數(shù)學是科學的靈魂，而科學又是技術(shù)的源頭，技術(shù)又是生產(chǎn)力增加、生活條件提升的必要條件。

現(xiàn)代數(shù)學的起源是集合論。這是非數(shù)學專業(yè)的同學基本不會接觸到的領(lǐng)域，但這也是人類文明最前沿的精華，所以我們在數(shù)學模塊中要把這個留在最后說。

從具象化到抽象化

有這么一個規(guī)律： 一個領(lǐng)域的知識如果不斷地深入發(fā)展，都有同一個趨勢，那就是從具象化到抽象化。

比如人類祖先出現(xiàn)了語言，語言實際上就是對具體事物的抽象化表述。在談?wù)摣C物的時候，就不必非得眼前有一只水牛，有一只羚羊，我們就可以用水牛這個詞來代替獵物。

數(shù)字的出現(xiàn)也反映了事物從具象到抽象化的過程。

比如說人類祖先用弓箭獵取動物的時候，弓箭總是有數(shù)量的，他們在談?wù)撌掷镉卸嗌偌臅r候，也許手中真的是有那么多箭，但也有可能沒有。但他們要表達的是給我10支箭。那么10這個數(shù)字就是弓箭數(shù)量的抽象化，作為數(shù)字它可以代表10支弓箭，也可以代表10只水牛?？傊?，10是一個可以脫離實際事物存在的準確的概念。

藝術(shù)領(lǐng)域也是這樣，曾經(jīng)古人在繪畫上追求的最高極致就是逼真，這就是具象化的追求。大約在1850年之后，繪畫繼續(xù)發(fā)展，逼真這種具象化的檔次，高度就不夠高了。藝術(shù)家希望通過顏色、線條、光影表達一種思想理念，也許是一種情緒，或者是一種世界觀，抽象派就這樣誕生了。畫家們就再也不把逼真作為終極目標。音樂也一樣有從具象到抽象化的過程。

不光是各個領(lǐng)域，就算是單個的人，他的智力發(fā)育過程也存在著從具象到抽象的變化，越成熟的人理解的抽象概念就越多。

比如同樣是宇宙跟黑洞，孩子們對黑洞能吸走多少宇宙飛船感興趣，而成年人對黑洞到底是什么感興趣。不論是文明的進程，還是個人的智力發(fā)育，都在往更抽象化的方向上發(fā)展。

數(shù)學領(lǐng)域一樣存在這個發(fā)展過程，數(shù)學的各個分支是按使用環(huán)境分的，比如：

跟圖形相關(guān)的，丈量土地，剪裁衣服，這些就叫做幾何。

根據(jù)已知數(shù)求未知數(shù)列算式的就被叫做代數(shù)。

往空中拋兩個銀幣，有多大的可能它們都是正面呢？這個叫做概率論。

但這些都是具象化的理解?，F(xiàn)代數(shù)學之后，構(gòu)建在集合論的基礎(chǔ)之上，從前這些分類就顯得太弱了。之后的分類就是靠集合的結(jié)構(gòu)，所以這些傳統(tǒng)的分類方法雖然對外行來說依然是顯而易見，好理解的，但實際最前沿的數(shù)學已經(jīng)不再把它們當作是單獨的分類了。它們在集合論的角度看都出現(xiàn)了新的結(jié)構(gòu)。

微積分基礎(chǔ)的建成

之前的文章，我們知道牛頓、萊布尼茨的微積分是以一個解決問題的工具出現(xiàn)的，但是這兩個人并不能嚴格地證明在什么情況下可以使用這個工具，數(shù)學界對這個問題也很看重，后來還引發(fā)了第二次數(shù)學危機，這次的危機簡單來說就是質(zhì)疑微積分的基礎(chǔ)不夠堅實。

最后的結(jié)果，就是給這個工具找到了堅實的理論基礎(chǔ)，整個過程經(jīng)歷了130年，也就是在科學家柯西那里告一段落，因為柯西把什么是函數(shù)的極限連續(xù)做了比較精確的定義，這之后，數(shù)學家們開始對各種趨于無窮大，趨于無窮小，或者是趨于某個數(shù)值的函數(shù)感興趣，給它們分類。

也因為柯西的工作，數(shù)學家們認識到很多類型的函數(shù)都可以統(tǒng)一地用 sin 或者 cos 這樣的三角函數(shù)，幾個疊加或者是無窮多個三角函數(shù)疊加之后表示出來。

這個道理要完全明白，可能要上完大學的基礎(chǔ)數(shù)學課才可以。

三角級數(shù)

12歲以上的同學們大致都可以感受到為什么說幾個三角函數(shù)疊加在一起就可以把很多函數(shù)圖像都表示出來了。

在上面的圖里，黑色的橫杠一會兒維持正1，一會兒維持負1，這部分黑色的線段就是我們目標需要模擬出來的這個函數(shù)，而紅色的曲線你看它是在不斷地變化。為什么變？就是因為我們不斷地把更多的三角函數(shù)疊加在上面。

最初你看，只有一條波浪線，后來在波浪線上繼續(xù)疊加波浪，隨著波浪不斷變多，紅色的線條越來越接近黑色橫杠的樣子。這時候咱們再把注意力放在圖片下方，那個幾乎看不清的公式上。那個公式每一項每一項都是一級三角函數(shù)，那個公式就是把這一級又一級的三角函數(shù)不斷疊加，圖形也會變得不斷復雜，每疊加一項，紅色的曲線就離黑色目標形狀靠近一些。

大家可以數(shù)一數(shù)，現(xiàn)在這張圖是疊加了8項之后的效果，其實理論上它是可以按照特定的規(guī)律無限疊加，疊加9項，甚至9萬項。疊加的三角函數(shù)無限多之后，紅色的線段就會無限地接近紅色的線段了，我們就管疊加了無限項數(shù)之后的式子叫做這個函數(shù)對應(yīng)的三角函數(shù)的展開式。這大致就是數(shù)學家們樂于見到的樣子，因為從前跟三角一點關(guān)系都沒有的函數(shù)，現(xiàn)在竟然可以用三角函數(shù)無限趨近了。

但這個時候數(shù)學家們也在擔心另一個問題，那就是對于一個已知的函數(shù)來說，它對應(yīng)的三角函數(shù)的展開式是唯一的嗎？還是說有多種不同樣式的展開式都可以表示同一種函數(shù)呢？

這個問題最早是1854年黎曼提出來的。

在1870年，數(shù)學家海涅推進了第一步，但是這一步很有限，他的結(jié)論是：只要展開式是一致收斂的，展開式的樣式就是唯一的。一致收斂這是一個數(shù)學專業(yè)的名詞，它是比收斂的約束力更強的一種收斂。

那么收斂是什么呢？

你可以理解成三角函數(shù)一項一項疊加過程中不會加到后來趨于無限大，那么就可以說它是收斂的。

如果用減肥來作比喻，收斂就相當于要求這個大胖子，你不論怎么長，體重都不要超過300斤。但是一致收斂比這個要求要強得多，它可能是要求這個大胖子不但不能超過300斤，而且還要在一個月內(nèi)降到200斤以內(nèi)。

但其實要求整個函數(shù)都一致收斂，這是一個限制性太高的要求了，如果只能證明到這種強度的話，那么這個世界上沒有多少函數(shù)可以平安無事地轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的展開式。而實際上去觀察，貌似是不用這么強的標準就可以，所以數(shù)學家們就得想方設(shè)法在更加寬松的條件下繼續(xù)證明這么展開是可以做的。

一年后，海涅自己又推進了一小步，他證明了除了間斷點以外，其他部分如果是一致收斂的，那么展開式的樣式就是唯一的。

這次確實是寬松了一點點，但也只是扣去了那幾個固定點。

間斷點是什么呢？

大家還可以看我上面那張動圖，你發(fā)現(xiàn)沒有，黑色的線條它的高度一會兒是正1維持一段，然后又跳變成負1，又維持一段。由正1跳變到負1，或者是從負1再跳變到正1，這些點都是間斷點。

海涅的證明就是可以把這些點不作考慮，只要求剩余的部分是一致收斂的，那展開式它的形式就是唯一的。

但這仍然也夠苛刻的，因為扣去它的那些點，它占比原有函數(shù)，那相當于是趨近于0%。而且黑色這個函數(shù)如果按照現(xiàn)在這個規(guī)律無限地延伸下去。

這種間斷點的個數(shù)將是無限多個的，那么存在無限多個間斷點的函數(shù)，它的三角函數(shù)的展開式形式還是唯一的嗎？

所以海涅也沒法證明了。這個問題本來從黎曼提出之后16年好不容易有了一點進展，但這下又卡住了。

不過，卡住只有一年，馬上就有一位大神級的人物橫空出世，他叫做格奧爾格·康托。他完成了兩步跳躍：

第一步是證明了即使在有限個間斷點上不收斂，展開式還是唯一的；

第二步進一步證明了間斷點上假如是都不收斂，哪怕間斷是無窮多的，但只要這種無窮多符合某種特別的規(guī)律，展開式也仍然是唯一的。

你發(fā)現(xiàn)沒有，康托分析的對象已經(jīng)跟過往的數(shù)學家完全不同了，因為他在試圖給一類數(shù)量無窮無盡的對象作分類討論。你看，他說只要這種間斷點無窮多，符合某種特別的規(guī)律，展開式還是唯一的。所以，他現(xiàn)在要給無窮多找規(guī)律了，絕大部分普通人肯定是理解不了的。

都是無窮多，有什么區(qū)別嗎？

我們?nèi)匀豢梢杂蒙厦婺莻€圖來舉例，你看到黑色線段的這個函數(shù)沒有？假如它是可以無限地向左向右延伸，那么黑色線段的數(shù)量就是無窮多段，間斷點跟連續(xù)點也都是無窮多的。

那么這三種無窮多里，誰比誰更多呢？

因為它們之間起碼有差別，你可以看到。康托給對象無窮多的東西來分類，就是這種感覺，這個也是人類第一次在嚴格的邏輯跟數(shù)學思維下深入思考無窮多這種東西。這個往大了說，是一種人類文明的升級，那康托具體是怎么分類跟研究集合的呢？我們接下來再說。