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高中數(shù)學：集合中的易錯之處

 昵稱47813312 2020-09-22
集合是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，它與高中數(shù)學的許多內容有著廣泛的聯(lián)系，作為一種思想、語言和工具，集合的知識已經(jīng)滲透到自然科學的眾多領域。它是高中階段數(shù)學的第一個內容，集合概念抽象，符號術語多，對于初學集合的同學來說，常常因為概念不清晰，理解不透徹，解題思路不嚴謹，容易造成錯誤。針對學習中的薄弱環(huán)節(jié)，本文列出易忽視之處，希望能幫助同學們加深理解，提高學習效果。

1. 忽視代表元素的屬性
例1. 集合，，則（    ）
A.   
B. 
C.  
D. 
錯解：由
解得或
選B
分析：注意到兩個集合中的元素y都是各自函數(shù)的函數(shù)值，因此，應是和這兩個函數(shù)的值域的交集，而不是它們的交點。由于，，所以，選C。
 
2. 忽視元素的互異性
例2. 已知集合，，若A＝B，求實數(shù)x，y的值。
錯解：因為有意義，所以xy>0，從而，故xy＝1
又由A＝B得或
所以或
分析：由于同一集合中的元素不同（互異性），而以上解法中，當時，，分別使集合A，B中出現(xiàn)了相同元素，故應舍去，所以只能取。
 
3. 忽視空集
例3. 若集合，，且，求實數(shù)m的值。
錯解：因為，所以或
即或
分析：上面的解法中漏掉了即的情形，因為空集是任何非空集合的真子集，所以或或m＝0。
 
4. 忽視補集的相對性
例4. 已知全集，集合，則_________；若全集為，則__________。
分析：補集是相對于全集而言的，當全集發(fā)生變化時，補集也隨之變化。顯然，在全集的條件下，
在全集為I＝R的條件之下，
 
5. 忽視語言轉換的等價性
例5. 設全集，集合，，則（    ）
A.   
B. 
C. （2，3）
D. 
分析：容易錯選A，原因是將集合M看作直線上的點的集合，實際上應除去點（2，3）。集合N是坐標平面內不在直線y＝x+1上的點的集合，所以是坐標平面上除去（2，3）以外的點構成的集合，它的補集，應選B。
 
6. 忽視特殊化法的片面性
例6. 設集合A，B是兩個非空集合，我們規(guī)定，根據(jù)上述規(guī)定，則（    ）
A. M   
B. N  
C. 
D. 
錯解：特殊化法。取，
則
故選A
分析：這種特殊化法對原題作了的前提假定，縮小了原題中B集合的取值范圍，如，
則
而是
實際上，對規(guī)定有兩種理解：
，或
所以
而
故
所以
選D

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