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大家好，我是寶刀君，是一名將軍，也許你不了解我，但你只要知道我是像令狐沖大俠那樣瀟灑自由的將軍就足夠了，很高興，我們又在知乎上見面了。 誰是令狐沖大俠？就是下面這位
是不是有點看不清晰？ 算了，重新上傳個高清的吧，諾，就是這樣： 在攻打完上一仗：報告將軍，前方求極限時洛必達法則失效了，腫么辦？之后，我和我的小伙伴們經過短暫的調理休息，我們又重新出發(fā)了。 本來我們大部隊是按計劃繼續(xù)往前走的，但誰知走到五霸崗這個地兒，我們就收了同伴發(fā)來的的大雕傳書。 雕哥平時很威猛的，不知為啥，這次一見到我們，顯得很疲憊，我們走進去一看，才發(fā)現(xiàn)大雕哥的腳丫子那兒充滿了血跡，帶來的傳書也被鮮血浸泡的成為了黑紅色。 “辣眼睛啊，好怕好怕”！助理驚叫了一聲。 此情此景，我馬上吩咐助理：“讓隊伍停止前進，就地安營，等候前進命令”，我自己走到雕哥面前，伸手打開了傳書，看看伙伴到底是遭遇了什么事？ 信紙打開，上面的第一行“第二型曲線積分的計算”赫然在目，緊跟其后的第二行字是“含奇點的格林公式怎么破？”！ 剎那間，我突然明白為什么伙伴們會發(fā)出求助信號了，我突然明白為什么雕哥會疲憊不堪的躺在那兒了。 又是那魔頭考研數(shù)學派的小弟！ 真沒想到這廝這次竟然大下黑手，派出對大部分人來講都挺難的家伙（格林公式）來坑害我的同伴！真是可惡至極！ 不行，我不能坐視不理，我的同伴既然能像我發(fā)出求救信號，這說明他信得過我，畢竟人在危難時刻發(fā)出求救時的對象，都是他自己覺得最能幫他的人。 原來這就是信任的力量！我瞬間覺得自己有一種使命感！ “助理，去叫一下咱們的智囊團，我們接下來研究研究對策，記住，一定要把格林前輩請來”。 “是的，將軍” 不一會兒，我的營帳里坐滿了所有的智囊團，所有數(shù)學系的頂尖大牛聚集在一起，場面異常壯觀！ 很快，我就發(fā)表了自己針對此事的觀點： “各位數(shù)學系的大牛老師們，咱們這次遇到了了同行伙伴的求助，這次敵人“考研數(shù)學”派出了2大悍將，一個是“第二型曲線積分的計算，另一個是含奇點的格林公式怎么破？ 相信諸位已經看到了，同伴已被敵方打的傷痕累累，既然咱們都是同道中人，那就應該同仇敵愾，互相幫助，本將軍打算先就地解決完這個問題再走，不知各位前輩意下如何？諸位給出點意見!” “第二型曲線積分的計算，根據(jù)我的研究，它在真題中歷年只考2個點”。格林前輩堅定的說道。 “哦，2個點，哪2個點呢？” “一個是考利用格林公式來計算曲線積分的問題，另一個是考做功與路徑無關的問題，敵人雖然拋出來的是第二型曲線積分的計算，但是但凡真正遇到敵人（真正考試）那一天，要考這個點，那肯定是考格林公式的相關應用” “格林老師，您的意思是：其實最終還是在圍繞著格林公式在考？” “對的，是這樣的呢”。 格林前輩說完后，我馬上陷入了沉思，我在回憶當初格林老師教我那套他自己自創(chuàng)的“格林公式”的刀法套路。
我還記得格林老師當時教完我之后，順便給我說了他這套刀法的使用條件：
條件1是封閉且正向，條件2是保證函數(shù)及其偏導數(shù)在域內連續(xù)有定義，這些我都還能記得。 “格林前輩，我記得您上次講過你創(chuàng)造的這套刀法，我課后親自用過，確實很方便呢，要不我現(xiàn)在就拿你這套刀法上陣殺敵？” “將軍，萬萬不可??！實不相瞞，我跟敵人（考研數(shù)學）也打交道了多年，對方每年怎么給我使絆子，我是一清二楚啊” “哦，使絆子？這個怎么講？” “哎，將軍有所不知??！早年我在磨坊工作時，白天工作，晚上自學從布朗利(Bromley)圖書館借來的數(shù)學書籍，經過自己的潛心研究，終于自成體系！研究出專門針對第二型曲線積分的計算辦法—格林公式法，這套刀法，對第二型曲線積分的計算時帶來了大大的方便！” “恩恩，格林前輩勤勉的工作，大家有目共睹，我一直很欽佩！” “可是漸漸的，我發(fā)現(xiàn)，我的這套刀法使用起來有條件限制，不能隨隨便便亂用，如果亂用，只會導致練武之人自己走火入魔！況且近一二十年來，敵方考研數(shù)學也發(fā)現(xiàn)了我這個刀法的使用限制，因此經常給我使絆子”。 “奧，原來是這樣啊，那老賊給你使啥絆子呢”？ “將軍請看，他們經常這樣限制我”
我仔細看了下，原來對方是以牙還牙啊。格林公式是用來計算第二類曲線積分的，由于它的使用有兩個條件，因此敵人經常去破壞這兩個條件， “格林前輩，那您有辦法破解這個嗎？” “有是有，只不過我需要支持” “需要什么你隨便講，無論是人力、資金，我都可以盡全力去支持你” “資金上倒是不需要，我只需要個援手，援手先給我打頭陣，先幫我掃清了前方的障礙之后，我就可以施展拳腳，展現(xiàn)我的刀法了！” “哦，原來是這樣，那就由我來打這個頭陣吧，不管怎么說，最后一次和敵人（考研數(shù)學）應戰(zhàn)時，都是我一個人去解決的，該來的躲不去，未來這場未來3小時的廝殺，在所難免，倒不如現(xiàn)在就開始和他過過招！” “將軍說的在理，不過將軍不要擔心，只要你接下來按我說的做，咱們兩聯(lián)手，就可以順利解決這類問題的呢” “好的，沒問題” 接下來，營帳里一片安靜，都在聽格林前輩講話。 “老夫創(chuàng)造的這套刀法，凡練武之人在使用時，一定要摸著胸口問自己三個問題： 1 封閉嗎？ 2 正向嗎？ 3 連續(xù)嗎？ 如果不封閉，那就加線減線，如果不正向，那就添個負號就可以，這兩個都不會給我造成什么困難，真正會給我造成威脅的，其實是第三個條件的破壞—不連續(xù)！” 助理，你將大雕兄弟傳來的題目拿過來，我給將軍解釋什么是第三個條件的破壞”。 助理呈上了敵人給的這道題：
“諸位請看，敵人這套題，積分函數(shù)是一個分式，這個函數(shù)在積分區(qū)域D內不連續(xù)，甚至無定義，這個原點就是大家平時聽到的“奇點”（qi dian），我把它稱為內奸。 這個內奸的存在啊，極大地限制了我這套刀法的使用，于是身邊有同僚建議，把這個內奸給我挖去，把這個內奸給扣掉，把這個內奸給我閹割了！ 同僚們怎么做的呢？
老夫是個有菩薩心腸的人吶，同僚們閹割奇點閹割內奸的做法讓我下不了手啊，雖然同僚們是想讓我出出風頭，去解決這個二型曲線積分的問題，但是手刃二型曲線積分的原始辦法是轉化成定積分，犯不著因為要重用我一個人而造成不必要的傷亡??！ 后來，我在夜晚油燈下，仔細研究同僚的招數(shù)，驚人的發(fā)現(xiàn)，原來他們所謂的“挖去、扣掉、閹割” 并不是真正意義上的“挖去、扣掉、閹割”啊，這只是虛晃一槍，這里面有個循序漸進的過程，給大家造成了錯覺。 諸位不妨回想一下第二型曲線積分產生的物理背景：變力沿曲線做功！ 功等于什么？力乘以位移。 對于上面這個題，假設力沿著曲線做功，從起點A出發(fā)開始走，走到B點時，它其實是沿著向下的那條線往下走，繞著咱們構造的這個曲線C一圈，然后回到B點，再繼續(xù)沿著原來的方向走！因為力沿著曲線向下，轉一圈后又沿著曲線向上，力的大小相等，方向相反，所以這兩段一下一上做功剛好抵消掉。因此，這就給大家造成一種錯誤的感覺：“哇，這是個奇點我取不到，所以我把它給挖去了啊”！ 用圖表示就是這樣： 因此，事實上這里根本就沒有“挖掉奇點”這一說，它本質上是對做功相等的一種路徑的恒等變形！因為對于同樣一個力，沿著曲線L和沿著曲線L+C做功，數(shù)值是相等的！即：
“格林前輩，我有個問題：你里面的這個橢圓，沿著沿著圖中標的逆時針方向，這是正向還是負向啊？” 一旁的助理答道：“逆時針為正向，順時針為負向” “這種回答是錯誤的”，格林前輩振振有詞的說道，“正負向的判別不是以順時針逆時針來看的，而是根據(jù)你這條曲線圍成的區(qū)域，你沿著曲線走時，你的左手是不是一直在區(qū)域D內！如果是，那就是正向，如果不是，那就是負向！與順逆時針沒有一點關系！” 用圖表示，就是這樣：
聽到這里，我明白自己該怎么做了，“前輩，我去打頭陣，我在L內補這樣一個曲線C，就按你的同僚的打法做” 于是乎，我和格林前輩聯(lián)手在眾人面前打出了如下的刀法：
“不錯不錯，真是精彩！大將軍和格林前輩并肩作戰(zhàn)，真是勇猛！分分鐘滅敵人！”助理連連拍手稱贊道。 “格林前輩，小女子跟隨將軍多年，對您的這套刀法也有所耳聞，也曾學過一段時間，不知小女子可否和您合作，就這道題發(fā)表下我的看法？” “完全可以??！都知道大將軍勤學好問，沒想到就連身邊的助理也都熏陶養(yǎng)成了如此好的習慣，這對于提升部隊的整體實力，有很大的鼓舞啊！” “謝謝前輩，小女子獻丑了！” 話說完，只見助理騰空一躍，用手中的劍勾勒出如下的破解法：
我仔細查看助理的劍法，發(fā)現(xiàn)和我的非常像啊，只不過他這里使用的是特殊值，取得橢圓方程很特殊，就用一個常數(shù)就可以了，看著更簡單一些，最終答案也和我一樣，哎，我要是早知道這個題還可以這樣做，我想我會選助理的方法，它的太簡單了. “對了，好奇怪啊，為什么曲線方程要這樣添加呢？為啥要添加一個橢圓？我添加正方形、長方形、三角形或者任意的曲線不行嗎？”我的心里突然頓生出這樣的疑問。 格林前輩好像看出了我在思考什么，這個老頭，不得不服，每次我想啥，他好像都知道，尤其是他熟悉的東西。 “將軍，你是不是在思考輔助曲線方程添加的原則是什么？” “恩恩，是的呢” “哈哈，被我猜中了，其實呢，理論上說，我們在曲線L里面可以添加任意的曲線C，只要你這個曲線方程C是在這個L內就行，但是我們不能忘記添加曲線C的目的：簡化計算！ 像之前給將軍講授的曲線積分、曲面積分，它們和二重積分、三重積分最大的不同就是： “我的被積函數(shù)方程f(x,y)是可以用曲線方程y=y(x)代替的！” 因為這個被積函數(shù)f(x,y)是定義在某段曲線、某個平面上的，既然是定義在這里，那么當然可以帶進去計算！而且是必須得代入，否則你沒法算。 因此，出于簡化計算的考慮，我們添加什么樣的曲線C，就取決于這個曲線L的分母長什么樣！ 換句話說，在曲線L里面 添加曲線C的核心目的是：去掉被積函數(shù)中的分母！ 輔助曲線方程添加的原則是：分母長啥樣，我就添加啥樣的曲線C！
“格林前輩，您今天講的內容比較多，像您創(chuàng)的這套刀法，為什么讓別人幫你打個頭陣（內部取同方向的曲線C）就可以了呢？您可以從理論上給證明下嗎？” “完全可以”，格林前輩說完，快步走向前方，用大刀揮灑自如的給出證明：
揮舞完大刀，格林前輩對著大伙說道：如何選取這個輔助曲線C0（L1）呢？ 選取的標準就是你可以把那個被積函數(shù)的分母給去掉！ 說完后，繼續(xù)表演，給出了結論：
看著格林前輩精彩的表演，我突然意識到：原來這就是所謂的轉化啊！ 一條路走不通了，我試著換一條路，兩條路走的“功效”是一模一樣的！ “感謝格林前輩精彩的講解！您講的這套刀法的使用條件、如何除掉內奸、轉化的思想我已完全弄懂，非常感謝！” “哈哈，將軍不用客氣，懂了就好，現(xiàn)在快去解救你的同伴吧！”格林前輩哈哈大笑。 “好的”，順著剛才的格林前輩的教導，我又重新推演了一遍，將信紙交給雕哥的愛侶—雕妹，讓她寄給我的同伴。 “好了，現(xiàn)在同伴的危難已經解除，今天下午大家也耗費了不少精力，尤其是格林前輩，現(xiàn)在臨近晚飯時間，不如開始準備晚飯吧！今天請大家吃羊肉！，助理，順便再來3大壇上等的女兒紅，奏上笑傲江湖！，明天繼續(xù)趕路！” 好嘞！ 在大家一篇歡歌笑語中，我注意到一個細節(jié)：雕兄和高斯前輩一直在交談，從今天雕兄和我們匯合后，他好像就一直和高斯前輩探討什么問題，而且最關鍵的是：格林前輩在給大家講解那套刀法的限制使用條件時，高斯前輩在那一刻好像也露出一絲焦慮。 這一切，我都看在眼里。 哎呀，難道是那個？我頭腦中迅速閃過一個想法： 格林公式是將第二類曲線積分（也叫對坐標的曲線積分）轉化成二重積分來計算； 高斯公式是將第二類曲面積分（也叫對坐標的曲面積分）轉化成三重積分來計算； 換句話說，現(xiàn)在是將這種單獨的曲線、曲面積分轉化成了他們所圍成的某個區(qū)域的積分。 難道說，明天敵人會來騷擾高斯前輩？ 算了，先讓本將軍在五霸崗吃了這壇酒和羊肉，保持充足的體力，再迎接明天未知的戰(zhàn)斗吧！
（備注：這篇文章內容 正經的講解 是在寶刀君之前發(fā)的帖子挖洞法？摳點法？閹割法？格林公式究竟怎么玩？ 中，由于在準備高斯公式的講法，為了保持連貫性，故這里又將舊文重新改版，寫成了武俠范兒，希望大家能夠喜歡 也許你還想看： 考研院校專業(yè)課選擇及自動控制原理備考的宏觀戰(zhàn)略分析（一） |
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來自： 寶刀君 > 《高等數(shù)學》
