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名師系列 | 妙用均值不等式的八類配湊方法

 昵稱47813312 2019-08-17


作者簡介：
林明成，中學數學教師，任教于四川省蒼溪中學，主要研究高考試題，高中數學課堂教學，累計發(fā)文一百多篇。

注：本文節(jié)選自《中學數學研究》2009年第6期。

 試題分析

利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數學的一個重點。在運用均值不等式解題時，我們常常會遇到題中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用題設條件，此時需要對題中的式子適當進行配湊變形。均值不等式等號成立條件具有潛在的運用功能。以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，為解題提供信息，可以引發(fā)出種種配湊方法。筆者把運用均值不等式的配湊方法概括為八類。
題型一:
配湊定和
通過因式分解、納入根號內、升冪等于段，變?yōu)?“積” 的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，均分系數， 配湊定和，求積的最大值。

例題01

數學第六感

評注：通過因式分解，將函數解析式由 “ 和” 的形式，變?yōu)椤胺e” 的形式，然后利用隱含的“定和” 關系，求“積” 的最大值。

例題02

數學第六感

評注：將函數式中根號外的正變數移進根號內的目的是集中變元，為“配湊定和” 創(chuàng)造條件。

例題03

數學第六感

題型二:
配湊定積

通過裂項、分子常數化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀?的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，配項湊定積，創(chuàng)造運用均值不等式的條件。

例題04

數學第六感

評注：有關分式的最值問題，若分子的次數高于分母的次數，則可考慮裂項，變?yōu)楹偷男问?，然后配湊定積”，往往是十分方便的。

例題05

數學第六感

評注：有關分式的最值問題，若分子的次數低于分母的次數，可考慮改變原式的結構，將分子化為常數，再設法將分母“配湊定積” 。

例題06

數學第六感

評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數，從而化繁為簡，化難為易，創(chuàng)造出利用均值不等式的環(huán)境。

題型三:配湊常數降冪

例題07

數學第六感

評注：本題借助取等號的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡捷明了。

例題08

數學第六感

例題09

數學第六感


題型四:
配湊常數升冪

例題10

數學第六感

例題11

數學第六感

題型五:約分配湊

通過“1 ” 變換或添項進行配湊，使分母能約去或分子能降次。

例題12

數學第六感

例題13

數學第六感

例題14

數學第六感

題型六:
引入參數配湊
某些復雜的問題難以觀察出匹配的系數，但利用“等”和“ 定” 的條件，建立方程組，解得待定系數，可開辟解題捷徑。

例題15

數學第六感

題型七:引入對偶式配湊

根據己知不等式的結構，給不等式的一端匹配一個與之對偶的式子，然后 一起參與運算，創(chuàng)造運用均值不等式的條件。

例題16

數學第六感

評注：本題通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式。

題型八:確立主元配湊

在解答多元問題時，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個數，恰當配湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。

例題17

數學第六感

評注：變形后選擇A 為主元，先把A看作常量， C看作變量，把B 、 C這兩個變量集中到cos(B-C)，然后利用cos(B-C)的最大值為1，將其 整體消 元，最后再回到A這個主元，變中求定。

  結束語  

本文許多貌似繁難的最值問題或不等式證明問題，運用均值不等式等號成立條件，恰當配湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式，輕松獲解這種運用等號成立條件的配湊方法，既開拓了學生的思路，又活躍了學生思維，培養(yǎng)了學生的數學能力。

  附 言 

誠請數學教師、教研員和數學愛好者不吝賜稿

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