物理學中包含許多不同的方程式，這些方程描述了從微觀世界的粒子行為到宏觀宇宙的演化。在所有的物理方程中，用來描述流體如何流動的納維-斯托克斯方程（簡稱NS方程）被認為極具挑戰(zhàn)性的，因此被克雷數(shù)學研究所列為七個“千禧年大獎問題”之一（無論是誰解決了其中一個難題，都將獲得100萬美元的獎勵）。

NS方程可以看作是牛頓第二定律的流體版本。牛頓第二運動定律告訴我們：

質(zhì)量 × 加速度 = 力

它描述了一個物體的速度在外力作用下會如何改變。

在NS方程中，等式左邊包含的是密度和加速度，右邊包含了壓強的變化、內(nèi)力的變化，還有作用在流體上的外力的變化。

NS方程的歷史可追溯到19世紀20年代，現(xiàn)已被廣泛用來模擬各種物理系統(tǒng)，例如流出水龍頭的水，或流過飛機機翼的氣流。從物理學的角度來看，NS方程運作良好，似乎有著非?？煽康念A測能力；但在數(shù)學家心中，它們的數(shù)學合理性卻一直存疑，數(shù)學家想要證明無論對于什么樣的流體，也無論對其流動的預測發(fā)生在多遠的未來，這些方程在數(shù)學性上都是正確的。他們想要知道的是有沒有可能在某些情況下，這些方程會出現(xiàn)故障，產(chǎn)生不正確的答案，或者根本無法給出任何答案。

證明NS方程的解永遠存在是這個千禧年大獎問題的核心所在。那么，為什么這在數(shù)學上會是如此困難的問題？

湍流便是這其中的原因。湍流是有序流動的流體變化成的看似不可預知的漩渦，例如一縷青煙在空氣中擴散，牛奶和咖啡的混合，生活中的現(xiàn)象都與湍流有關。然而，熟悉并沒能孕育出理解，毫不夸張的說：湍流是物理世界中最難以理解的部分之一。

據(jù)說，對量子力學做出巨大貢獻的物理學家維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）曾經(jīng)說：“當我見到上帝時，我想問他兩個問題：為什么會有相對論？為什么會有湍流？我相信他一定會有第一個問題的答案?！边@個說法的真實性雖無從考證，卻道出了許多科學家對湍流的感覺。

在探討湍流之前，我們可以先來說說什么是非湍流。一個簡單的非湍流例子就是一條平穩(wěn)流動的河，河流中的每個部分都以相同的速率向相同的方向運動。而湍流就是阻撓了這條河平穩(wěn)流動的存在，它讓不同部分的河流以不同的速度向不同方向運動。物理學家首先將湍流的形成描述為是平穩(wěn)流動的渦流，然后在這個渦流中形成了更小的渦流，更小的渦流中又進一步形成更加細小的渦流……這個過程循環(huán)往復，使得流體分裂成許多離散的部分，它們各自運動，又相互作用。

對科學家來說，他們想要了解的是平穩(wěn)的流動會如何分解成湍流，以及如何模擬已產(chǎn)生湍流的流體的形狀變化。而數(shù)學家想要解決的問題則更為基礎的問題：證明方程的解永遠存在，即探尋方程是否能從任何起始條件開始，對任意流體進行無限的描述。

因此，總結(jié)說來，NS方程難題可以被分為兩個部分：

第一個是關于方程解的存在性；

第二個是關于這些解是否有邊界（是有限的值）。

第一個部分說的是，對于一個數(shù)學模型來說，無論它多么復雜，若要想代表這個物理世界，那么它首先必須有解。目前在實踐中，雖然NS方程為流體的運動提供了許多很好的預測，但是這些都是NS方程的完整解的近似。而之所以會產(chǎn)生近似值，是因為我們通常沒有簡單的數(shù)學公式可用，只能用計算機進行近似的數(shù)值計算以求解這些方程。雖然科學家相信這些近似解就是正確的，但在數(shù)學上仍缺乏一個能正式表明這些解確實存在的證明。

第二部分則需要探討這些方程的解是否會出現(xiàn)奇點，或者說無窮大。這個問題之所以重要，是因為如果在NS方程中存在這樣一個無法計算的無窮大值，那么NS方程就會失效，解也不復存在，這直接表明了我們可能漏掉了某些重要的、尚未可知的物理學。流體力學的歷史充滿了簡化版的NS方程的解，這些方程產(chǎn)生奇異解。在這種情況下，奇異的解往往暗示著一些以前在簡化模型中沒有考慮過的物理現(xiàn)象。識別出這種新的物理現(xiàn)象促使著研究人員進一步地完善他們的數(shù)學模型，從而提高模型與現(xiàn)實之間的一致性。

所以，對存在性和光滑性問題的追問是為了讓我們徹底地明白在物理世界里真正發(fā)生了什么。許多數(shù)學家都嘗試過尋找這個問題的答案，但都以失敗告終。一些物理學家認為，對強耦合的理解的新進展，或許會有助于破解NS方程。

每當我們從數(shù)學角度談論物理方程時，很自然的就會想要知道：這些會改變我們對物理世界的看法嗎？經(jīng)過近200年的實驗，我們可以清楚地看出這些方程是有效的：由NS方程預測的流動與實驗中觀察到的流動總是相符的。如果你是一個實驗物理學家，或許這樣的一致性就已經(jīng)足夠了。但是，數(shù)學家對存在性和光滑性問題的追問，才能讓我們徹底地明白在物理世界里真正發(fā)生了什么，這有助于我們準確地看到對有著任意初始配置的流體是如何發(fā)生瞬時變化的，甚至能精確定位湍流的開始。