等腰直角三角形的直角內(nèi)含有一個(gè)45°的角，形成了倍半的關(guān)系。

這樣的圖形也會(huì)出現(xiàn)在正方形之中。

其實(shí)等腰直角三角形可以看成正方形的一半，而正方形有時(shí)候也可以看出兩個(gè)等腰直角三角形拼成的圖形。

等腰直角三角形中常常需要利用三線合一進(jìn)行解題。主要是得到3個(gè)等腰直角三角形，進(jìn)而得到邊與角的等量關(guān)系。

【中考真題】

（2020·襄陽(yáng)）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交邊BC于點(diǎn)F，連接CE．

（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)AD＝AF時(shí)，

①求證：BD＝CF；

②推斷：∠ACE＝　　    °；

（2）探究證明：如圖2，當(dāng)AD≠AF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由；

（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)EF/AF=1/3時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線，交AE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)K，若CK=16/3，求DF的長(zhǎng)．

【分析】

題（1）的第①小問(wèn)用全等即可證明。第②小問(wèn)通過(guò)目測(cè)觀察或者尺子一量就出來(lái)了。當(dāng)然，要證明也不難。因?yàn)檫@里面有一個(gè)8字形。所以比較容易得到一個(gè)等量關(guān)系。

可以得到∠DAE=∠DCE，那么結(jié)論就出來(lái)了。

其實(shí)本質(zhì)是四點(diǎn)共圓。

題（2）就是在題（1）②的基礎(chǔ)上面用二次相似就可以了。當(dāng)然，要用四點(diǎn)共圓說(shuō)明也可以。

題（3）因?yàn)镈P與AE垂直，所以可以考慮過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE，那么就可以得到一個(gè)8字形與一個(gè)A字形。有兩個(gè)相似再加上等腰直角三角形的三線合一。進(jìn)而可以得出邊長(zhǎng)的比例關(guān)系。

設(shè)GF=x，再表示出其它線段，表示出CK的長(zhǎng)，進(jìn)而得到x的值。就可以在△DPF中利用勾股定理得到DF的長(zhǎng)度了。

當(dāng)然，本題也可以像上圖，連接EK。得到AK與EK是相等的，因?yàn)镈K是AE的垂直平分線。在△DKC中設(shè)未知數(shù)利用勾股定理，可以求出AK、EK和EC的長(zhǎng)度。再求出AE、DP和PF的長(zhǎng)度就可以了。

【答案】（1）①證明：如圖1中，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACF，

∵AD＝AF，

∴∠ADF＝∠AFD，

∴∠ADB＝∠AFC，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD＝CF．

②結(jié)論：∠ACE＝90°．

理由：如圖1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACD＝∠AED＝45°，

∴A，D，E，C四點(diǎn)共圓，

∴∠ADE+∠ACE＝180°，

∴∠ACE＝90°．

故答案為90．

（2）結(jié)論：∠ACE＝90°．

理由：如圖2中，

∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACD＝∠AED＝45°，

∴A，D，E，C四點(diǎn)共圓，

∴∠ADE+∠ACE＝180°，

∴∠ACE＝90°．

（3）如圖3中，連接EK．

∵∠BAC+∠ACE＝180°，

∴AB∥CE，

∴EC/AB=EF/AF=1/3，設(shè)EC＝a，則AB＝AC＝3a，AK＝3a-16/3，

∵DA＝DE，DK⊥AE，

∴AP＝PE，

∴AK＝KE＝3a-16/3，

∵EK2＝CK2+EC2，

∴（3a-16/3）2＝（16/3）2+a2，

解得a＝4或0（舍棄），

∴EC＝4，AB＝AC＝12，

∴AE=√(AC2+EC2 )=√(42+122 )=4√10，

∴DP＝PA＝PE=1/2AE＝2√10，EF=1/4AE=√10，

∴PF＝FE=√10，

∵∠DPF＝90°，

∴DF=√(DP2+PF2 )=√((2√10 )2+(√10 )2 )=5√2．