1.聽(tīng)書：三角形內(nèi)角和定理：從歷史到課堂

 2.閱讀：三角形內(nèi)角和“推理型”學(xué)習(xí)路徑教學(xué)實(shí)踐

   3.欣賞：三角形內(nèi)角和定理的幾種證明方法

三角形內(nèi)角和定理從歷史到課堂 來(lái)自一課研究 00:00 04:52

本材料主要改編自華東師范大學(xué)汪曉勤教授《三角形內(nèi)角和：從歷史到課堂》一文，該文發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》2012年第6期，特此說(shuō)明并致謝。

       小學(xué)數(shù)學(xué)中“三角形內(nèi)角和”一課，各個(gè)版本的教材大體上主要有側(cè)重操作與側(cè)重推理的兩種編排思路，其中側(cè)重推理探究以臺(tái)灣地區(qū)“部編”版教材為代表。這里所指的推理，并不是嚴(yán)格意義上的邏輯推理，而是一種從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，進(jìn)行有依據(jù)的說(shuō)理或推算。該版本教材的學(xué)習(xí)內(nèi)容圍繞“直角三角形兩個(gè)銳角之和等于90°”這一命題展開(kāi)，按照從特殊到一般的順序編排：先是得出“直角三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論，再把銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形，利用上述結(jié)論求得這兩類三角形的內(nèi)角和，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證（見(jiàn)圖1）。

       臺(tái)灣地區(qū)“部編”版教材中側(cè)重推理的編排思路，可稱之為“推理型”學(xué)習(xí)路徑，它具有作為初步滲透邏輯思維和推理方法的載體的價(jià)值，為我們的教學(xué)提供了一種新的思路。

前測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)介

       為了深入了解這種學(xué)習(xí)路徑下學(xué)生的表現(xiàn)，在前期研究中，筆者以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)，對(duì)本校四年級(jí)兩個(gè)班級(jí)80名學(xué)生進(jìn)行了專項(xiàng)測(cè)試。分析前測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主嘗試推理時(shí)，具有以下特點(diǎn)：

 1. 大部分學(xué)生具有一定的推理認(rèn)知基礎(chǔ)。

 2. 部分學(xué)生掌握了推理的基本思路與方法。

 3 .  仍有較大比例的學(xué)生不適應(yīng)推理的思維方式。

（詳見(jiàn)“一課研究”2017年6月26日微信文章《“三角形內(nèi)角和”教材再研究——基于學(xué)生認(rèn)知的教材比較》）

難點(diǎn)分析及對(duì)策制定

       進(jìn)一步分析學(xué)生的前測(cè)結(jié)果，筆者發(fā)現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過(guò)程中，我們需要重點(diǎn)考慮以下兩個(gè)問(wèn)題：

       1.怎樣使學(xué)生由對(duì)直角三角形內(nèi)角和的研究，順利過(guò)渡到對(duì)銳角三角形與鈍角三角形的研究？

       2.怎樣引導(dǎo)學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)這幾類三角形在分割的過(guò)程中內(nèi)角的變化情況及其對(duì)整個(gè)三角形的內(nèi)角和的影響？

      基于對(duì)學(xué)情的分析和難點(diǎn)的思考，我們嘗試在學(xué)生認(rèn)識(shí)兩個(gè)全等直角三角形的內(nèi)角和與長(zhǎng)方形的內(nèi)角和的關(guān)系之后，加入一個(gè)環(huán)節(jié)，把這兩個(gè)全等直角三角形重組成一個(gè)大的銳角三角形，讓學(xué)生體會(huì)圖形變化前后內(nèi)角的增減變化，從而為猜想并驗(yàn)證銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和奠定基礎(chǔ)。

       （詳見(jiàn)“一課研究”2018年5月26日微信文章《“三角形內(nèi)角和”操作與推理兩種學(xué)習(xí)路徑難點(diǎn)分析與對(duì)策設(shè)計(jì)》）

教學(xué)實(shí)踐與分析

【教學(xué)實(shí)踐】

       師：同學(xué)們，關(guān)于長(zhǎng)方形，你知道什么？

       生：長(zhǎng)方形有四個(gè)直角。

       師：像長(zhǎng)方形四個(gè)直角這樣，在圖形內(nèi)部的，我們成為封閉圖形的（內(nèi)角）。除了有4個(gè)直角，你還有什么想說(shuō)的？

       生：這四個(gè)內(nèi)角和是360°。

       師：你還知道了內(nèi)角和，怎么來(lái)的？

       生：4×90°=360°。

 1.認(rèn)識(shí)三角形的內(nèi)角與內(nèi)角和

       【教學(xué)實(shí)踐】

       師：如果沿著其中一條對(duì)角線，把長(zhǎng)方形剪開(kāi)，就變成了什么？

       生1：直角三角形。

       生2：兩個(gè)直角三角形。

       生3：是兩個(gè)完全一樣的直角三角形。

       師：越說(shuō)越準(zhǔn)確了，分成了兩個(gè)完全相同的直角三角形。

       師：這些直角三角形的內(nèi)角在哪里？?jī)?nèi)角和又是指什么？

       兩名學(xué)生上前指出兩個(gè)三角形的內(nèi)角。

       師：你指的是這里的∠1、∠2和∠3嗎？它們是？

       生1：是上面一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角。

       生2：∠4、∠5和∠6是下面三角形的三個(gè)內(nèi)角。

       生1：∠1、∠2和∠3加起來(lái)就是上面三角形的內(nèi)角和。

       生2：下面這個(gè)三角形的內(nèi)角和就是把∠4、∠5和∠6加起來(lái)。

2.探究直角三角形的內(nèi)角和

【教學(xué)實(shí)踐】

       師：這里其中一個(gè)三角形的內(nèi)角和，可能是多少？誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你的猜想和理由？

       學(xué)生表達(dá)想法，存在給內(nèi)角強(qiáng)加具體數(shù)值的問(wèn)題。

       師：是嗎？這里唯一可以確定的是∠3是90°，∠1和∠2不知道。

       生3：長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°，把它平均分成兩份，其中一份就是360°÷2=180°。

       師：很有道理。這里還有兩組三角形，請(qǐng)你看一看，想一想。

       生：也都是180°，360°÷2=180°。

       師：三組圖形中，長(zhǎng)方形都不相同，為什么分出來(lái)的直角三角形，內(nèi)角和都是180°？

       生1：因?yàn)椴还苁鞘裁撮L(zhǎng)方形，內(nèi)角和都是360°，分成兩個(gè)一模一樣的三角形，所以都是180°。

       師：仔細(xì)觀察這些三角形，除了直角之外的另外兩個(gè)角，有什么規(guī)律？

       生1：這里的∠1＋∠2=90°。

       生2：∠4和∠5加起來(lái)也是90°。

       師：為什么？

       生3：直角三角形的內(nèi)角和是180°，直角是90°，所以另兩個(gè)角的和是90°。

【教學(xué)實(shí)踐】

       師：把兩個(gè)直角三角形重新組合，拼成一個(gè)銳角三角形，這個(gè)銳角三角形的內(nèi)角和是多少？

       生1：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角三角形拼成一個(gè)大的銳角三角形之后，少了兩個(gè)直角，所以三角形ABC的內(nèi)角和還是180°。

       生2：我是這樣想的，原來(lái)兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是180°，拼在一起后一共是360°，但是中間兩個(gè)直角，∠3和∠6沒(méi)有了，所以要減去180°，最后還剩180°。

       生3：我還有一個(gè)辦法，銳角三角形的內(nèi)角其實(shí)只有∠1、∠2、∠4和∠5，∠1、∠2是90°，∠4、∠5也是90°，所以是180°。

       課件出示兩種思路：

       180°× 2 － 90°× 2  =  180°；

       （180°－ 90°）× 2  =  180°。

1．嘗試驗(yàn)證銳角三角形的內(nèi)角和

 【教學(xué)實(shí)踐】

       師：能不能找一個(gè)一般的銳角三角形，來(lái)證明它的內(nèi)角和也是180°呢？

       生1：從A點(diǎn)出發(fā)，畫一條垂線，把銳角三角形分成兩個(gè)直角三角形就行了。

       生2：兩個(gè)直角三角形內(nèi)角和都是180°，也就是說(shuō)這里的∠1、∠2、∠3的和是180°，∠4、∠5、∠6的和也是180°。然后減去兩個(gè)直角，∠3和∠6，就是180°×2-90°×2=180°。

       生3：因?yàn)椤?和∠6不是三角形ABC的內(nèi)角，所以要減去，360°－180°=180°。

       生4：我發(fā)現(xiàn)，直角三角形中，除了直角之外，旁邊兩個(gè)角（的和）也是90°。比方說(shuō)這邊的∠1和∠2，右邊的∠3和∠4也是90°。兩個(gè)90°加起來(lái)就是180°。

       師：如果換一個(gè)銳角三角形，還能證明它的內(nèi)角和是180°嗎？

       生：也只要把它分成兩個(gè)直角三角形就行了。

       師：可是分出來(lái)的兩個(gè)直角三角形的形狀不一樣??？

       生1：雖然形狀不一樣，可是都是直角三角形，剛才我們已經(jīng)知道直角三角形的內(nèi)角和是180°了（指板書）。

       生2：還有，直角三角形的形狀不一樣，但它的兩個(gè)銳角加起來(lái)一定是90°，所以兩個(gè)90°就是180°。

 2.驗(yàn)證鈍角三角形的內(nèi)角和

【教學(xué)實(shí)踐】

       生1：可以像剛才那樣，把鈍角三角形沿著高分成兩個(gè)直角三角形，然后兩個(gè)180°減去兩個(gè)90°，就等于360°－180°=180°。

       生2：我是像剛才第二種方法那樣做的，左邊直角三角形兩個(gè)銳角之和是90°，右邊三角形兩個(gè)銳角之和也是90°，所以90°＋90°＝180°。

       師：學(xué)到這里，你能總結(jié)一下嗎？

       生1：銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°。

       生2：直角三角形的內(nèi)角和也是180°。

       生3：所有三角形的內(nèi)角和都是180°。

“推理型”路徑學(xué)習(xí)效果分析

       筆者發(fā)現(xiàn)，前測(cè)時(shí)出現(xiàn)的一些不正確的想法在課堂教學(xué)中依然存在，如在不知道某個(gè)角的具體度數(shù)時(shí)，學(xué)生會(huì)自己臆測(cè)并強(qiáng)加給它一個(gè)具體的數(shù)值，如30°、45°等常見(jiàn)的度數(shù)。顯然，對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)不可避免的現(xiàn)象，而這也正是教學(xué)中應(yīng)逐步幫助學(xué)生克服的困難。在教學(xué)中，可以采用多個(gè)變式，包括一些明顯有別于常見(jiàn)的兩個(gè)直角三角形（45°、45°、90°和30°、60°、90°）的圖形。在變式練習(xí)中，一方面是鞏固“任意”三角形的內(nèi)角和都是180°這一結(jié)論；另一方面，也是通過(guò)這樣的變式，讓學(xué)生逐步由具體的量的計(jì)算，過(guò)渡到抽象的關(guān)系的推理。

       教學(xué)實(shí)踐表明，在學(xué)生認(rèn)識(shí)兩個(gè)全等直角三角形的內(nèi)角和與長(zhǎng)方形的內(nèi)角和的關(guān)系之后加入過(guò)渡環(huán)節(jié)——將兩個(gè)直角三角形重組成一個(gè)大的銳角三角形，與后面的銳角三角形內(nèi)角和的驗(yàn)證相互銜接，學(xué)生的思維就變得更加連續(xù)，學(xué)習(xí)效果得到了明顯提升。

       雖然有不同的觀點(diǎn)認(rèn)為這樣做限制了學(xué)生的自主探究，但正如上文所說(shuō)，在學(xué)生初步接觸推理時(shí)，必要的幫助和引導(dǎo)可以為當(dāng)前和后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定正確的基調(diào)。

       課堂教學(xué)的其中一個(gè)優(yōu)勢(shì)，是為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造了一個(gè)可以互動(dòng)的環(huán)境。顯然，這“三角形內(nèi)角和”一課的學(xué)習(xí)中，在課堂氛圍的作用下，學(xué)生嘗試進(jìn)行有效推理的效果要明顯高于前測(cè)答題。因此，對(duì)于新的學(xué)習(xí)、思考方式，只要有一定的可能性，我們就應(yīng)該大膽嘗試。只要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，選用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材，課堂上的師生活動(dòng)、生生互動(dòng)以及學(xué)生與多種學(xué)習(xí)素材的互動(dòng)，會(huì)帶給我們意想不到的學(xué)習(xí)效果。

       綜上所述，在四年級(jí)“三角形內(nèi)角和”一課中開(kāi)展“推理型”學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)嘗試，雖然在發(fā)揮學(xué)生主體性和學(xué)習(xí)環(huán)境的開(kāi)放性等方面存在著一定的不足，但是實(shí)踐已經(jīng)證明學(xué)生是可以進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的，并且可以嘗試在其它內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行更加嚴(yán)密的邏輯推理。在看到這種可能性的同時(shí)，教師應(yīng)該主動(dòng)尋找相關(guān)的學(xué)習(xí)素材，探索適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，幫助學(xué)生進(jìn)一步形成邏輯推理的意識(shí)與能力。

你若盛開(kāi) 蝴蝶自來(lái)