初三數(shù)學(xué)——幾何變換

平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對(duì)給定的圖形（或其一部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。

旋轉(zhuǎn)

一、旋轉(zhuǎn)的定義

二、常見的幾種模型

三、旋轉(zhuǎn)類型題目

1、正三角形類型

在正ΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個(gè)ΔP'CP中，此時(shí)ΔP'AP也為正三角形。

2、正方形類型

在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的ΔCPP'中，此時(shí)ΔBPP'為等腰直角三角形。

3、等腰直角三角形類型

在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔAPC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個(gè)ΔP'CP為等腰直角三角形。

平移

1、平移的定義

把一個(gè)圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)而達(dá)到另一個(gè)位置，這種圖形的平行移動(dòng)簡(jiǎn)稱為平移。

2、平移的兩個(gè)要素：

（1)平移方向；（2）平移距離。

3、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角

一個(gè)圖形經(jīng)過平移后得到一個(gè)新的圖形，這個(gè)新圖形與原圖形是能夠互相重合的全等形，我們把互相重合的點(diǎn)稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的線段稱為對(duì)應(yīng)線段，互相重合的角稱為對(duì)應(yīng)角。

4、平移方向和距離的確定

（1）要對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移，在平移前必須弄清它的平移方向和平移距離，否則將無法實(shí)現(xiàn)平移，那么怎樣確定這兩點(diǎn)呢？

A. 若給出帶箭頭的線段：從箭尾到箭頭的方向表示平移方向，而帶箭頭的線段的長(zhǎng)度，表示平移距離，也有時(shí)另給平移距離的長(zhǎng)度。

B. 若給出由小正方形組成的方格紙：在方格中的平移，從方向上看往往是要求用橫縱兩次平移來完成（有特殊要求例外），而移動(dòng)距離是由最終要達(dá)到的位置確定的。

C. 具體給出從某點(diǎn)P到另一點(diǎn)P'的方向?yàn)槠揭品较颍€段PP'的長(zhǎng)度為平移距離。

D. 給出具體方位（如向東或者西北等）和移動(dòng)長(zhǎng)度（如10CM）。

（2）圖形平移后，平移方向與平移距離的確定。

圖形平移后，原圖形與新圖形中的任意一對(duì)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射線方向就是原平移方向，這對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的線段長(zhǎng)度就是原平移距離。

5、平移性質(zhì)

圖形平移的實(shí)質(zhì)是圖形上的每一點(diǎn)都沿著同一個(gè)方向移動(dòng)了相同的距離。

平移后的圖形與原圖形：

① 對(duì)應(yīng)線段平行（或在同條一直線上）且相等；

② 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在同一條直線上）且相等；

③ 圖形的形狀與大小都不變（全等）；

④ 圖形的頂點(diǎn)字母的排列順序的方向不變。

6、判別平移圖形：

除根據(jù)定義判別外，還可以根據(jù)平移特征，從中去掉那些能互相替代和包含的內(nèi)容，只要具備以下三條：

（1）這兩個(gè)圖形必須是全等形；

（2）這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)線段必須互相平行（或者在同一條直線上）；

（3）這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線必須互相平行（或在同一條直線上）。

以上為判別方法一，由判別方法一還可以演變推出如下判別方法二:

（1）這兩個(gè)圖形必須是全等形；

（2）這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母的排列順序在圖中的方向必須相同（同位順時(shí)針或同為逆時(shí)針）；

（3）這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線必須互相平行（或在同一條直線上）。

翻折

一、翻折的定義

翻折和折疊問題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來考查。

二、翻折的性質(zhì)

①翻折后兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分。

三、翻折的題型

翻折折疊題型 (一) ，直接計(jì)算型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來解題！一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質(zhì)，以及常見的解題套路！

翻折折疊題型（二），分類討論型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來解題！一般難度較大，需要綜合運(yùn)用題中的條件，多種情況討論分析，需要準(zhǔn)確的畫圖，才能準(zhǔn)確分析！