 作者簡介： 立體幾何是高中數(shù)學的重點內容, 也是高考考查的重難點。本文以2018 年高考數(shù)學全國I卷理科試卷的立體幾何題目為例題, 基于《普通高中數(shù)學課程標準》, 在核心素養(yǎng)的大背景下, 探討解法, 整合概念, 變式探究, 反思改進教學方法和教學策略, 以求提高學生的學習能力并滲透數(shù)學素養(yǎng)。 立體幾何中的翻折問題由于要發(fā)掘圖形翻折前后的差異與聯(lián)系, 尋找定型定量, 題型新穎, 解法豐富, 一直是立體幾何教學和考查的熱點。在2018 年高考數(shù)學全國I卷理科試卷中, 立體幾何的解答題就是以翻折問題的形式展現(xiàn)。 一 一題多解固基礎, 多法比較建聯(lián)系 一 解法一：傳統(tǒng)法-解三角形 二 解法二：傳統(tǒng)法-解三角形 三 解法三：傳統(tǒng)法-等體積公式 四 解法四：向量法1 四 解法五：向量法2 六 解法六：向量法3 知識之間是有聯(lián)系的。通過一題多解，不但可以建立解法之間的聯(lián)系，優(yōu)化方法，洞察問題的深層結構，而且多種解法的呈現(xiàn)也可以滿足不同學生對同一問題的不同認知。解法1、2、3 是綜合法，解法4、5、6 是向量法。在此題的解答中，綜合法的關鍵是利用定義找到所求線面角，向量法的關鍵在于恰當建立坐標系，但是兩種方法的難點都在于與P點相關的長度或者坐標的確定。 解法1是由因導果的綜合法的完整體現(xiàn)，需要比較強的數(shù)據(jù)分析能力以確定△PEF是直角三角形, 從而突破PH長度的求解障礙；解法2利用方程求解PH的長度；解法3利用等體積法求解PH，解法1、解法2都是將立體幾何問題降維后在三角形中解決的，解法3利用了等體積法，突出了避作而求的推理方式；解法4是解法1的向量法體現(xiàn)；解法5、解法6是解法2的向量法體現(xiàn)，不同之處在于建系的方式不同。 通過以上方法的比較不難發(fā)現(xiàn)，綜合法需要添加輔助線才能把相關幾何元素聯(lián)系起來，而這常常成為制約學生分析問題的障礙。向量法已經利用直線的方向向量和平面的法向量將線面角的關系模型化，將線面角的求解方法公式化，避免了尋找線面角這個難點。這體現(xiàn)出向量法在立體幾何問題中定量分析的優(yōu)勢，也可以說，向量法是立體幾何中定量分析的更加優(yōu)化的方法。所以，對于幾何中嚴密的論證和計算，一方面我們要提高學生利用綜合法解決問題的能力，進一步發(fā)展和完善學生的推理能力；另一方面要強化向量法，利用坐標中向量之間的性質解決問題。 二 收集錯誤顯問題, 反思教法促教學 對于此問題的解答，學生多采用向量法，而在平常的教學過程中，對于角度、距離類定量分析的問題，學生也偏好向量法，這與立體幾何改革的基本方向一致。當然，不論是綜合法還是向量法，能夠準確運用并解決問題就是好方法，然而，對于這道看似并不困難的問題，答卷情況卻不容樂觀，出現(xiàn)比較多的知識方法錯誤有以下三點： 針對以上3個常見錯誤, 在立體幾何的教學中, 應當注重以下策略和方法上的調整： （一） 理清基本線索 從數(shù)學的內在邏輯上看，立體幾何的基本線索是1從定性到定量2從綜合法到向量法，教材中立體幾何的內容安排設置也是以此為據(jù)的。那么，在立體幾何的教學，特別是高三復習中，也應當遵從這條線索，讓學生對立體幾何認知符合規(guī)律；在每個立體幾何問題的分析過程中，也應當先理清點線面關系，再建立數(shù)量或向量關系，讓學生對每個問題的理解循序漸進。 （二） 強調基本圖形 亦如平面幾何中強調三角形，立體幾何中也有基本圖形，例如長方形，四面體，這些基本圖形隨手可得，結構簡單，但是卻蘊含了所有的點、線、面關系。在立體幾何的教學中，都應當強調在基本圖形中理解基本幾何元素關系，理解基本定理，理解基本公式方法，那么在復雜的圖形中，學生才可以舉一反三，觸類旁通。 （三） 歸納基本圖例 學生之所以在題海中低效徘徊，很重要的原因在于缺乏反思和歸納總結。其實，立體幾何中的點、線、面關系就那幾類，角度及距離問題就那幾個，選取恰當?shù)膱D例概括歸納，既有助于點、線、面關系的定性分析，更有助于公式理解及應用的定量分析。如圖5，既包含了許多點、線、面關系，從中可以對線面垂直，平面的斜線，線面角等有更好的理解，也包含了點面距離，線面角關系及向量關系，從該圖中, 可以建立圖形和公式的聯(lián)系。 三 一題多變提能力, 滲透素養(yǎng)增效力 數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學，立體幾何尤為如此。所以在立體幾何的教學中，不論是定性分析還是定量分析，不管是綜合法還是向量法，都要緊抓圖形分析數(shù)據(jù)，而且可以發(fā)揮立體幾何中數(shù)量與圖形緊密聯(lián)系的特點，設置連續(xù)而有邏輯關聯(lián)的變式問題，并在這些問題的解決過程中，進一步強化訓練推理論證的技能。 一 變式一
二 變式二
三 變式三
四 變式四
設計意圖：例題變式1-變式4在高考原題的基礎上展開，意在通過學生熟悉的題干和圖形對距離、二面角、內切球和外接球等常規(guī)概念、問題及涉及的方法進行復習鞏固。數(shù)學核心素養(yǎng)要求學生能夠在熟悉的情境中建立數(shù)量與圖形的聯(lián)系并進行抽象和表達論證。在平常的立體幾何教學中，可以啟發(fā)學生在同一個立體幾何背景中尋找不同的點、線、面之間的關系并進行自主變式教學，多角度的理解圖形并認知問題。
五 變式五
六 變式六
設計意圖：變式5、6將高考原題中的條件“PF⊥BF”換為“平面DPF⊥平面DEF”，變式5的問題和原題相同，變式6與變式4的問題類似但有所推廣。兩個問題意在通過與原問題關聯(lián)或者相似的情景，幫助學生能夠理解和建構相關數(shù)學知識之間的聯(lián)系，從而進一步理解數(shù)學概念，辨析邏輯關系，提煉數(shù)學方法。 七 變式七
八 變式八
九 變式九
設計意圖：變式7-9 刪除了高考原題中的條件“PF⊥BF”，那么圖形就不是靜態(tài)的圖形，是在翻折變化的動態(tài)過程中設置問題，學生也只能在動態(tài)過程中思考三組異面直線的位置關系。3個題目都以推理論證能力培養(yǎng)為目標，在思考解答的過程中考察培養(yǎng)了舉正例，舉反例，綜合分析，反證分析等能力。3個問題意在通過綜合化的一般情境，理解數(shù)學的抽象結構和結論的一般性，期望學生能夠對較為復雜的數(shù)學問題探索論證途經并用數(shù)學語言合理準確的進行表達。 十 變式十
設計意圖：該問題依然在翻折過程中設置，屬于開放探究性問題，變量的引入和問題的解決途經均具有偶然性和自主性，可以鼓勵學生通過操作觀察，形成猜想，證明結論。經歷這樣的探究過程，有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，分類討論，作圖表達，推理論證的能力，在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，積累探究活動經驗。 四 結語 由于高考題目不但依據(jù)課標，緊貼教材，有一般訓練題目不可比擬的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性；而且高考題目經過了全國學生的實踐檢驗及老師的深入研討，科學性強，解題思路明朗，解題書寫規(guī)范，評分細則標準，所以高考真題既有利于全面覆蓋，又有利于突出重點。在高三的教學中，教師如果能發(fā)揮高考真題的真優(yōu)勢，讓真題的分析是真知灼見，讓問題的診斷有真憑實據(jù)，讓解法的優(yōu)化能返璞歸真，讓教法的改善可去偽存真，那么，學生必定可以獲取真才實學。 首發(fā)于微信公眾號：數(shù)學第六感（ID：Math-110）；作者：段偉、廣東省東莞實驗中學；轉載請注明出處；如存在文章/圖片/音視頻使用不當?shù)那闆r，或來源標注有異議等，請聯(lián)系編輯微信：ABC-shuxue第一時間處理。 |
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