一、函數(shù)的前世

要學(xué)懂微積分，第一個要掌握數(shù)學(xué)概念就是函數(shù)，它是微積分的研究對象。

（1） 函數(shù)概念要解決什么問題？

它產(chǎn)生于16、17世紀，起因是生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展要求數(shù)學(xué)研究運動和變化中的數(shù)量關(guān)系。那么如何研究？數(shù)學(xué)家們首先創(chuàng)造一個變量的概念，然后緊接著又定義一個函數(shù)概念，函數(shù)就是研究變量一個工具和辦法。

函數(shù)要描述一個什么內(nèi)容？概括性地講，函數(shù)要描述兩個變量之間的相互依賴、轉(zhuǎn)化的關(guān)系，這就是函數(shù)的本質(zhì)。

（2）偉大的概念

首先，它是從常量數(shù)學(xué)邁進變量數(shù)學(xué)的標志。16世紀以前，數(shù)學(xué)研究的多為靜止不動的常量，稱為常量數(shù)學(xué)或者初等數(shù)學(xué)。16世紀，變量和函數(shù)概念產(chǎn)生標志著數(shù)學(xué)從常量時代進入到變量時代。

其次，它是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，有著無比重要地位，在高等數(shù)學(xué)和近代數(shù)學(xué)中處于中心地位?？梢灾v，沒有函數(shù)就沒有高等數(shù)學(xué)和近代數(shù)學(xué)。克萊因在其名著《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》中曾說過：“在過去兩個世紀的一切數(shù)學(xué)概念中，凡用到數(shù)學(xué)思想的地方，函數(shù)概念總起著主導(dǎo)的作用。函數(shù)是數(shù)學(xué)思考和科學(xué)思考的心臟和靈魂?！泵绹鴶?shù)學(xué)家柯朗與魯濱遜在其名著《數(shù)學(xué)是什么》中說：“近代數(shù)學(xué)的主體，主要圍繞著函數(shù)和極限的概念?！?/span>

再其次，幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域都離不開函數(shù)概念。它不僅在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、建筑、機械、電子等自然科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)科中有著廣泛應(yīng)用，大到宇宙起源、天體的運行，小到原子、分子的運動，而且在世界人口的增長、金融市場的變化、國民經(jīng)濟的發(fā)展、工程技術(shù)的創(chuàng)新等社會科學(xué)與人文學(xué)科也是一種有效研究方法。

（3）函數(shù)一詞的最初含義

函數(shù)概念在其產(chǎn)生后的200多年間經(jīng)歷了五次大的演變，這里面既有質(zhì)的改變，也有形式內(nèi)容上的完善，其中前幾次演變與微積分學(xué)有密切關(guān)系。

17世紀上半葉，伽利略和笛卡爾最先提出了函數(shù)的思想。笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中引入坐標系，他注意到平面上點的坐標 （x，y）中的y依賴于x變化。1673年微積分的創(chuàng)立者之一德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨最早使用了“functoin（函數(shù)）”一詞，最初函數(shù)表示冪（），后來又用函數(shù)表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來表示變量間的關(guān)系。

17世紀下半葉微積分初創(chuàng)時，函數(shù)沒有明確一般意義，最初含義是曲線上變動點（量），大部分函數(shù)被當(dāng)作曲線來研究。而微積分初創(chuàng)期，研究對象就是曲線。

所以我們在研究和理解微積分時，在許多不需要太嚴格的情況下，可以把函數(shù)理解為曲線，這樣便于學(xué)習(xí)。

（4）解析式說

隨后微積分的發(fā)展促使函數(shù)概念用解析表達式（即聯(lián)系兩個變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)算式）表示，這是函數(shù)概念的第一次重大演變。1694年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰伯努利首先給出“解析式說函數(shù)概念”。約翰伯努利的學(xué)生、數(shù)學(xué)王子、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1748年在其著作《無窮小分析論》中對伯努利的定義作部分修正：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達式。同時，歐拉發(fā)明利用英語單詞“function＂的首個字母f當(dāng)作函數(shù)符號f(x）。

查詞典可知，函數(shù)的英文“functoin”一詞有“(機器等)工作、運行”的釋義。所以，在當(dāng)時通俗形象理解，函數(shù)就是一種運算機器，以f(x)=為例，它就是一臺“平方機器'，進去的是±5，出來的是25；若進去的是“□”，出來的就是“□^2”！

函數(shù)的解析式說定義在18世紀大部分時間占有統(tǒng)治地位，它的優(yōu)點是“解析式”是具體可以看到的東西，對幫助初學(xué)者理解函數(shù)概念是十分有益的。實際上，微積分要研究的大多數(shù)函數(shù)都是有解析式。另外，利用函數(shù)解決實際問題時，需要建立函數(shù)模型，只有找到數(shù)學(xué)解析式，才能通過討論和計算使得問題得以解決。它的不足是，把用圖形、表格及其他方式給出的函數(shù)都排斥在外。

總結(jié)一下，函數(shù)的最初含義和解析式定義是最能反映函數(shù)直觀特征，是最容易被普通人所理解的通俗講法。雖然它沒有反映出函數(shù)的本質(zhì)——兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，其中最顯著的對應(yīng)關(guān)系就是相互依賴關(guān)系。

（5）中文“函數(shù)”的含義

1859年，清代著名數(shù)學(xué)家（清代數(shù)學(xué)第一人）李善蘭將美國一本代數(shù)和微積分教材翻譯中文（中國第一本微積分教材），把“function”翻譯成“函數(shù)”。在中國古代，“函”與“含”通用，都有“包含”的意思。書中定義為“凡式中含天，為天之函數(shù)”，中國古代用天、地、人、物四個字表示四個不同的未知數(shù)或未知量，因此，該定義翻譯成現(xiàn)代文就是“凡是公式中含有變量x，則該式子稱為x的函數(shù)”。書中又解釋道：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”,即一個量中包含另一個量，則這個量就是另一量的函數(shù)。李善蘭所譯的函數(shù)概念是解析式說定義。

舉例子說明一下。x^2, x^2-1, y^2是函數(shù)嗎？是的，都是函數(shù)，x^2, x^2-1是x的函數(shù)，y^2是y的函數(shù)。只不過，它們是簡約版的表達，一般表達是f(x)=x^2，或y=x^2。

為什么筆者要花這么大篇幅敘述函數(shù)概念變化的歷史沿革？因為絕大部分中國人學(xué)了十多年數(shù)學(xué)，做了無數(shù)題目，到頭來連函數(shù)是什么意思，都說不清楚。原因是中國數(shù)學(xué)教育沒有這部分內(nèi)容，說明中國數(shù)學(xué)教育大方向有重大偏差，南轅北轍。

（6）變量依賴說

函數(shù)概念的第二次重大演變是用“運動與變化”的觀點給函數(shù)下定義。1８世紀中期，數(shù)學(xué)家們一直在爭論振動弦問題：“一根兩端固定的彈性弦被變形成某種初始形狀，然后被釋放出來振動。問題是描述確定某時刻弦形狀的函數(shù)。”這場辯論對函數(shù)概念的演變產(chǎn)生了重要的影響，出于刻畫弦形狀的函數(shù)的需要，數(shù)學(xué)家圍繞“如果兩個表達式在某個區(qū)間一致，那是否處處一致？”這一問題展開了爭論。如果函數(shù)被定義為解析式，那么答案是肯定的，曲線的一小部分已經(jīng)決定了其表達式，從而決定曲線整體的位置，而歐拉發(fā)現(xiàn)某些分段函數(shù)不符合這一規(guī)律，同時徒手畫的曲線也不滿足這一規(guī)律。

因此，數(shù)學(xué)家們開始意識到用“解析式”定義函數(shù)已經(jīng)不夠完善了，于是1775年，歐拉在《微分基礎(chǔ)》中更新了函數(shù)定義：“如果某些量依賴于另一些量，當(dāng)后面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)?！焙瘮?shù)的“變量依賴說”定義由此誕。

變量依賴說的進步之處在于，不管函數(shù)f(x）是用一個解析式（一個或多個）、還是沒有解析式表示，只要由自變量的一個值可以決定因變量的相應(yīng)值，f(x）就是y的函數(shù)。它反映了函數(shù)概念中的辯證思想，體現(xiàn)了從“自變”到“因變”的過程，從“關(guān)注結(jié)果”轉(zhuǎn)向“關(guān)注過程”，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大進步。

所以《高等數(shù)學(xué)》(同濟版,第七版)第1頁第一段話第二句：所謂函數(shù)關(guān)系就是變量之間的依賴關(guān)系，目的是為了突出函數(shù)的靈魂（“變化”）。

（7）變量對應(yīng)說

函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng)關(guān)系（規(guī)律），只有突出對應(yīng)關(guān)系在函數(shù)定義中的地位，才能真正把握函數(shù)概念。

德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年給出“變量對應(yīng)說”定義：“如果對于給定區(qū)間上的每個x的值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)”。他進一步還指出，y依賴于x關(guān)系是否可用數(shù)學(xué)運算式來表達，無關(guān)緊要。1851年德國數(shù)學(xué)家黎曼把函數(shù)定義中的“完全確定的值”改為“唯一的一個值”。這是函數(shù)概念的第三次重大演變。

從歐拉以來，數(shù)學(xué)家實際上都將函數(shù)認為是解析式或曲線，而狄利克雷首次將函數(shù)看成任意的變量對應(yīng)關(guān)系，并且他舉出了“性狀極怪”的函數(shù)實例，即狄利克雷函數(shù)，其意義在于：它突破了以往人們對于函數(shù)的印象，是第一個既不是由一個解析式表示，也不是徒手繪制的曲線；它說明函數(shù)具有“任意配對”的本質(zhì)。

新課改之前，我國初中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義，實際上是歐拉的“變量依賴說”與黎曼的“變量對應(yīng)說”的混合物。這種動態(tài)的描述性定義方式體現(xiàn)了原始粗略但生動直觀的一種動態(tài)文化內(nèi)涵，其優(yōu)點是把“變量”與“對應(yīng)法則”巧妙地融合在一起這就是說，它既突出了函數(shù)的靈魂（“變化”），又強調(diào)了函數(shù)的本質(zhì)（“對應(yīng)關(guān)系”）。其不足之處是函數(shù)定義的適用范圍不夠廣泛，而且也不利于函數(shù)運算。

二、映射

在高等數(shù)學(xué)中 我們經(jīng)常講函數(shù)就是映射，那么函數(shù)與映射是什么關(guān)系？我的說法，兩者是互幫互助的好同桌。17世紀下半葉，數(shù)學(xué)家們?yōu)檠芯孔兞縿?chuàng)立了函數(shù)概念，其后定義多次演變。200年后，19世紀70、80年代集合論創(chuàng)立，戴德金將函數(shù)概念推廣（拓廣）形成映射的概念。20世紀初,數(shù)學(xué)家們又借助映射概念重新定義函數(shù)，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義。

所以是先有函數(shù)概念，后有映射概念，映射概念是脫胎于函數(shù)概念，是函數(shù)概念推廣（拓廣），映射概念大于函數(shù)概念，兩者本質(zhì)是一樣。

（1）集合論講了些什么？

集合論要解決的基本問題就是：無窮是什么？集合論講，無窮是一個集合，集合可以運算，可以比較大小。

“無窮是什么？”這一問題，早在集合論創(chuàng)立之前的兩千多年，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們就已經(jīng)接觸到了大量有關(guān)無窮的問題。但由于人類認知水平有限，無力去把握和認識它，只好采取“鴕鳥把頭埋進沙子里”的辦法，不承認它的存在。所以對無窮的認識，可以說是對人類智慧最高程度的挑戰(zhàn)。

集合論的方法是：用“集合”來研究“無窮”。人類幾千年無法破解“無窮”，主要卡在“無窮”所涉及的個體是無窮無盡的，沒法具體數(shù)清楚準確的個數(shù)，更無法進行數(shù)學(xué)運算?？低袪柌扇∫粋€全新的辦法，它就是：既然個數(shù)無窮無盡、數(shù)不清楚，那么就把全部個體當(dāng)成一個整體來看待，當(dāng)成一個集合來研究。集合，我們可以理解為“一個集裝箱”，把某類數(shù)的全體、某類元素的全體“打包裝箱”成一個整體（一個集合）；然后重點研究各集合之間的關(guān)系，通過關(guān)系的研究去解決問題。例如通過研究不同集合內(nèi)部元素之間一一對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并證明：無窮有大小之分，自然數(shù)、整數(shù)和有理數(shù)的個數(shù)是相同等許多重要的、突破性的結(jié)論。

那么，什么是關(guān)系？集合之間有什么關(guān)系？說白了，數(shù)學(xué)就是一種高級系統(tǒng)。在任何系統(tǒng)中，“關(guān)系”是核心內(nèi)容，是系統(tǒng)的第一特征。沒有關(guān)系就談不上系統(tǒng)，關(guān)系愈豐富、愈深刻、愈復(fù)雜，則系統(tǒng)愈高級、愈活躍、愈完善．?dāng)?shù)學(xué)也如此，沒有了關(guān)系，數(shù)學(xué)僅有“數(shù)”而無“學(xué)（探討規(guī)律）”的東西了。反之，有了關(guān)系，則“數(shù)”不僅是數(shù)（量），也可以是變數(shù)、模數(shù)（即模量）、函數(shù)，從而成為“數(shù)學(xué)”。

數(shù)學(xué)系統(tǒng)與其它系統(tǒng)相比，有一個重要特征。它不僅在于維持、演繹著它的關(guān)系、更在于開發(fā)、創(chuàng)造著新的關(guān)系。利用關(guān)系可從已知推無知，從有限探無限，從關(guān)系推關(guān)系，從而使得數(shù)學(xué)系統(tǒng)日益復(fù)雜、完善。

雖然數(shù)學(xué)中的關(guān)系不可一一枚舉，但其中最基本的是（兩個對象間的）“二元關(guān)系”。從二元關(guān)系角度，集合論把數(shù)學(xué)關(guān)系可以歸納為序關(guān)系、等價關(guān)系、運算關(guān)系、映射關(guān)系等幾種基本類型。

（2）映射

“映射”是集合論中最為基本、最為普遍的一個概念，包括“運算”也可以認為是一種映射。德國數(shù)學(xué)家戴德金在1887年借鑒“函數(shù)”概念中“對應(yīng)法則”給出“映射”的定義：系統(tǒng)S上的一個映射蘊涵了一種規(guī)則，按照這種規(guī)則，S中每一個確定的元素s（小s）都對應(yīng)著一個確定的對象，它被稱為s（小s）的映象，記作φ（s）。我們也可以說，φ（s）對應(yīng)于元素s，φ（s）由映射φ作用于s而產(chǎn)生或?qū)С?；s經(jīng)映射φ交換成φ（s）。

這個的定義是描述性的，本質(zhì)就是“映射”是一類因果演化方式的形象描述，這種“因果演化”表明：一個集合中的元素（因）按確定的方式（或叫規(guī)則）φ轉(zhuǎn)化為另一個集合中的元素（果）。需要說明的是，這里的“因果演化”與數(shù)學(xué)定理的因果證明(演算)是不同的，所以映射只能算一類因果演化。

《高等數(shù)學(xué)》(同濟版,第七版)第1頁的映射定義如下：設(shè)X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則 f，使得對X中每個元素x按法則 f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么稱f 為從X到Y(jié)的映射，記作f：X→Y。

因為映射關(guān)系脫胎于“函數(shù)”概念中“對應(yīng)法則”，所以粗略地講，“映射”概念在很多情況下等同于“函數(shù)”概念，“映射”是“函數(shù)”概念在集合論中推廣（拓廣）。集合論的特點是集合能海納百川、包羅萬象，所以“映射”也能海納百川、包羅萬象，比“函數(shù)”概念應(yīng)用范疇要廣闊百倍。也就是說，映射包含函數(shù)，函數(shù)是映射的一個特例，即實數(shù)集到實數(shù)集的映射，其特征是能寫出函數(shù)表達式或具有函數(shù)式特征。

而“映射”則比較為廣義。它既可表示已經(jīng)形式化了的映射關(guān)系，也可表示未經(jīng)（難以）形式化的映射關(guān)系，比如可說建模活動也是一種映射；從實踐中提取某種信息也一是種映射；所有生產(chǎn)過程也是一種映射；專家憑經(jīng)驗對某事物給出評價、打分也是一種映射；一切因果演化都叫做映射。甚至于，序關(guān)系和運算關(guān)系也可以理解為一種（二元）映射，也可以用映射的方式來敘述它們。

三、函數(shù)的今生

（1）集合對應(yīng)說

集合論誕生后，函數(shù)定義中加入集合和映射的內(nèi)容，這個定義是黎曼等的“變量對應(yīng)說”與戴德金的映射結(jié)合在一起演變出來的，目前我國高中數(shù)學(xué)教材中普遍使用它，表達為：設(shè) A、B為兩個非空集合，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系，對于集合A中每一元素x，總有集合B中唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么這個對應(yīng)關(guān)系叫做一個映射。當(dāng) A、B為非空數(shù)集時，這樣的映射就稱為函數(shù)。

利用集合之間的“對應(yīng)關(guān)系”給函數(shù)下定義，擺脫了“變量”對函數(shù)概念的約束，使得函數(shù)概念的適用范圍更為廣泛。因此，是函數(shù)概念的第四次重大演變。

（2）集合關(guān)系說

“變量對應(yīng)說＂定義中雖然突出了“對應(yīng)法則”的地位、但對應(yīng)法則 f是什么尚欠明確定義（或者說回避交代）因而顯得含糊。為了回避“對應(yīng)”，德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫在他的《集合論綱要》（1914年）用“序偶”來定義函數(shù)，但“序偶”的含義又是不明確的。波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖蟹蛩够?921年用集合概念定義“序偶”，對豪斯多夫的定義加以完善在此基礎(chǔ)上，1939年法國的布爾巴基學(xué)派對“關(guān)系”加以限制給出下述十分形式化、抽象化的函數(shù)定義：

設(shè)A與B是給定的數(shù)集， f是笛卡兒乘積集A×B(=｛（x,y)l x∈A，y∈B})的一個子集（也稱A與B的一個關(guān)系），如果對于任何x∈A，存在唯一的y∈B,使得（x，y）∈ f（等價于若（x,y), (x, z）∈f，則必有y＝ z），則稱 f是定義在A上、取值在B中的函數(shù)。

“集合關(guān)系說”是用集合論的語言，即對笛卡兒乘積集加以適當(dāng)限制再對函數(shù)下定義，消除了“變量”“對應(yīng)”等含義模糊的用語，因而是完全數(shù)學(xué)化的定義。按照這一定義方式，函數(shù)概念完全明確了所謂“函數(shù)’無非就是一張“表”，借此表給出x的值，可以知道相應(yīng)的y的值。這種定義方式的最大優(yōu)越性，還在于把幾何與代數(shù)有機統(tǒng)一起來，定義中的“f”既可以看成對應(yīng)法則，也可以看成函數(shù)的圖像（而且適用于不同的坐標系）。進一步，這種完全形式化的定義還便于為計算機所接受由此可見，這種高度統(tǒng)一、形式化函數(shù)定義，函數(shù)概念的第五次重大演變。

不過，這種定義方式由于過于形式化，抽去了函數(shù)關(guān)系生動的直觀（變化）特征，看不到直接的“對應(yīng)關(guān)系”，更加沒有明顯的解析式，因此初學(xué)者難以掌握。也許正是基于這個理由，目前中學(xué)數(shù)學(xué)教材中普遍不使用這種“最現(xiàn)代化”的函數(shù)定義方式。

最后總結(jié)一下，如果再有人問，什么是函數(shù)？通俗講，人類為了研究運動和變化，開始關(guān)注變量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩個變量之間有一種互相依賴的關(guān)系，即A變量變化、B變量也隨著變化，西方人便給這個關(guān)系取名“function＂。

這種變量之間互相依賴的關(guān)系，本質(zhì)是什么？三百年間，人類不斷探索，認識不斷提高，前后經(jīng)歷5個階段，目前的認識是把它當(dāng)成集合間的“映射”關(guān)系。

那么“映射”又是什么關(guān)系？就是“對應(yīng)”關(guān)系。

1859年，李善蘭根據(jù)18世紀時的定義，把“function＂翻譯成“函數(shù)”，“函”是“含有”的意思，即“A變量中含有B變量，A變量可以用B變量的代數(shù)式來表達”。為什么用此“函”，不用彼“含”？因為“function＂還有另一個含義，它是一種“運算機器”，類似一個大鐵盒子。