本題摘自《初中數(shù)學(xué)典型題思路分析》的贈(zèng)送電子資料.

如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2．若直線l經(jīng)過點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)為____.

【思路分析】

過點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG⊥BC，EH⊥BC于點(diǎn)G和H，可得矩形AGHE，再根據(jù)菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3√3=EH，由題意可得，F(xiàn)H＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得EF的長(zhǎng)．

【答案解析】

如圖，過點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG⊥BC，EH⊥BC于點(diǎn)G和H，

得矩形AGHE，

∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，

∴BG＝3，AG＝3√3=EH，

∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，

∵EF平分菱形面積，

∴FC＝AE＝2，

∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，

在Rt△EFH中，根據(jù)勾股定理，得

本題摘自《初中數(shù)學(xué)典型題思路分析》的贈(zèng)送電子資料.

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ABC＝60°，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，G，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N．

（1）求證：AF＝EF；

（2）求MN+NG的最小值；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CEF的大小是否變化？為什么？

【思路分析】

（1）連接CF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和菱形的對(duì)稱性得到CF＝EF和CF＝AF即可得證；

（2）連接AC，根據(jù)菱形對(duì)稱性得到AF+CF最小值為AC，再根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MN+NG的最小值為AC的一半，即可求解；

（3）延長(zhǎng)EF，交DC于H，利用外角的性質(zhì)證明∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF＝CF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，從而推斷出∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，從而可求出∠ABF＝∠CEF＝30°，即可證明．

【答案解析】

（1）連接CF，

∵FG垂直平分CE，

∴CF＝EF，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴A和C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，

∴CF＝AF，

∴AF＝EF；

（2）連接AC，

（3）不變，理由是：

延長(zhǎng)EF，交DC于H，

∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FAE+∠FEA，

∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，

∵點(diǎn)F在菱形ABCD對(duì)角線BD上，根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得：

∠AFD＝∠CFD=1/2∠AFC，

∵AF＝CF＝EF，

∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，

∴∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，

∴∠ABF＝∠CEF，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABF＝∠CEF＝30°，為定值．