來自3Blue1Brown《最速降線問題：最快下滑路徑為什么是旋輪線？》視頻: https://space.bilibili.com/88461692 , (點擊最下閱讀原文查看B站更多精彩內(nèi)容) 這里特別感謝各位翻譯的貢獻:昨夢電羊，羅茲，Solara570，圓桌字幕組等。 有意的譯者請移步B站進行聯(lián)系！

[遇見數(shù)學(xué)]根據(jù)視頻內(nèi)容整理文字版, 方便各位同學(xué)學(xué)習(xí), 先來看下視頻吧.

文中涉及到的那些數(shù)學(xué)巨匠

正文這個視頻中，我要講點不同的東西。我有機會與 Steven Strogatz 坐談，并錄下了一段對話。若你不知道，Steve是來自康奈爾大學(xué)的一位數(shù)學(xué)家, 他著有幾本熱門的數(shù)學(xué)書，也經(jīng)常往 RadioLab 和《紐約時報》發(fā)表文章。簡言之，他是一位當(dāng)代偉大的大眾數(shù)學(xué)傳播者。

在對話中，我們探討了許多事情，但全都圍繞這個數(shù)學(xué)史上非常著名的問題 ：最速降線 Brachistochrone。

視頻前面約三分之二，我就播放這段對話的一部分。我們定義這個問題，談?wù)撍囊恍v史，經(jīng)歷一遍17世紀(jì)的約翰.伯努利提出的解法。之后，我呈現(xiàn)Steve展示給我的來自當(dāng)代數(shù)學(xué)家Mark Levi的這項證明，它將幾何見解賦予給約翰.伯努利原來的解法。最后，我給你一個小挑戰(zhàn)。

第1節(jié)：約翰.伯努力的洞察力

我們真的應(yīng)該...從定義問題本身開始。Steve：嗯，好，讓我試著講，對吧？3b1b：好，開始吧。Steve：好的，那么，這還真是個復(fù)雜的詞。首先，最速降線，來自兩個單詞...天啊，我得查一下。我覺得是拉丁語詞匯還是希臘語詞匯？3b1b：我很確定是希臘語。Steve：好，它是"最短時間"的希臘語，指的是伯努利兄弟中的約翰.伯努利提出的一個問題。

想象一個滑坡，有一個粒子在重力牽引下順著滑道滑下，連接兩點的滑道應(yīng)該是什么路徑，才能讓粒子從A點到B點所需時間最短的滑坡是哪條？

3b1b：我覺得這個問題我最喜歡的地方, 就是要去求解的問題比較容易定性地描述出來. 比如，你要滑坡軌跡短些，比如像條直線，但是你又要物體快速動起來，這就要求開始時候陡峭些，但軌跡就會增長。

不過要將問題定量化，確實給出具體的曲線來取得平衡. 這就不容易了，所以說，這就構(gòu)成了一個非常有趣的問題 。

Steve：的確，它是非常有趣的 。我指，當(dāng)大多數(shù)人最初聽到它時，都會以為最短的路徑能得到最短的時間，就認(rèn)定直線是最優(yōu)的。但是，如你所說，一開始快速滾下, 沖勁更大, 可能會占有優(yōu)勢，也不一定是滾動，可以想象成快速滑動，其實怎么說也無所謂。

早在伽利略自己就思考過這些問題，是在1638年，要比約翰.伯努利早得多。伽利略認(rèn)為圓弧是最佳的。這說明他已經(jīng)想到了彎曲一點會更好。

3b1b：然而實際上，圓弧不是正確答案。圓弧不錯，但是有更佳的解決方案。真正正確答案的歷史要追溯至約翰.伯努把這個問題當(dāng)做一項挑戰(zhàn)提出來。

Steve：就是說，1696年6月。他把問題以挑戰(zhàn)的形式提了出來，是要挑戰(zhàn)當(dāng)時整個數(shù)學(xué)界。對于他，數(shù)學(xué)界指的是歐洲的數(shù)學(xué)家，而他特別很想炫耀他比他的哥哥(雅各布.伯努利)更聰明。他有個長兄叫雅各布，他倆是死對手又都是大數(shù)學(xué)家。但是，約翰.伯努利幻想自己是他年代最偉大的數(shù)學(xué)家。不只是比他的長兄聰明，我覺得他認(rèn)為自己可能比當(dāng)時還在世的萊布尼茲，以及當(dāng)時的艾薩克.牛頓. 因為當(dāng)時牛頓已經(jīng)年級較大, 或多或少已經(jīng)退休、不研究數(shù)學(xué)了。當(dāng)時牛頓曾任鑄幣局總監(jiān)(有點類似今日的財政部長)。

3b1b：然后牛頓給他顏色瞧了，對吧？牛頓在忙了一天的工作知乎, 只花了將近一夜的時間就把問題給解決了. 雖然約翰.伯努利花了兩個星期才解了出來。Steven：對，有個不錯的典故說，牛頓獲知了題目，他不太樂意被人挑戰(zhàn), 而且還是他覺得比不上他的人. 當(dāng)然，牛頓大神基本認(rèn)定所有人都比不上他下。但是牛頓通宵解決了問題，并將解法匿名地寄至當(dāng)時的頂級期刊《自然科學(xué)會報》，并被匿名發(fā)表了。

牛頓便寫信向他朋友抱怨道：我不喜歡被外國人因為數(shù)學(xué)上的事情催促和戲弄。所以牛頓并不喜歡這個挑戰(zhàn)，卻解了出來。(這說明牛頓數(shù)學(xué)能力實在太NB了!)

有個著名的傳說，約翰.伯努利看到這匿名的解法后，感嘆道："我見利爪認(rèn)出了這頭雄獅。"不知此事是否當(dāng)真，但這是個好故事，大家都愿講。

我猜測約翰之所以特別渴望挑戰(zhàn)其他諸如牛頓的數(shù)學(xué)家, 那是因為他暗自認(rèn)為自己的解法異常巧妙(借用了物理的公式來解決此問題)。

也許我們該看看他到底怎么解的。他聯(lián)想到，解決這個問題要借助光。因為，在16世紀(jì)初，費馬就表明了光的傳播方式，無論是在鏡子上反射, 還是從空氣折射進入水中并發(fā)生彎曲、或者通過一個透鏡，光的所有這些運動都可以這樣來理解, 就是說光會經(jīng)過從A點到B點所需時間最短的路徑。

細想起來，這確實是個很棒的視角，因為通?？偸呛芫植康乜荚嚵Ｗ釉诟鱾€點上的情況. 而這觀點退了一步，看看所有可能的路徑并宣稱："大自然會選擇最好的一條。"

是的，非常優(yōu)美。如你所說，是非常敬佩的思想轉(zhuǎn)變。對有些人，這轉(zhuǎn)變真的蒙有宗教色彩：大自然被賦予了這種性質(zhì)，總是做效率最高的事情。

但拋開那些，也可以只說這是個經(jīng)驗事實, 光的傳播本身就是這樣. 約翰.伯努利的主意是利用費馬的最短時間原理，假裝不是一個粒子順著滑道滑下，而是光在不同光折射率的介質(zhì)中傳播. 也就是光以不同的速度漸漸通過滑道往下滑動.

我認(rèn)為我們在深入談?wù)撨@些之前，應(yīng)該聊聊斯涅爾定律（Snell's law 折射定律）。這條物理學(xué)結(jié)論描述光從一種材料進入另一種材料時是如何彎折的: 當(dāng)一束光從一個介質(zhì)進入另一個介質(zhì)時，考慮光線和兩種材料介質(zhì)平面的垂線所成的夾角.

該角的正弦值除以光速的結(jié)果, 在從一個介質(zhì)進入下一個介質(zhì)前后保持不變。

約翰.伯努利所做的就是找了一種巧妙的方式利用這個含有 sin θvsin θv 保持不變的事實，用于解決最速降線問題。

當(dāng)他在思考滑坡上滑下的粒子發(fā)生了什么之時，他留意到，根據(jù)能量守恒，粒子的速度正比于離頂端的距離的平方根。

稍說細一點，就是勢能減少量 = 質(zhì)量 * 重力加速度 * 再乘以到頂端距離 y。然后令其等于動能 ? 乘以 mv.b2 并移項整理一下, 最終發(fā)現(xiàn)速率 v 確實正比于 √yy。

這就啟發(fā)他想象一種具有許多不同層的玻璃，光在其中的每一層都具有不同的光速。第一層的光速是 v?，下一層是v?，再下一層是v?，這些都將正比于 y?、y?、y?的平方根。

那么原理上講，你應(yīng)當(dāng)想到一個極限過程，就是你有無窮多個無限地簿的玻璃層，這樣光速就相當(dāng)于有著連續(xù)的變化。

然后他的問題就是：如果光在逐一經(jīng)過每層介質(zhì)時候, 始終遵循斯涅爾定律，以致于從一層到下一層時 sin θ   vsin θv 始終是個常數(shù)。那么會是什么軌跡？

使得這些切線每個瞬間都遵循著斯涅爾定律。

此言一出，我們應(yīng)該精確地陳述這條屬性。約翰.伯努利得出的結(jié)論，看這條令滑過時間最短的曲線, 不管它是什么, 在上面取任何一點, 該點處的切線跟鉛垂線(垂直方向)的夾角的正弦值除以該點到曲線起點的垂直距離的平方根會得到一個常數(shù), 記住無論取的是哪個點.

約翰.伯努利最初發(fā)覺它時, 就認(rèn)出這就是擺線(旋輪線)的微分方程。擺線是滾輪邊緣上的點所描繪的形狀。

但這并不直白，至少我不覺得顯而易見，為什么這個 sin θ   vsin θv 的性質(zhì)和滾動的輪子有關(guān)系？確實一點都不直白，但是這次，Mark Levi的智慧來幫助我們了。

Mark Levi是在賓夕法尼亞州立大學(xué)的厲害的數(shù)學(xué)家，著有一本《Mathematical Mechanic》，利用力學(xué)原理，以及更廣闊的物理學(xué)解決各種各樣的數(shù)學(xué)問題。比起數(shù)學(xué)服務(wù)于科學(xué)，它算是科學(xué)服務(wù)于數(shù)學(xué)。

他聰慧的一個例子是最近發(fā)表了一個很短的短篇筆記，表明了當(dāng)研究擺線的幾何形狀時，只需在恰當(dāng)?shù)牡胤疆嬌险_的輔助線，就能看出這個速度除以 sin θ 是常數(shù)的這個原理，是擺線的運動本身固有的.

第2節(jié)：Mark Levi的洞察力，及一個挑戰(zhàn)

在剛才會話中，我們并沒有談?wù)撟C明的細節(jié)本身, 因為不利用可視化的演示，就很難解釋清楚。但我覺得你們當(dāng)中許多人更喜歡看數(shù)學(xué)圖形，而不是聽人聊數(shù)學(xué)。

這個幾何的證明既優(yōu)美但短小, 所以我在此就將它展示出來了。想象一個輪子，在天花板上滾動。想象輪子邊緣上有一個點P。

Mark Levi 的第一個洞見是將輪子與天花板相接觸的點，取名為點C，作為是P點軌跡的瞬時旋轉(zhuǎn)中心。相當(dāng)于在那瞬間，P位于端點為C的單擺的末端。

因為圓的任意切線總垂直于半徑，擺線上P點處的切線垂直于直線PC, 這樣我們獲得了圓內(nèi)的一個直角。并且我們知道: 圓的任意內(nèi)接直角三角形的斜邊一定是圓的直徑，所以可以推論出, 切線必定經(jīng)過圓最底下那點.

那么，設(shè) θ 記作切線和垂直方向的夾角, 我們得到一對相似三角形，如下圖所示。

你能發(fā)現(xiàn)線段PC的長度 = 直徑 * sin θ . 在第2個相似的三角形中，這個長度再乘上sin θ，給出P點和天花板間的距離, 這個距離是我們先前叫做 y 的那個量. 移項整理這個式子，發(fā)現(xiàn)sin θ√ysin θy等于1 除以直徑的平方根。

因為圓的直徑肯定在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，這意味著sin θ√ysin θy 在擺線上是常數(shù), 這恰好是我們所尋找的斯涅爾定律的性質(zhì)。

那么，約翰.伯努利的洞察力和這個短小的幾何證明結(jié)合起來，得到我jiu 所見過最速降線最巧妙的解法。

在這里可以告一段落的，但是既然這整個問題的歷史源于約翰.伯努利發(fā)起的挑戰(zhàn)，我想要以我自己發(fā)布的挑戰(zhàn)作為結(jié)束。我玩弄擺線時，有件有趣的事突顯了出來。

考慮一個由于重力沿擺線滑下的物體, 把它在曲線上的位置看成隨時間變化的函數(shù), 再考慮這曲線的定義, 滾輪邊緣上一點的軌跡的。如何調(diào)整輪子的轉(zhuǎn)動速度，才能使得使物體開始下滑后，輪子邊緣上的標(biāo)記點總是與下滑物體保持相對靜止？(固定在那個滑落的物體上)

你會先慢著轉(zhuǎn)動，再增快轉(zhuǎn)速？如果是的話，應(yīng)該是按什么函數(shù)變化呢？

事實證明，輪子應(yīng)該會以均速轉(zhuǎn)動,. 這是令人驚訝的, 這意味著受重力的物體做擺線運動的效果，恰好和均速滾輪是完全一致的。

挑戰(zhàn)的熱身環(huán)節(jié)就是：你來自己證明剛才這點, 用方程一點一點地證明出來的過程是有點意思的。

但這讓又我想到：如果我們回顧原先的最速降線問題，尋找兩點間的最速下降軌跡，或許有一種精巧方法來重構(gòu)我們的思路。

不再用 x 和 y 軸坐標(biāo)來描述下滑物體軌跡，而是用速度向量的角度隨時間的函數(shù)來描述它會如何？

想象這樣定義一個曲線：一個物體下滑時，通過轉(zhuǎn)動一個旋鈕來決定物體在重力拉動下每時刻下滑的夾角。只要能將旋鈕角度隨時間的變化描述為關(guān)于時間的函數(shù)，你其實就唯一描述了一條曲線。這本質(zhì)上就在利用微分方程，因為已知斜率是另外一個參數(shù)的函數(shù)，在此是時間的函數(shù)。

有趣的是，當(dāng)你不通過 x-y 平面解決最速降線問題，而是通過 t-θ 平面，其中 t 是時間，θ 是軌跡的角度，那么所有最速降線的解都是直線。是說，θ 關(guān)于 t 是以均速增加。

當(dāng)一個曲線最小化問題的解是直線時，就強烈暗示著, 存在某種方式可以將問題看成一個最短路徑問題. 這里并不很直觀, 因為 x-y 空間里，物體始于 A 點而終于 B 點的邊界條件，看起來不像能從 t-θ 空間內(nèi)的一點移動到另一點。

盡管如此，我對你發(fā)出這樣的挑戰(zhàn)：

你能通過以下方法找到最速降線問題的另一種解法嗎? 解釋為什么時間最小化路徑被表示在 t-θ 空間里時，一定看上去像一條直線。你能通過給出時間最小化路徑在t-θ空間中之所以像一條直線的直觀原因，找到最速降線問題的新解法嗎？