【原】壓軸題打卡73：相似有關(guān)的綜合問題分析

中考數(shù)學(xué)寶典 2021-02-14

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已知△ABC中，∠ACB=90°（如圖），點(diǎn)P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA=PB．

（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)PA=m，PC=n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長和面積；

（3）設(shè)CP與AB交于點(diǎn)D，試探索當(dāng)邊AC、BC的長度變化時(shí)，CD/AC+CD/BC的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說明理由．

參考答案：

考點(diǎn)分析：

相似形綜合題；探究型．

題干分析：

（1）先根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性質(zhì)即可判斷出△ABP是等腰直角三角形；

（2）在Rt△PAB中，由∠APB=90°，PA=PB，PA=m，可得出AB=√2m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，故CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，可知CE=PE=√2n/2，即CA+CB=2CE=√2n，由△ABC的周長為=AB+BC+CA即可得出其周長，再根據(jù)S_△_ABC=S_△_PAC+S_△_PBC﹣S_△_PAB即可得出其面積；