲在于用字和遣詞。張衡《兩京》、左思《三都》，構(gòu)思十年，始成巨構(gòu)，聲聞后世，良有以也。數(shù)學家的推敲極為類似，由工具和作風可以看出他們特有的風格。傳世的數(shù)學創(chuàng)作更需要有宏觀的看法，也唯有鍛煉和推敲才能成功。

曹丕：

古人賤尺璧而重寸陰，懼乎時之過已，而人多不強力；貧賤則懾于饑寒，富貴則流于逸樂，遂營目前之務，而遺千載之功。日月逝于上，體貌衰于下。忽然與萬物遷化，斯志士之大痛也。

三十年來我研究幾何空間上的微分方程，找尋空間的性質(zhì)，究天地之所生，參萬物之行止。樂也融融，怡然自得；溯源所自，先父之教乎！

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