動(dòng)，不是盲動(dòng)，要因勢(shì)而動(dòng)，循法而動(dòng)。

因勢(shì)而動(dòng)，就是根據(jù)問(wèn)題的具體情境和條件特征進(jìn)行運(yùn)動(dòng)；

循法而動(dòng)，就是依據(jù)運(yùn)動(dòng)的策略原則和一般規(guī)律采取動(dòng)作。

前文提出“七十二變”相當(dāng)是各種知識(shí)方法和解題技巧，“如來(lái)神掌”相當(dāng)于把各種方法技巧融合提煉為解題的基本思想和策略，我把它總結(jié)為八字訣：“加、減、進(jìn)、退、分、合、動(dòng)、靜”。下面繼續(xù)探討八字訣的實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用。

事物在運(yùn)動(dòng)變化中產(chǎn)生聯(lián)系，事物在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)展進(jìn)步，同樣，學(xué)習(xí)只知死記硬背不知運(yùn)動(dòng)變化是低級(jí)的學(xué)習(xí)，解題只會(huì)機(jī)械模仿不會(huì)運(yùn)動(dòng)變化是低效的解題。所以“動(dòng)”字訣乃數(shù)學(xué)解題的最強(qiáng)招式，“動(dòng)”的意識(shí)非常重要，“動(dòng)”的方法值得研究，學(xué)者不可不知。

“動(dòng)”字訣功能強(qiáng)大，它是將問(wèn)題中的元素根據(jù)需要進(jìn)行運(yùn)動(dòng)變化，從而構(gòu)造出合適的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，動(dòng)的方式有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、縮放等，當(dāng)然也可以是其中幾種的組合。注意，不管哪種運(yùn)動(dòng)方式，都需要相應(yīng)元素有對(duì)應(yīng)關(guān)系，如邊角相等或成比例，如此才能使它們運(yùn)動(dòng)后能重合，構(gòu)成新的圖形以重組條件中的各元素，如無(wú)對(duì)應(yīng)關(guān)系則運(yùn)動(dòng)無(wú)處落腳失去意義。

先來(lái)解決近日一位網(wǎng)友問(wèn)的一題：

此題與我在《幾何最值問(wèn)題大一統(tǒng)》一文中所述架橋問(wèn)題相比，只是多了一河一橋而已，思路與原則完全一樣，就是“變折線為直線”。畫出路徑可知，CD、EF是定值，依“減”字訣，把CD、EF去掉轉(zhuǎn)化為求AC+DE+BF的最小值。下一步要解決的問(wèn)題是這三條拆線不連續(xù)，怎么辦？自然會(huì)想到“動(dòng)”字訣，把AC、BF平移使之首尾相接形成連續(xù)的折線路徑。

構(gòu)造成下圖，再用“減”字訣，點(diǎn)C、F及外側(cè)河岸直接忽略不看，問(wèn)題簡(jiǎn)化為在內(nèi)側(cè)河岸尋找點(diǎn)D、E，使A'D+DE+B'E的最小值，不就是求定點(diǎn)A'、B'之間的最短路徑嗎？

于是輕松得到下圖的最短路徑。我們發(fā)現(xiàn)這樣思考非常自然簡(jiǎn)單符合邏輯，根本不需要死記硬背什么技巧套路。我們?cè)購(gòu)膭?dòng)態(tài)視角整體上感悟一下：剛才的所有操作可看作把河岸的兩條線通過(guò)平移合并變?yōu)橐粭l線，于是總路徑縮短了兩個(gè)河寬，A、B兩村正好向河岸垂直方向平移了河寬，此時(shí)求最短與原來(lái)本質(zhì)一樣（因?yàn)楹訉挶緛?lái)就是定值，不用考慮）。這樣理解使此法更加合理順暢，更有整體的高度。

下面繼續(xù)探討“動(dòng)”的應(yīng)用。

例1.已知：ΔABC中，∠C=90°，BD=AC，AE=CD

求證：∠BPD=45°

分析：

（1）由條件特征容易想到構(gòu)造全等三角形。

觀察圖中，由兩對(duì)相等線段BD=AC，AE=CD，想到找全等三角形，再由BD⊥AC，CD⊥AD，判斷這對(duì)全等三角形的位置關(guān)系是旋轉(zhuǎn)90度能夠重合。

（2）顯然AC、CD構(gòu)成ΔACD，它應(yīng)該是其中一個(gè)全等三角形，用“動(dòng)”字訣把它操作進(jìn)行如下運(yùn)動(dòng)。

上圖是把AE平移至BF處，從而得ΔDBF?ΔACD，進(jìn)而得等腰直角ΔADF和平行四邊形AEBF，∠BPD=∠FAD=45°，問(wèn)題得證。

用此“動(dòng)”法還可輕易進(jìn)行如下構(gòu)造：

下圖是把BD平移至EF處。

下圖是把AE平移至DF處。

下圖是把BD平移至AF處。

例2.（2017鹽城卷25題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， RtΔABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點(diǎn)D ，AE平分∠BAC交邊BC于點(diǎn) ，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，圓F與y軸相交于另一點(diǎn)G.

(1)求證：BC是圓F的切線；

(2)若點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為A(0, -1)，D(2, 0)，求圓F的半徑；

(3)試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

分析：

（1）（2）略。

（3）要想找關(guān)系，須“動(dòng)”起來(lái)，讓AD、CD、AG靠近集中。把AC、CD沿AE翻折，得AM=AD，EM=ED=EG，GN=MN=CD，得AG=AD+2CD。

同樣把ΔAEG沿AE翻折，同理可得。

例3.（2016鎮(zhèn)江卷）如果三角形三邊的長(zhǎng)a、b、c滿足(a+b+c)/3=b，那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”。如：三邊長(zhǎng)分別為1、1、1或3、5、7的三角形都是“勻稱三角形”。

（1）如圖1，已知兩條線段的長(zhǎng)分別為a、c（a<c）。用直尺和圓規(guī)作一個(gè)最短邊、最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)分別為a、c的“勻稱三角形”（不寫作法，保留作圖痕跡）。

（2）如圖2，ΔABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F。若CF:BE=3:5，判斷ΔAEF是否為“勻稱三角形”？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：（1）略。

（2）從條件特征看可以判斷應(yīng)該構(gòu)造相似三角形。構(gòu)造時(shí)用“動(dòng)”的觀點(diǎn)，把其中的關(guān)鍵三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放等相似變換。哪些是關(guān)鍵三角形？當(dāng)然是含BE、CF的三角形，因CF:BE＝3:5是關(guān)鍵條件。下面給出構(gòu)造方法，解題細(xì)節(jié)讀者自行補(bǔ)充。

①把ΔCFD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180度，構(gòu)造出兩對(duì)相似三角形，得AF:AE=BG:BE=CF:BE=3:5，設(shè)AF=3k，AE=5k，則EF=4k，符合“勻稱三角形”定義得證。

②把ΔBDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180度，仍得兩對(duì)相似形。

③把ΔCDF沿CD方向放大2倍得ΔCBG，AF:AE=FG:BE=CF:BE=3:5，進(jìn)一步得證。

④把ΔBDE沿BC方向放大2倍得ΔBCG，AF:AE=CF:EG=CF:BE=3:5，進(jìn)一步得證。

⑤把ΔBDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180度并縮放得ΔGDF。

⑥把ΔCDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180度并縮放得ΔGDE。

⑦連接OD后直接利用圖中相似形也可以證明，計(jì)算稍繁。

例4.已知：如圖，ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE⊥DE，∠ECB=∠CAD，求證：CD=2EF.

分析：乍看此題，是不是感覺(jué)不好下手？請(qǐng)你停住思考一下如何突破，然后看下面的分析。

讓我們從“動(dòng)”的視角打開切口，結(jié)論是尋找CD與EF的關(guān)系，條件有AE⊥CD，可知若CD旋轉(zhuǎn)90度與EF方向相同（平行），如何旋轉(zhuǎn)呢？旋轉(zhuǎn)必有邊能重合或成比例才能與其它元素產(chǎn)生聯(lián)系，顯然，ΔACD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90度可使AC與AB重合。如下圖，先證∠ECB+∠ACB=∠CAD+∠ADE，∠ADE=∠ACB=45°，等腰直角三角形ADE，再由ΔAGB?ADC得EF=1/2BG=1/2CD。

例5.（2015天津卷）[本題的思路得到于新華老師的啟發(fā)，在此感謝！]

如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，點(diǎn)E、 F分別為線段BC、DB上的動(dòng)點(diǎn)，且BE =DF.

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)BE =2.5時(shí)，計(jì)算AE+AF的值等于 ；

（Ⅱ）當(dāng)AE+AF取得最小值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D②所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫出線段AE、AF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置是如何找到的（不要求證明）　　.

分析（Ⅱ）：想想看，本題的困難在哪里？

AE、AF是兩條折線段，當(dāng)它們?cè)谝粭l直線上時(shí)和最小。如何把它們變成兩定點(diǎn)之間的路徑是關(guān)鍵，由“化同為異，變折為直”的原則可知必須把兩條動(dòng)線段AE、AF變?yōu)榫佑趧?dòng)點(diǎn)軌跡兩側(cè)的折線。這樣一想就很容易了，如下圖，把ΔADF放至ΔBGE的位置，當(dāng)AE、GE共線時(shí)即可實(shí)現(xiàn)AE+AF最小。

或者把ΔABE搬移至ΔGDF處，AG即為最小值。

題中要求用無(wú)刻度的直尺確定E、F點(diǎn)，需先確定G點(diǎn)位置，即如何在網(wǎng)格中僅用直尺畫出長(zhǎng)為4個(gè)單位的線段呢？

易知BN=5，可以設(shè)法把BN分為1:4兩部分，如下圖用縮放的方法構(gòu)造1:4的相似形，確定G點(diǎn)。同理可確定H點(diǎn)。

如下圖，換個(gè)方向一樣可以構(gòu)造。

值得一提，在網(wǎng)格中可以借助構(gòu)造相似形或平行線分線段成比例定理把一條線段分成任意比例，如下圖把線段AB分成3:1兩部分。

最后來(lái)個(gè)小測(cè)試，看完下面這個(gè)題目，在紙上畫出圖形，如能在3分鐘內(nèi)證畢，說(shuō)明你已初步了解“動(dòng)”字訣的要義。

練習(xí)：已知：如圖，ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CD⊥AC，連接AD，在AD上取點(diǎn)E，使AE=AB，連接BE，交AC于點(diǎn)M.

求證：AD=AM+CD