百度關(guān)于函數(shù)解釋一：

函數(shù)
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，函數(shù)是一種關(guān)系，這種關(guān)系使一個(gè)集合里的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到另一個(gè)（可能相同的）集合里的唯一元素
（這只是一元函數(shù)f（x）＝y(tǒng)的情況，請(qǐng)按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
應(yīng)變量，函數(shù)一個(gè)與他量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對(duì)應(yīng)的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函數(shù)兩組元素一一對(duì)應(yīng)的規(guī)則，第一組中的每個(gè)元素在第二組中只有唯一的對(duì)應(yīng)量。

函數(shù)的概念對(duì)于數(shù)學(xué)和數(shù)量學(xué)的每一個(gè)分支來(lái)說(shuō)都是最基礎(chǔ)的。

函數(shù)概念的發(fā)展
1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)
十七世紀(jì)伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門(mén)新科學(xué)》一書(shū)中，幾乎全部包含函數(shù)或稱(chēng)為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴(lài)關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時(shí)還沒(méi)有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用“function” （函數(shù)）表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系。

2.十八世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)
1718年約翰•貝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”他的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來(lái)表示。
1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數(shù)。”
18世紀(jì)中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。”他把約翰•貝努利給出的函數(shù)定義稱(chēng)為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

3.十九世紀(jì)函數(shù)概念——對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式。不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”這個(gè)定義避免了函數(shù)定義中對(duì)依賴(lài)關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。
等到康托(Cantor，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象。

4.現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來(lái)定義函數(shù)，其避開(kāi)了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”使豪斯道夫的定義很?chē)?yán)謹(jǐn)了。
1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合Ｎ確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱(chēng)為自變?cè)?，元素y稱(chēng)為因變?cè)?#8221;


術(shù)語(yǔ)函數(shù)，映射，對(duì)應(yīng)，變換通常都有同一個(gè)意思。
但函數(shù)只表示數(shù)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，映射還可表示點(diǎn)與點(diǎn)之間，圖形之間等的對(duì)應(yīng)關(guān)系。可以說(shuō)函數(shù)包含于映射。

百度關(guān)于函數(shù)解釋二：

什么叫函數(shù)？

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，函數(shù)是一種關(guān)系，這種關(guān)系使一個(gè)集合里的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到另一個(gè)（可能相同的）集合里的唯一元素。
  ----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
  自變量，函數(shù)一個(gè)與他量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對(duì)應(yīng)的固定值。
  ----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
  函數(shù)兩組元素一一對(duì)應(yīng)的規(guī)則，第一組中的每個(gè)元素在第二組中只有唯一的對(duì)應(yīng)量。
  函數(shù)的概念對(duì)于數(shù)學(xué)和數(shù)量學(xué)的每一個(gè)分支來(lái)說(shuō)都是最基礎(chǔ)的。
  ～‖函數(shù)的定義： 設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集，若對(duì)于D中的每個(gè)值x，變量y按照一定的法則有一個(gè)確定的值y與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)變量y為變量x的函數(shù)，記作 y=f(x).
  數(shù)集D稱(chēng)為函數(shù)的定義域，由函數(shù)對(duì)應(yīng)法則或?qū)嶋H問(wèn)題的要求來(lái)確定。相應(yīng)的函數(shù)值的全體稱(chēng)為函數(shù)的值域，對(duì)應(yīng)法則和定義域是函數(shù)的兩個(gè)要素。
  functions
  數(shù)學(xué)中的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是從非空集合A到實(shí)數(shù)集B的對(duì)應(yīng)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，甲隨著乙變，甲就是乙的函數(shù) 。精確地說(shuō)，設(shè)X是一個(gè)非空集合，Y是非空數(shù)集 ，f是個(gè)對(duì)應(yīng)法則 ， 若對(duì)X中的每個(gè)x，按對(duì)應(yīng)法則f，使Y中存在唯一的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng) ， 就稱(chēng)對(duì)應(yīng)法則f是X上的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f（x），稱(chēng)X為函數(shù)f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈X}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習(xí)慣上也說(shuō)y是x的函數(shù)。
  若先定義映射的概念，可以簡(jiǎn)單定義函數(shù)為：定義在非空數(shù)集之間的映射稱(chēng)為函數(shù)。
  例1：y＝sinx X＝〔0，2π〕，Y＝〔－1，1〕 ，它給出了一個(gè)函數(shù)關(guān)系。當(dāng)然 ，把Y改為Y1＝（a，b） ，a＜b為任意實(shí)數(shù)，仍然是一個(gè)函數(shù)關(guān)系。
  其深度y與一岸邊點(diǎn) O到測(cè)量點(diǎn)的距離 x 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呈曲線，這代表一個(gè)函數(shù)，定義域?yàn)椤?，b〕。以上3例展示了函數(shù)的三種表示法：公式法 ， 表格法和圖 像法。
  一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量X與Y，并且對(duì)于X的每一個(gè)確定的值，Y都有為一得值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)X是自變量，Y是X的函數(shù)。如果當(dāng)X=A時(shí)Y=B，那么B叫做當(dāng)自變量的值為A時(shí)的函數(shù)值。
  復(fù)合函數(shù)<IMG src="http://t10.baidu.com/it/u=937021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
  有3個(gè)變量，y是u的函數(shù)，y＝ψ（u），u是x的函數(shù)，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過(guò)中間變量u構(gòu)成了x的函數(shù)：
  x→u→y，這要看定義域：設(shè)ψ的定義域?yàn)閁 。 f的值域?yàn)閁，當(dāng)U*ÍU時(shí)，稱(chēng)f與ψ 構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù) ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時(shí)sinx＞0 ，lgsinx有意義 。但如若規(guī)定x∈（－π，0），此時(shí)sinx＜0 ，lgsinx無(wú)意義 ，就成不了復(fù)合函數(shù)。