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高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：集合四種命題方向解讀 在高考中有關(guān)集合內(nèi)容共有5個(gè)考點(diǎn)：①集合;②子集;③補(bǔ)集;④交集;⑤并集. 考試要求：①理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念;②了解空集和全集的意義;③了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義;④掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡單的集合。 重點(diǎn)：①集合的表示及專用符號(hào).用描述法表示集合{x|x∈P}，要正確理解豎線前代表元素及其具有的性質(zhì)P;②集合之間的運(yùn)算：能夠熟練地求兩個(gè)或幾個(gè)集合的交集、并集合，并掌握利用數(shù)軸、文氏圖解決集合的方法. 一、基本型 題型特點(diǎn)：主要考查集合的基本概念和基本運(yùn)算，這是高考考查集合的主要方式，幾乎每年必考. 破解技巧：常用解法是定義法、列舉法、性質(zhì)法、韋恩圖法及語言轉(zhuǎn)換法等. 例1若集合M={ y| y=2x}，P={ y| y= }，則M∩P= (A) { y| y>1} (B) { y| y≥1} (C) { y| y>0} (D) { y| y≥0} 分析：本題的錯(cuò)誤率極高，主要是缺乏語言互化能力.其實(shí)是求“兩個(gè)函數(shù)值域的交集”. 解：本題集合M與P中的代表元素是y，則M∩P即是求函數(shù)y=2x 與y= 的值域的公共部分，顯然M={ y| y>0}，P={ y| y≥0}，故選(C). 例2設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R， ， ，則 M∩N等于 A. B. C. D. 分析：本題分步計(jì)算即得，先算補(bǔ)集，再求交集. 解：先計(jì)算補(bǔ)集 M={x|x<-2或x>2}，再繼續(xù)求交集，即 M∩N={x|x<-2}，故選(A). 例3 設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足A B I，則下列各式中錯(cuò)誤的是 (A) ( A)∪B=I (B) ( A)∪( B)=I (C) A∩( B)= (D) ( A)∩( B)= B 點(diǎn)通1 運(yùn)用韋恩圖 畫出韋恩圖(如右圖)，從圖中易驗(yàn)證，選項(xiàng)(B)錯(cuò)誤.故選(B). 點(diǎn)通2 運(yùn)用特殊集合 設(shè)A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，則 A={2，3}， B={3}易驗(yàn)證(B)錯(cuò)誤.故選(B). 例4(2005年北京高考題)設(shè)全集U=R，集合M={x| x>1}，P={x| x2>1}，則下列關(guān)系中正確的是 (A)M=P (B) P M (C) M P (D) 解：P={x|x>1或x<-1}，M={x|x>1}，易知M P，而選(C). 點(diǎn)評(píng)：判斷集合之間關(guān)系問題，應(yīng)先簡化集合，再判斷.有時(shí)還可結(jié)合圖象加以觀察. 二 、交匯型 題型特點(diǎn)：主要是將集合與不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行交匯，形成多知識(shí)點(diǎn)的綜合問題. 破解技巧：解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí). 例5⑴(2005年山東高考題) 設(shè)集合A、B是全集 的兩個(gè)子集，則A B是 的 (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 ?、?2005年上海高考題)已知集合 ， ，則 等于 A. B. C. D. 分析：第⑴小題是集合與簡易邏輯進(jìn)行交匯，用推出法即可解決.第⑵小題是集合與不等式的交匯. 解：⑴由 ，即A=B或A B，設(shè)p：A B;q： ，則有p q，但q p.故選(A). ⑵集合M = { x |-1≤x≤3，x}，P = { x |-1 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于⑵是集合與絕對(duì)值不等式及分式不等式的交匯，對(duì)分式不等式到整式不等式的轉(zhuǎn)化.在這里，要注意分母不為零的條件限制. 三、計(jì)數(shù)型 題型特點(diǎn)：是指以集合為背景，求子集的個(gè)數(shù)、集合中元素的個(gè)數(shù)等. 破解技巧：常用解法是子集的個(gè)數(shù)公式法、圖表法、組合數(shù)公式法等 . 例6⑴(2003年安徽春季高考題)集合S={a，b，c，d，e}，包括{a，b}的S的子集共有 (A) 2個(gè) (B) 3個(gè) (C) 5個(gè) (D) 8個(gè) ?、圃O(shè)集合M={(x，y)|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={(x，y)|x2-y=0，x∈R，y∈R}，，則集合 中元素的個(gè)數(shù)為 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ?、窃O(shè)集合 N}的真子集的個(gè)數(shù)是 (A) 16 (B) 8; (C) 7 (D) 4 解： ⑴本題等價(jià)于求集合{c，d，e}的子集個(gè)數(shù)，即為23=8，選(D). ?、票绢}只要將集合語言轉(zhuǎn)換成圖形語言即可.本題實(shí)質(zhì)就是單位圓與拋物線y=x2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫圖知2個(gè)，故選(B). ?、茿={0，1，2}，故A的真子集個(gè)數(shù)是23-1=7，選(C).
四、逆向型 題型特點(diǎn)：已知集合的運(yùn)算結(jié)果，寫出集合運(yùn)算的可能表達(dá)式，這類題往往具有一定的開放性. 例7⑴(2000年上海春季高考題)設(shè)U是全集，非空集合P、Q 滿足P Q U，若含P、Q的一個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集 ，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可以是_______(只要寫出一個(gè)表達(dá)式). ?、?2002年上海春季高考題)若全集U=R，f(x)、g(x)均為x的二次函數(shù)，P= ，則不等式組 的解集可用P、Q表示為 . 解：⑴此題是開放性試題，如圖， 極易得到其多種答案： ?、?UQ∩P; ②P∩( UP∩Q); ?、?UQ∩(P∪Q);等等. ?、朴裳a(bǔ)集定義，得UQ=x│g(x)<0，則不等式組的解集就是P與UQ的交集，即表示為P∩UQ. 五、閱讀理解型 題型特點(diǎn)：以集合內(nèi)容為背景即時(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的問題情景，要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上作答. 例8設(shè)f(n)=2n+1(n∈N)，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，記 ={n∈N|f(n)∈P}， ={n∈N|f(n)∈Q}，則( ∩ )∪( ∩ )= (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7} 解：設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q= ，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是 A.9 B.8 C.7 D.6 2. 是正實(shí)數(shù)，設(shè) 是奇函數(shù)}，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) ， 的元素不超過2個(gè)，且有 使 含2個(gè)元素，則 的取值范圍是 . [答案：1.(B) 2. ] 三、命題趨向 集合內(nèi)容將以集合運(yùn)算為重點(diǎn)進(jìn)行考查，在2006年高考中將仍以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，其難度在0.7左右，同時(shí)要注意集合思想的應(yīng)用及集合與其它知識(shí)的交匯，展示以集合語言為背景的應(yīng)用性、開放性試題，具有構(gòu)思巧妙、新穎、解法靈活特點(diǎn)，將會(huì)是未來高考“出活題、考能力”的命題趨向. 四、備考建議 一、注重基礎(chǔ)，注意辨析 對(duì)于集合的復(fù)習(xí)，首先要注重基礎(chǔ)，熟練掌握集合間的關(guān)系(子集與真子集)的判定方法，集合間的運(yùn)算;同時(shí)，還要對(duì)集合的有關(guān)概念和符號(hào)進(jìn)行辨析，只有準(zhǔn)確把握它們，才不會(huì)在高考中掉進(jìn)命題者設(shè)計(jì)的陷阱之中. 首先，要明確集合元素的意義，弄清集合由哪些元素所組成，這就需要對(duì)集合的文字語言，符號(hào)語言，圖形語言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化. 其次，由于集合知識(shí)概念新，符號(hào)多，往往顧此失彼，因此需要注意如下幾個(gè)方面的問題：一是注意集合元素的三性(確定性，互異性，無序性);二要注意0，{0}，，{}的關(guān)系，數(shù)字0不是集合，{0}是含有一個(gè)元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}則是以為元素的集合;三要注意空集的特殊性，空集是任何非空集合的真子集，它在解題過程中極易被忽視;四要注意符號(hào)“∈”與“”(或)的區(qū)別，符號(hào)“∈”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，“” (或)表示集合與集合之間的包含關(guān)系. 二、不可忽視集合的交匯性及創(chuàng)新性問題對(duì)集合的重點(diǎn)復(fù)習(xí)是集合間的關(guān)系判定以及集合間的運(yùn)算問題.其中關(guān)系判定以及集合間的運(yùn)算問題，常常是集合內(nèi)容與不等式等內(nèi)容進(jìn)行交匯，故應(yīng)熟練掌握一元一次(二次、高次)不等式，分式不等式，三角不等式，含參不等式，指對(duì)數(shù)不等式等的解法.但也有可能考查較為靈活的非常規(guī)的開放題，探究題，信息遷移題等創(chuàng)新題.其實(shí)也是近年高考在集合方面的一個(gè)新命題背景，特別是定義新運(yùn)算.如已知集合A={0，2，3}，定義集合運(yùn)算A※A={x|x=a b，a∈A，b∈A}，則A※A=_________.此類關(guān)鍵是理解新運(yùn)算，易得a，b可以相同，知填{0，6，4，9}. |
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