我是誰？我從哪里來？我將到哪里去？

很多人把這三個問題稱為哲學終極三大問題，而在數(shù)學界以及數(shù)學教育界也同樣有著困擾眾人的三大終極問題：數(shù)學到底是什么？該如何學習或進行研究？作為一名老師要怎么做才能教好它？

被譽為中國數(shù)學教育三座學術高峰之一的徐利治教授在《談數(shù)學哲學》一書中提到這樣一件事，在清華大學教書的時候有學生和同事問過他如下幾個問題：數(shù)學對象是從腦子里想出來的，還是客觀上早已存在的？利用邏輯證明得到的定理結論是否就是現(xiàn)實世界的真理？數(shù)學的產生和發(fā)展以及數(shù)學創(chuàng)作、教與學活動有無必然的一般規(guī)律？這些問題在當時讓他感到無比困惑，而這些問題也就是上述三大問題本體論、認識論和方法論的細分，

想要解決這些問題，就必須先了解數(shù)學的本質到底是什么？因為每一位數(shù)學教師只有恰當理解了這一問題后才能教好這門課，每一位高中生或數(shù)學專業(yè)的學生只要對本質理解深透就能極大的提高他學習數(shù)學和欣賞數(shù)學的能力，每一位科學工作者因為他的研究課題相當大地受數(shù)學的影響，因此他也必須明白為何數(shù)學在科學和技術領域竟有如此'異乎尋常'的影響，毫不夸張地說，幾乎世界上的每一個人都應該對數(shù)學本質問題感興趣和有所了解，

對數(shù)學本質有兩種討論或了解方法，一種是可以由一位作者著述他關于數(shù)學本質的觀點，但這對于無論哪個人來說都顯然是過于繁重的任務，并且這種討論不可避免地受到作者感興趣的某些數(shù)學領域的局限，另一種方法是找人通讀文獻，選編各個時期的大數(shù)學家們關于數(shù)學本質的言談錄，雖然這樣收集到的材料顯然不夠完備，但能夠很好地代表這一主題上的各種見解和具有指導意義，因此小數(shù)君整理和收集了100位各個時期里最偉大的數(shù)學家或科學家們關于數(shù)學本質的言論，涉及到數(shù)學的抽象與應用，數(shù)學中的直覺和想象，數(shù)學模型，公理化，推廣，證明，數(shù)學中的動機，數(shù)學和美學、藝術、科學、技術和應用數(shù)學，數(shù)學家和數(shù)學才能、數(shù)學的各種特征、教學等一系列問題，

這些言論適合各種數(shù)學水平的教師、學生、學生家長、科技工作者閱讀，可以給課內、外的討論和數(shù)學俱樂部的聚會提供有價值的題材，也能給學生們提供辯論的要點，或許這些言論也能夠讓年青一代在數(shù)學上擁有更大的創(chuàng)造性，也或許可以讓每個人對數(shù)學及其應用本質有更清晰的理解，

而數(shù)學該如何學，又要怎么教，相信看完這些言論你或許會找到屬于自己的答案！

（-5）

數(shù)學的教學質量是幾個變量的函數(shù)，即T=（S，B，C，M，R，E...）其中S是教學要點的恰當性，B是選作閱讀用的書籍，C是教員的能力，M是教學方法，R是學生的接受能力，E是考試制度等等，為了全面地改進T，必須恰當?shù)馗倪MT所依賴的所有要素.

— A.C Banerjee

（-3）

有些教師試圖用記憶規(guī)則和發(fā)展機械程式的方法講授數(shù)學，他們是拙劣的教員，這種教學方法也是不值得提倡的，無論誰，他如果只學習處方而沒有真正弄懂他所學的東西，那他就不能正確地使用這些處方.

— A.Renyi

（-2）

盡管數(shù)學極為重要，極富成就，盡管它迷住許多初學者，盡管它對科學與現(xiàn)代文明的發(fā)展作出了貢獻，但是數(shù)學在普通人心目中仍然是枯燥的和困難的，在學校的書本中，數(shù)學好像是一系列明顯地缺乏意義的程序，有時帶有一些'低檔技巧'或者一些竅門，聰明的學生自然對這些產生反感，這種教學后果是使學生們感到乏味因而忽視了這門課，這種情況很普遍，致使對數(shù)學的不顧不問變成一種社會態(tài)度，但過去可不總是這樣的，那些最早期的哲學家們都是拒絕研究任何不精通數(shù)學的人的銘言的.

— Y.B Chavan

（-1）

必須在嚴格形式和習慣語形式方面將學生們引向數(shù)學語言，他應該學會清晰地解釋一些基本的概念、陳述和記號，他應該擁有選擇的數(shù)學技巧發(fā)展之間的敏捷，應該知道一部分基本定理的證明并得到構造證明方面的經驗，他應該懂得抽象和公理化方法的效力，他應該了解數(shù)學的可應用性，以及在數(shù)學與其他領域之間的建樹的相互作用，他應該開始閱讀數(shù)學文獻，理解它們，并以此為樂趣，他應該學會從例證和經驗中培養(yǎng)好奇心和實驗習慣，學會比直接目標看得更遠，提出和驗證假設，總之，學生必須在數(shù)學方面開始成熟，而且開始獲取數(shù)學信息.

— CUPM panel

（0）

有很多方法幫助學生在數(shù)學方面成熟，可以把他編入為高材生開設的專門的'優(yōu)等生班'，可以在開始階段給他布置課內閱讀作業(yè)，后期再布置學術雜志中較難論文的閱讀作業(yè)，可以通過'文獻閱讀課'教授學生，他可以在討論班或討論會上做報告，他可以準備一份對他來說是獨創(chuàng)性的大學生論文，盡管這不是更高意義上的獨創(chuàng)性，還可以為學生開設'開發(fā)性課程'，由教授指導他發(fā)展一批數(shù)學題材，一般地，每一種大學課程表中都應該包括發(fā)展學生在數(shù)學方面的自立、首創(chuàng)和自信精神的工作.

— CUPM panel

（1）

學習任何數(shù)學主題的第一步是發(fā)展直覺.

— C.B.Allendoerfer

（2）

數(shù)學教學也需要更好地與工業(yè)與研究中的現(xiàn)代應用相結合，實際上這些應用應該常常用來作為講授這門課的媒介，如果認為這些應用僅僅是輔助性的解釋，是肉已燒好后加上的醬油，那就是誤解了它們在教學中的作用，但是主要之點不在于這些題材中的可應用性，而是從學生那里喚起對數(shù)學的響應.

— T.J.Fletcher

（3）

和把數(shù)學看作一門學科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術，那是因為數(shù)學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經久創(chuàng)造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而并非臆造的，數(shù)學家嚴格的演繹推理在這里可以比作專門性技巧，就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學家，這些品質是很基本的，但它們還不足以使一個人稱得上是畫家或數(shù)學家，實際上它們也不是對應情況下的主要因素，其它一些要微妙得多的品質才構成一個優(yōu)秀的藝術家或優(yōu)秀的數(shù)學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力.

— M.Bocher

（π）

雖然搞研究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的新應用也許是進行數(shù)學工作最有趣的方式，但還有其它方法保持數(shù)學的嚴密性，這包括通過閱讀數(shù)學文章保持對數(shù)學中新發(fā)展的了解，參加討論班，參與發(fā)展新的教學計劃和數(shù)學技巧，解數(shù)學迷棋和問題以及培訓數(shù)學教師，最有效率的數(shù)學教師應該是這種人：他們訂閱數(shù)學雜志，參加數(shù)學活動，讀書，考慮，深思，計劃，又突然加速前進，能夠設計并講授一門他們從未教過的、更好的課程，現(xiàn)在是做一位數(shù)學家和一位教師的好日子，事情是動人的，既有興奮也有爭議.

— R.H.Bing

（4）

盡管旁觀數(shù)學比從事數(shù)學要容易得多，但那是一項最無收益的吸引觀眾的運動.

— C.G.Gullin

（5）

的確有著一條關于數(shù)學成就的無可爭議的準則，那就是數(shù)學研究結果在科學和技術中的直接可應用性，在得出正面結論時，即有一項工作滿足這項準則時，這條準則是絕對可靠的，但是人們都知道這不是唯一的準則，我們都知道許多深刻的數(shù)學定理的例子，它們在剛剛出現(xiàn)時都是遠離任何可能的應用的（非歐幾何、伽羅華群論，理想論、超限數(shù)等等）.

— P.S.Aleksendrov

（6）

今天，拓撲的天使和抽象代數(shù)的精靈為每一個數(shù)學領域的靈魂而斗爭.

— H.Weyl

（7）

數(shù)學的連續(xù)性常常受到了各種威脅，但又總是保持了下來，如果我們希望正確地觀察當代的數(shù)學運動，我們就必須牢記這種連續(xù)性，以連續(xù)性為依據(jù)的證明就像以內在美或效用為依據(jù)的證明一樣重要.

— L.Felix

（8）

我希望能找到一種方法說服青年人，告訴他們不應該留在極其抽象的'安全'領域內，而應該試著在應用方面做一些事.

— R.Courant

（9）

數(shù)學證明并不是已經完成的數(shù)學結構的一部分，但它們是數(shù)學研究中的一環(huán)，最好的數(shù)學證明通常是簡短的，直接的和深刻的，這種證明中的'實際上'有時帶有恩賜般微笑的柔和，有時帶有機智諷刺般的敏捷，有時帶有直截了當?shù)?、詼諧軼事般的出其不意，一個長篇證明可能缺少簡短證明的那種直接性，但它常常用搖擺、起伏和音樂般的韻律來彌補這一點，它甚至可以具有和音樂作品同一的結構，這里是一串隨便的、看上去無關的思想的開端，他們達到某點后就被丟開，而另一條邏輯證明路線開始，然后還可能有第三條又同樣地開始了，這就好像一個音樂主題發(fā)展到一定程度之后就放棄了，而另一個看上去無關的主題又開始了，然后分立的邏輯證明路線和音樂注意開始互相靠近、混合、盤繞，然后它們緊緊地交織在一起，最后爆發(fā)出勝利完成的結束曲.

— N.A.Court

（10）

數(shù)學所處理的結構就好象是一棵樹的葉子，好像是一片草地或一個人臉上的明暗變幻.

— Scott Buchanan

（11）

講授數(shù)學的方法是很不完美的，我把這看作是對我們所從事的職業(yè)的責備，指出了我們還沒有發(fā)明出教這門課的文明方法，乘法表的背誦，復雜開方口訣的記憶，厭煩的解三角形問題如此等等，全都與數(shù)學的理解毫不相干，我認為這些是學校中數(shù)學的虐待成份，是能夠并且應該廢除的.

— E.M.Llyod

（12）

不要問數(shù)學能為別的科學做什么，要問一問別的科學能為數(shù)學做什么.

— S.Ulam

（13）

在一門數(shù)學學科遠離其經驗之源而發(fā)展時，存在著一種危險，即這門學科會沿著一些最省力的方向發(fā)展并分為為數(shù)眾多而又無意義的支流，唯一的解決辦法是使其回到其源，返老還童.

— John Von Neumann

（14）

無論一位數(shù)學專業(yè)學生的最終興趣和職業(yè)是什么，他都應該懂些數(shù)學是如何被應用的，懂些有關數(shù)學和各門科學間的復雜交互作用，許多從事純研究的數(shù)學家很少與其他科學接觸，他們傾向于主要把他們的學科看作是自給自足的，自行繁衍的，可以從內部提出問題的，僅僅是偶爾地獲得外界刺激的，另外一些更直接地與鄰近學科打交道的數(shù)學家可能很難同意這種看法，他們可能實際上十分強調物理科學對數(shù)學概念和思想所起的源泉的作用.

— R.C.Buck與E.F.Buck

（15）

一個未經解釋的符號化表達僅僅是個記號游戲，只有當它有了含義，只有當有人使用了這些符號和符號游戲的解釋，它才是一門語言，不能把直覺的作用降到次要的地位.

— Jorgensen

（16）

數(shù)學是要做的而不是拿來看的，我們必須留心數(shù)學明日會是什么，以及它對它的今日有什么不滿足之處，數(shù)學的滲透力不僅具有廣度，而且具有深度，科學和技術的巨大發(fā)展主要地是由于數(shù)學的現(xiàn)代發(fā)展，是由于數(shù)學在物理學、生物學以及社會科學中的縱深滲透.

— R.S.Varma

（17）

數(shù)學為其證明所具有的邏輯性而驕傲，也有資格為之驕傲，但是這些證明并不是數(shù)學學說的必要組成部分，它們是數(shù)學家用以得到其結果的工具，是數(shù)學家為了俯瞰他們所要眺望、凝視和觀賞的領域而騎上的火箭.

（18）

創(chuàng)造一個有活力的數(shù)學模型是一項需要了不起的技能和判斷力的迷人工作，必須在過細的描述與過于簡化的描述之間做出合理的權衡，過細就會造成一組無法解決的數(shù)學問題，過簡則可能掩蓋有興趣的細節(jié)，至使無法發(fā)現(xiàn)所要尋求的最優(yōu)預報，一個在這種意義上合理地接近所考慮的過程的模型可以用來設計、預言和發(fā)現(xiàn)最優(yōu)工作條件，使得所花代價最小，效率最大等等.

— E.M.Llyod

（19）

數(shù)學通常被認為是與詩歌絕對相反的，但是數(shù)學與詩歌同屬一個宗族，因為他們都是想象的產品.

— Thomsa Hill

（20）

有成效的數(shù)學家和最好的學生并不全神貫注于嚴格性，而是著眼于實質概念.

— L.Bers

（21）

數(shù)學僅僅是空洞的思想游戲嗎？如果它僅僅給了物理學家一種方便的語言，難道這不會是一種平庸的，或者嚴格地說是一種用不著的幫助嗎？甚至可以問，難道不該擔心這種人造語言會是設置在現(xiàn)實與物理學家的眼睛之間的幕帳嗎？事情遠非如此，如果沒有這種語言，大多數(shù)的事物內在的相似性將會永遠是未知的，我們對于世界的內部和諧也會永遠地無知，然而正是這種和諧才是唯一真正的客觀現(xiàn)實.

— Henri poincare

（22）

數(shù)學教學計劃的擬定者不應該以犧牲數(shù)學動機和具體內容的教學來強調抽象與優(yōu)美之處.

（23）

另一個廣為流傳的誤解是認為數(shù)學包含有命題，有那么多不連貫的語句，有那么多小小的鴿子窩，但是對于已經入門的人，數(shù)學就像一幅美麗的風景畫那樣連貫，那樣延續(xù)，命題是被選出來作為定位點的，作為特別引人入勝的觀光之處，作為可以眺望意外的而又悅目的風光的高地，但是，就象鄉(xiāng)野的平地沒有構成全部風景一樣，命題至多也未構成全部數(shù)學.

— N.A.Court

（24）

數(shù)學被認為是單調乏味的學科，但如今已經越來越被人們承認為在科學發(fā)展中具有高度重要性的學科，實際上，數(shù)學研究極大地開闊了人類思想的地平線，并且在某種程度上幫助人們理解自然界和物理世界，今天，它是表達嚴格的科學思想的媒介.

— Jawahar Lal Nehru

（25）

認真地講，數(shù)學可能是個玩笑，開玩笑地講，數(shù)學可能是認真的.

（26）

數(shù)學的普遍性看來是它在各個文化因素中最顯著的特征，但是有些數(shù)學還具有明顯的民族特征，長期以來人們認為法國數(shù)學偏愛函數(shù)論，英國數(shù)學對應用感興趣，德國著重數(shù)學基礎，意大利感興趣于幾何，而美國的數(shù)學則以其抽象特征著稱，然而，盡管有這些由于文化影響造成的差異，數(shù)學在今日還是可以看作具有絕大多數(shù)其它人類活動所沒有的普遍性.

— R.L.Wilder

（27）

邏輯和數(shù)學之不同就像孩子和大人一樣，邏輯是數(shù)學的初期而數(shù)學是邏輯的成年期.

— Bertrand Russel

（28）

數(shù)學受到過農業(yè)、商業(yè)和制造業(yè)的影響，受到過戰(zhàn)爭、工程和哲學的影響，受到過物理學和天文學的影響，流體動力學對函數(shù)論的影響，康德哲學和測量學對幾何學的影響，電磁學對微分方程的影響，笛卡爾哲學對力學的影響和經院哲學對微積分的影響，只有把所有這些決定性因素都考慮到，才能理解數(shù)學這門課和數(shù)學的內容.

— D.J.Struik

（29）

搞數(shù)論的人可以和貪圖安樂的人相比，它是十分吸引人的，一旦你試過它，其它的數(shù)學活動可能會顯得有些乏味.

— D.Hilbert

（30）

即使數(shù)學家在選擇問題、舍棄問題或者轉向其他問題時，實質上是不受約束的，然而理論物理中的一個重要問題通常是'必須'解決的爭論和矛盾，一位數(shù)學家有許多他可以從事研究的領域，在這些領域里他享受相當大的自由度，我認為，正確地說，他選擇領域和課題的原則以及成功的準則主要地是審美學的.

— J.Von Neumann

（31）

一位應用數(shù)學家必須是一個數(shù)學家，而要做一個數(shù)學家，他就必須時時回到數(shù)學環(huán)境中去恢復精神，他必須回到本源，同時，他要做一個應用數(shù)學家，就必須停止做數(shù)學家而做科學家.

— J.B.Rosser

（32）

我希望我已經證明了，數(shù)學既不必是嚴峻的，也未必是遙遠的，它既和幾乎所有的人類活動有關，又對每個真心感興趣的人有益.

（35）

現(xiàn)代數(shù)學帶著兩個急迫要求出現(xiàn)于科學中，一方面，它渴望在所有的方面冒險，無畏地甚至是著急地走到前面去為一些領域做準備，使得這些領域中的研究者能夠專心于物理學的需要，或甚至專心于其個人好奇心的需要，另一方面，數(shù)學打算重建大廈的支撐，使其基礎更加寬廣，足以廣泛地支持最近的將來所要出現(xiàn)的一切，這種打算所基于的條件是，只要上述事情是可以預期的，并且有人具有足夠的勇氣去豎起給各種理論以合適位置的新結構，最后，數(shù)學又從旁監(jiān)督這個結構的建立，甚至硬說它有權對其整體的牢固性做出評價.

— L.Felix

（36）

有可能在相對短的時間里向優(yōu)秀的數(shù)學專業(yè)學生有效地講授現(xiàn)代物理學的任何分支，因為這些學生在數(shù)學方面是成熟的.

— E.W.Montroll

（37）

純數(shù)學家提供了一個知識寶庫，而應用數(shù)學家利用這個寶庫，重要的是要使這個寶庫永不耗盡，在今日的數(shù)學家生產新數(shù)學的速率之下，我們除去寶庫的大小不適宜之外不必擔心它會被耗盡.

— H.Montague and M.Montogomory

（38）

按照希爾伯特的想象，數(shù)學就象一塊多面晶體，每個面既有它自己的來源，也有天才而嚴肅的學者提出潛在的前景，我認為不存在適用于數(shù)學真理的所有側面的唯一客觀價值標準，只有數(shù)學自身和歷史才能做出評價，數(shù)學的只有度就在于此，并且僅在于此，這一點早就被G.康托看到了.

— P.S.Aleksendrov

（39）

每一個孩子都有可能成為科學家，但不是每一個孩子都有可能成為數(shù)學家.

— Chaeles Snow

（40）

數(shù)學并不從課本中已完成的定理出發(fā)，而是始于豐富而又變化的環(huán)境，在得到初步結果之前有一個發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造，犯錯誤，丟棄和承認的階段.

（41）

數(shù)學家更傾向于重技巧而不是重思想，這和重大科學研究成就中的基本優(yōu)先次序不同，許多科學家是富于想象的，機敏的，但在使用數(shù)學工具上常常是笨拙的，此外他們的數(shù)學論述常常包含邏輯錯誤，但這些缺陷不會怎樣影響科學，在實驗科學和理論科學中都不像數(shù)學那樣正統(tǒng)，錯誤的出現(xiàn)和改正錯誤的過程是科學中有活力的文獻的組成部分，并且在發(fā)現(xiàn)有價值的結果中起了本質的作用.

— S.Karlin

（42）

所有對教育感興趣的人應該掌握的是如下事實：我們關于數(shù)學本質的概念已經改善了，我們關于這門學科的技術性知識被大大地改進了，并且，為了科學技術進步，我們對它的依賴大大地增加了.

— M.H.Stone

（43）

創(chuàng)造性是數(shù)學的心臟和靈魂，創(chuàng)造性發(fā)生在優(yōu)秀教師的初等課堂上，在任何把數(shù)學應用于其他領域的場合都展示出創(chuàng)造性，它在每門大學數(shù)學課程中都應該表現(xiàn)出來，好奇心當然是數(shù)學的要旨，許多數(shù)學研究是在數(shù)學家之間的討論中涌出的.

（45）

在對日益增大的數(shù)學知識總體進行簡化、廓清和統(tǒng)一化時，抽象是必不可少的工作，但是抽象不應用被用來把數(shù)學和其來源隔斷.

— I.Kaplansky

（46）

二十世紀數(shù)學的一個令人驚異的特征是它對抽象方法力量的承認，這已經引出了大量的新結果、新課題，事實上這已經引導我們開辟了以前從未被提出的一些全新的數(shù)學領域，隨著這些發(fā)展而來的不僅是嶄新的數(shù)學，而且是其生氣勃勃的前景，以及對那些困難的古典結果所給出的簡潔而新穎的證明，把一個問題分離為一些基本的本質部分，這就為我們揭示了它在整個事物結構中的環(huán)境，它向我們顯示了以往被認為是無關的若干領域之間的聯(lián)系.

— I.N. Hernstein

（47）

數(shù)學科學和所有其他活生生的事物一樣有其自然的生長規(guī)律.

— C.N.Mooer

（50）

和任何其它的文化因素一樣，數(shù)學依靠傳播與演變而成長，無論是在個體的頭腦中還是在一組人的頭腦中給定了一組并列的思想，都會發(fā)生綜合并出現(xiàn)新的概念，如同Spengler所說的：'一個由歷史必然所提出的任務，無論有無某個個人都將會完成'，數(shù)學并不是因為一定時期偶爾地誕生了一個牛頓，一個黎曼或者一個高斯才成長的，相反地，偉大的數(shù)學家被包括數(shù)學成份在內的文化條件所造就，這種條件導致了他們的成長，如同在產生維爾斯特拉斯和克羅尼克的時代一樣，在希臘時代也誕生了潛在的偉大分析家和偉大代數(shù)學家，但是除其他條件不同外，在希臘文化中還缺少必要的分析與代數(shù)要素，這并不是貶低偉大人物的偉大之處，而是要哀悼那些在過去以及在現(xiàn)代失去了施展其才能機會的人們，我們當然會同意若無'創(chuàng)造天才'就不能發(fā)展數(shù)學，我們還要堅持說，天才不能在智慧的真空中工作，而且若無合適的智力刺激，他的'才能'將永不為人所知.

（51）

可以以這樣兩種方式想象數(shù)學：（1）想象成為基于純邏輯的所有演繹'理論'的全體（2）想象為以原始直覺功能功能為其最終源泉的自主推理活動.

— G.T.Kneebone

（52）

數(shù)學作為理想的命題總體而存在，而數(shù)學家工作的目的就是發(fā)現(xiàn)這些命題并用它們形成理論，這些理論付印成書時，就是數(shù)學.

— Logistic Thessis

（53）

試圖給數(shù)學下定義所遇到的困難看來主要來自于這樣的假設，即認為數(shù)學就其本質而言是絕對的、不隨時間和地點而改變的事物，因而一旦一位具有能夠識破和刻劃這一本質的慧眼的天才誕生于人世之后，它就能夠被鑒定了，既然數(shù)學不是上述這種事物（盡管外行人還會在未來的世界中相信它是這種事物），任何刻劃它的企圖肯定只能失敗.

（56）

數(shù)學家必須冒著失敗的危險，事實上在大多數(shù)時間里，他發(fā)現(xiàn)經過數(shù)周或數(shù)月的不停尋求之后，什么結果也沒有，什么思想也沒得到，精力也沒有了，由于他至少把一些時間完全用掉了，這就極其近乎完全失敗，這當然嚴重地影響了他對所有其他事物的看法，我相信，冒著完全失敗的危險以及幾乎注定要輸?shù)舻奈ｋU，這構成了第一位的心理學問題.

— D.R.Weidman

（57）

甚至最成功的數(shù)學家也因不被人欣賞而苦惱，自然他的家庭和朋友們對他成就的意義沒有接受能力，甚至比這還要糟糕，其他數(shù)學家也不欣賞對這一項看去簡單、直接而又瑣碎的研究成果中注入的血、汗和淚，數(shù)學術語被設計成排除支節(jié)事物而集中于基本過程，但是找到結果的方法遠遠不同于這些基本過程，數(shù)學寫作不允許對隱于結果只會的勞動作任何注釋.

— D.R.Weidman

（58）

當一個數(shù)學分支不再引起除去其專家以外的任何人的興趣時，這個分支就快要僵死了，只有把它重新栽入生氣勃勃的科學土壤之中才能挽救它.

— A.Weil

（59）

十進計數(shù)法的發(fā)明恐怕是科學史上最重要的成就.

— H.Lebesque

（60）

不用借助任何自然現(xiàn)象，理性就能感知一件數(shù)學工作的價值，它的美以及它的存在，玄學通常認為自然是獨立于人的知覺而存在的，在這種玄學及無法證明的斷言的制約之下，一些人發(fā)現(xiàn)了很神秘的事，即數(shù)學和自然有各種關系，或者科學已經影響了數(shù)學的發(fā)展.

— R.D.Toupin

（61）

數(shù)學家必須有能力涉及一系列問題，要搞數(shù)學，你就得把整個身心放進去，從各個方面學習它，夜以繼日地擺弄它，并把點點滴滴的精力都用于理解它，你能夠有，也許應該允許你有偶爾的休息，但這種竭盡心力的狀態(tài)總是要延續(xù)一段時間的，往往是連續(xù)幾天或幾周.

（62）

簡而言之，我們相信數(shù)學注定會生存吸取，這座壯麗大廈的主要部分永遠不會因為一個矛盾的突然出現(xiàn)而坍塌，但我們只能說這種信念是基于經驗的.

— N.Bourbaki

（63）

大多數(shù)學生將不是從事研究的數(shù)學家，大多數(shù)不會到達前沿，但他們能更多地欣賞數(shù)學，如果他們知道前沿就在那里，知道它（指前沿）不是不可達到的，對它偶一瞥見并認識到它正在被接近了，有時是平穩(wěn)的，但常常是一陣陣的.

（64）

學習數(shù)學思維模式就像學習數(shù)學事實那樣重要.

— D.R.Weidman

（65）

就此而論，在數(shù)學中或者在其他任何方面都沒有靠演繹邏輯獲得發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)產生于有創(chuàng)造性的想象，這種想象有時靠類別，有時靠審美思想，但它根本不是成立于牢固的邏輯基礎上，一旦得到了發(fā)現(xiàn)，邏輯便介入并進行控制，正是邏輯決定這發(fā)現(xiàn)是真理還是錯覺，因而邏輯的作用盡管極重要卻還是第二位的，但是從嚴格的觀點來看，一個證明若沒有完成，它就不存在.

— H.Lebesque

（66）

哈代在1920年說過：'數(shù)學研究即使是無益的，也是完全無害的和清白的職業(yè)'，從那時以來我就已經明白了，獻身于一個無害的職業(yè)并不是小成就，也不是所有當代數(shù)學家都能夠自稱取得的成就.

— E.M.Llyod

（67）

我們感到有可能和比我們水平高許多的數(shù)學接觸，這種數(shù)學的力量與美盡管只能簡單地一瞥，也構成了豐富我們的思想的基礎，并在我們作為數(shù)學使用者和數(shù)學教師的樸素活動中給了我們長期反省的機會.

（68）

數(shù)學之所以能夠以令人吃驚的程度深入到科學和技術的每一個分支中去，其原因在于數(shù)學的思想是純粹抽象的，而抽象化正是科學和技術的主要動力，數(shù)學越是遠離現(xiàn)實（即走向抽象），它就越靠近現(xiàn)實，因為不管它顯得多么抽象的，它歸根到底還是從某些現(xiàn)實范圍中抽象出來的，一定的本質特征的具體體現(xiàn).

— Jagjit Singh

（71）

應用數(shù)學專業(yè)的學生應該主要接受基于純數(shù)學的訓練，我相信，只有在對數(shù)學結構與過程深刻理解并且真正地和其他學科接觸之后，一個人才能在應用數(shù)學中做出好的工作.

— S.Karlin

（72）

最令人興奮的時刻不在什么東西被證明之日，而在一個新的概念被引伸出來之時.

— I.Kaplansky

（73）

在一位數(shù)學家試圖證明某些事以前，他必須猜想那些內容，在他的證明成功之前，他必須已經決定了證明的模式，這通常是從熟悉的手段中選出片段并把他們組合在一起的，通常他在想做證明之前需要預感，而為做出證明又需要竅門.

— E.J.Macshane

（75）

數(shù)學力量的來源之一是，研究上的合作習慣在近期得到發(fā)展，這種習慣是在能動地分享思想和舉行研究討論班中養(yǎng)成的.

—S.Mac Lane

（76）

數(shù)學教師不僅要傳授事實與理解，還要講出數(shù)學魅力和挑戰(zhàn)的閃光，他應該引導他的好學生觀看數(shù)學之美，給他們嘗到支配著數(shù)學家興趣的那種數(shù)學型的滋味，啟發(fā)學生的想象力，并使他們愿意從事和渴望從事長期的艱苦工作，以獲得對其具有挑戰(zhàn)味道的結果.

（77）

對許多人來說，戰(zhàn)爭極大地刺激他們致力于發(fā)展數(shù)學和技術、科學之間的相互作用，我希望將來在沒有戰(zhàn)爭時，那在知識界與工程界，在社會科學，在經濟學，在生物學等方面處處皆有巨大挑戰(zhàn)能夠被清楚地理解，能夠對成長著的年輕一代具有說服力，也能夠形成對數(shù)學家的挑戰(zhàn).

— R.Courant

（78）

數(shù)學是有活力的和不斷增長的，數(shù)學是一門藝術，因為它創(chuàng)造了顯示人類精神純思想的形式和模式，它已經成為了最偉大的人的屬性之一，因為它是一個表達、解釋和交流人的全部行為的方法，在具有清晰的、嚴格的和邏輯的結構方面，它仍然是科學的王后，這樣，當研究者在其他科學領域探索發(fā)現(xiàn)我們宇宙的物理的、生物的和社會的現(xiàn)象時，數(shù)學成為完善這些學科的理想和目標.

— H.F.Fehr

（79）

在今日科學與數(shù)學中，除去需要少數(shù)天才人物以外，還需要比以往任何時候都多的一群有能力的人，他們應能夠通過碎小的步子推動大量思想和材料的不斷增長.

— S.Ulam

（80）

我相信，科學家和工程師在面向數(shù)學概念和技巧時有一個極限點，超過這一點就有害于他的態(tài)度，特別有害于他的創(chuàng)造性，一個過于數(shù)學化的科學家和工程師很可能過于全神貫注于嚴格性而遠離那些并不參與數(shù)學的問題領域.

— L.A.Zadeh

（81）

日益明確和迫切的問題是，數(shù)學教學應該安排得使學生盡量正確地并且盡量早地接觸更新的概念，經典數(shù)學貫于以不尋常的技巧和機智研究孤立的、單一的模型，在這種研究中，它發(fā)展了幾種本身很好的技術，但是在其任一結果中，很難分清多少應該歸于符合模型的模式，而又有多少是歸于情況的特殊性，與此事實相反，在現(xiàn)代數(shù)學中我們從特殊情況中提取抽象結構和模式，并研究這些結構，這種研究的優(yōu)點在于，如此得到的知識不僅能應用于我們從其出發(fā)的特殊的數(shù)系，而且也能應用于所有表現(xiàn)出同一模式的其他系統(tǒng)，不能對具有同一模式的不同領域間的可連結性的優(yōu)美和興奮之處過分強調，對于結構的研究除了把看上去孤立的、無聯(lián)系的領域統(tǒng)一起來，還導致思維的很大的經濟化.

—— U.G.G.Mathematics Reforms Committee

（82）

如果一個人對數(shù)學至少貢獻了已為他人所使用的一個思想、理論或過程，那他就可以被看作是一位數(shù)學家.

（85）

數(shù)學形式的美麗之處甚至超過了（全直徑的）滿月的圓輪，因為它在被學識淵博者品嘗時，其形式上甚至會增加，這不同于月亮，后者在被天神們品嘗時，其形式上是減少的，這門數(shù)學科學還具有極不相同的兩翼或兩測（如初等除法中的方程），這也不同于月亮，后者很難在第一天就見到一個月的兩半，在天、人、地之間的動與不動的萬物中，哪一樣沒有數(shù)學的幫助也不能理解.

— Indian Scriptures

（86）

數(shù)學思想超越時代與地域，在社會的、政治的以及經濟的條件之外進行，并且尋求衡量永恒的形式，作為社會和經濟條件的產物的通常語言不適于這種目的，因而不得不發(fā)明了一種為進行抽象思維的符號語言，盡管這種語言是抽象的，但數(shù)學為生活的各種哲學提供了新的基礎，數(shù)學家生活在唯一可被證明為不可非議的世界之象牙塔內，而這種證明依賴的事實是數(shù)學家的象牙塔，就像一座燈塔一樣照亮了黑暗中的巨大地域，照亮了自然的未被探索的秘密.

— K.L.Misra

（87）

每個工作的數(shù)學家都懂得在一串缺少活力的形式化命題與一個人對一個數(shù)學理論所具有（或試圖得到）的'感覺'之間的差別，并且大概會同意幫助學生看到'內部'景色是數(shù)學教學的最終目標.

— J.Dieudonne

（88）

由于數(shù)學推理之美，自然暴露了它自己的偏愛，這在根本上不是偶然的.

— C.N.Yang

（90）

下述各點可以作為數(shù)學訓練之目標：（I）提出對數(shù)學與現(xiàn)實相互作用的理解（II）轉達這樣的事實，即數(shù)學和每一件其他事物一樣，是建筑在直覺理解和公認的傳統(tǒng)之上的，而這些都不是固定不變的（III）證實數(shù)學是一項人類活動，它的歷史性標志有發(fā)明，發(fā)現(xiàn)，猜想（好的壞的都有），說明其成長的前沿被有趣的未解決問題所覆蓋（IV）將'權威人物的論辯'與'通過事實和證明的論辯'相對比，解釋'沒有證明的'與'反駁了的'之間的區(qū)別，以及'構造性'證明與'非構造性'證明的區(qū)別（V）說明'為什么'這個問題是重要的，應該多發(fā)問，在數(shù)學中，僅僅給出詳細證明不是總能構成答案的（VI）證明復雜事物有時是簡單的，而簡單事物有時又是復雜的，并且證明在數(shù)學以及在其它領域中，值得對熟悉事物詳盡進行研究，以及對看去沒希望搞懂的東西進行研究.

（93）

在這個世界上沒有丑陋數(shù)學的容身之地，如果讀者看到一個定理的證明顯得丑陋，那他的明確責任就是找到一個更好的證明，不美的數(shù)學是不允許繼續(xù)存在的.

—C.A.Coulson

（95）

數(shù)學家十分了解在純科學和它的規(guī)律在生活中的應用之間存在的差別，前者只搞思想，而后者中他們被迫受到事情的不完美性和偶然性的影響.

— Karl Pearson 

（96）

數(shù)學概念不是因其概念上的簡單性而被選中的，而是因為它們適合于精巧操作和極卓越的論證才被選中的.

— E.P.Wigner

（97）

初學者解決了一個巧題時得到了快樂，數(shù)學家掌握了更先進的問題時也得到了快樂，在這兩種快樂之間沒有很大的區(qū)別，二者都觀看美麗動人之處—即支承著所有結構的那種勻稱的、定義分明的、神秘的和迷人的秩序.

— M.Gardner

（98）

向年級幼小的兒童教數(shù)學是最容易的，因為他們有著求知的欲望，他們是自信的并按其自身需要理解事物，他們不同于許多成年人，他們的信心未被拙劣的教學動搖過.

— W.W.Sawyer

（99）

如果一個學生要成為完全合格，多方面武裝的科學家，他在其發(fā)展初期就必定來到一座大門并且必須通過這座門，在這座大門上用每一種人類語言刻著同樣的一句話：'這里使用數(shù)學語言'.

— Q.Hogg

（100）

虛數(shù)是上帝精神的神奇飛行，它們幾乎是介于存在于不存在之間的兩棲類.

—G.W.Leibinitz

（101）

數(shù)學的無窮無盡的誘人之處在于，它的最棘手的悖論也能夠盛開出美麗的理論之花.

— P.J.Davis

（102）

數(shù)學家更傾向于重技巧而不是重思想，這和重大科學研究成就中的基本優(yōu)先次序不同，許多科學家是富于想象的，機敏的，但在使用數(shù)學工具上常常是笨拙的，此外他們的數(shù)學論述常常包含邏輯錯誤，但這些缺陷不會怎樣影響科學，在實驗科學和理論科學中都不像數(shù)學那樣正統(tǒng)，錯誤的出現(xiàn)和改正錯誤的過程是科學中有活力的文獻的組成部分，并且在發(fā)現(xiàn)有價值的結果中起了本質的作用.

— S.Karlin

（103）

重要的是讓學生看到，問題的負責程度永遠也不能用它的公式來實際地度量，任何人很快就知道了，某些非常簡單的陳述可能包藏較重要的困難，在解決問題時，應該做那些能夠做的，也要花一些時間做些更難解的問題，并且在分析能力不斷成熟與增強后，經常地做一些困難問題.

— R.Bellman

（104）

現(xiàn)代數(shù)學與它所擴展的早期是相連貫的，通常，這不是沒有沖突的，但是它比以往更加快速地改變著科學的面貌，改變其結果的內容，改變研究對象的選擇以及工作的工具，另一方面，數(shù)學比以往更密切地接觸其它科學，尤其是物理學，因為這兩門科學感到了來自共同的靈感的支撐，并肩并肩地走向未來的發(fā)展.

（105）

數(shù)學科學的四個方面，即它的分析功能，它對函數(shù)關系的關切，它的抽象本質以及它對變換下不變量的興趣，全是具有抽象特征的，數(shù)學家從其固有的興趣出發(fā)培養(yǎng)了這些方面，它們已轉變?yōu)橛幸娴某晒?，可能是因為它們揭示了人類頭腦的基本特性，但是他們的應用是屬于科學的，包括自然科學與社會科學.

— A.Dresdon

（106）

使數(shù)學成為其學生們的樂事的原因很多，這包括，從一般定理間的相互作用，可以導出沒有限制的豐富內容，這些內容的復雜性，推理出發(fā)點與導出內容的相隔遙遠，大量不同的方法，以及這些方法的純粹抽象性特征，而正是這個特征作為其贈品又帶來了永恒的真理，當然，所有這些特征對學生有著無法估計的價值，多少個時代以來，它們迷住了某些最敏銳、最有才智的學生.

— A.N.Whitehaed

（107）

數(shù)學家如何思維？一個人可能想說，他必定為好奇心驅使，在數(shù)學中，能夠提出問題甚至比能回答它們更加重要，真正數(shù)學家的一個突出特征是，他能從發(fā)生于他面前的諸多問題中選擇出值得發(fā)問的問題，引導他進行選擇的那種偏愛，包括對一般性的期望以及對嚴格性和確切性的追求，真正的準則是，這個問題的研究是否會有豐富的新思想內容，以及是否導致優(yōu)美數(shù)學的誕生，偉大的數(shù)學家對這類情況有著一種直覺.

— A.H.Read

（108）

數(shù)學家的本質上是熱心人，沒有熱心就沒有數(shù)學.

——Novalis

（109）

給我五個系數(shù)，我將畫出一只大象，給我第六個系數(shù)，大象將會搖動尾巴.

——A.Report

（110）

不應該讓學生得到這種印象，即在他的全部數(shù)學努力中，嚴格性將會最終取代直覺性，因為那樣將會扼殺他的創(chuàng)造潛力，他應該領悟到，他的思維能夠先行，甚至能夠有效地提前運用'某些知識'，在創(chuàng)造性的數(shù)學中，假設往往先于證明，這是一個歷史事實，還不止此，一些猜想例如黎曼猜想它至今未被證明，卻已經以重要的方式影響了數(shù)學.

—— Cambridge Report

（111）

我所認識的每一個具有真正才能的青年數(shù)學家都已忠實地從事數(shù)學，這不是因為他們缺乏雄心，而正是因為他的滿懷壯志，他們全都意識到，如果有著任何取得終生成就之路的話，那這條路就是在數(shù)學之中.

—— G.H.Hardy

（112）

每一位數(shù)學家在一定時期都會有一個轉變，在轉變前他可以通過聽課、演算例題、參加討論班和閱讀最有效地進行學習，轉變后他則通過'做'去取得進一步地發(fā)展，后一狀態(tài)就是數(shù)學家個人從事數(shù)學研究的狀態(tài)，在這種研究中，問題的答案一般事先不知，而一項研究的延續(xù)周期從數(shù)小時到數(shù)月，長短不等，經驗向我們表明，數(shù)學家發(fā)生這兩狀態(tài)之間的轉變的時間和他取得他第一個學位的時間是非常接近的.

— IMA. Report

（113）

在偉大的數(shù)學中有一種振奮人心的，帶有交響樂效果的漸強音，加速的拍子和漸強的音量使得脈搏加快，心情激動，數(shù)學也有這種令人振奮的經驗.

— C.A Coulson

（114）

數(shù)學構成了人類智力的最壯麗的紀念牌，數(shù)學具有極大的廣度，且不同于其他科學的是，它從未遭受衰退，每一個數(shù)學真理一旦按照嚴格的證明原則發(fā)展，并且只要為真正的數(shù)學家所承認，它從此就永為科學之一部分，并且懂得這門學科的人不會給它找毛病.

— Thomas Thomson

（115）

最后，我們應該同意數(shù)學創(chuàng)造是自我們的爬洞生活以來的創(chuàng)造性中最偉大的勝利之一，也是我們過去四百年來所以爬得如此之快的原因之一，也許是主要的原因，不言而喻，數(shù)學是我們科學文明的基礎，但我還要說，數(shù)學有資格作為人類成就的象征和符號，有許多可用于檢驗社會教育的方法，但其中之一是：這個社會是否培養(yǎng)了許多創(chuàng)造性的數(shù)學家，他們是否按照世界標準有其自己的記錄，這方然不是唯一的檢驗，但它是一個起碼的、客觀的和主要的檢驗，如果一個社會教育沒有達到這個目標，那就是這個社會出了問題或它的教育出了問題，一個社會若不能鼓勵，以及這種特別的卓越，長久下去，它就不是一個適當?shù)纳鐣?

—C.P. Snow

不言而喻，數(shù)學本質是一個十分重要的討論題目，

也正如小數(shù)君所說，它是每一位數(shù)學教師，每一位學習數(shù)學的學生，每一位受過教育的人，每一位科學（包括社會科學）技術工作者，甚至每一位學生家長都該關心的問題，是世界上幾乎每一個人都應該感興趣的問題，而讓人驚喜的是，上述這些關于數(shù)學本質的言論的理解是不需要太高深的數(shù)學基礎，每條言論也都相對獨立，甚至有可能在零散的時間選讀幾條就受益匪淺，上述的各個觀點可以選擇同意或反對，因為事實上只有評價性地閱讀每一條言論并以自己本人的經驗來充分地加以闡明，才能得到更有益的效果，

那么哪條言論讓你最為贊同？哪條言論又是你所反對的？哪條言論讓你受到的啟發(fā)最大？又是哪條言論讓你印象最為深刻？

下方留言區(qū)等著你的數(shù)學火花的碰撞！

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