（一）

  （1）上面的系列變式題（征解題）最先收到了浙江寧波丁峰老師的對南通海安2019屆上學(xué)期期末考試題第14題（以下簡稱“南通海安題目”）的解答：

   評注：丁峰老師對目標(biāo)式分子變成x^2和y^2然后對分母放縮成常數(shù)4和3，放縮后恰好可以用已知的橢圓條件等式。為此，只需將待求式的兩個分式的分子分母分別同乘以x或y即可得到x^2和y^2，然后對兩個分母用二維均值不等式ab≤(a+b)2/4，得到兩個分母的最大值分別為4和3．

    （2）然后丁老師接著解答第1道-第3道征解題：  

     評注：有了解決上面的“南通海安題目”的經(jīng)驗，丁老師將第1題-第3題的待求式的所有分式的分子的常數(shù)都換掉，變成只含x的正比例函數(shù)（即將分子的常數(shù)換掉，通過減去一個合理的常數(shù)，使分子變成形如kx的式子），從而和“南通海安題目”的形式完全一樣。但第1題-第3題丁老師未給出取等號的條件，讀者可在后文的解答里找到取等號的條件。  

   所以，丁老師的“轉(zhuǎn)化與化歸”數(shù)學(xué)思想用的好呀（即將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，將沒解決的問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決了的問題）！

 （3）這樣似乎就破譯了原命題人的郭航老師的所有題目的解題密碼而沒有一點變化嗎？答案是否定的，請看下面的第4題：

   思考1：在第4題方法一中，丁老師為何不像第1題-第3題一樣如法炮制呢（即將分子的常數(shù)換掉，通過減去一個合理的常數(shù)，使分子變成形如kx的式子）？而是將待求式的第一個分式的分子分母同乘以x^2，第一個分式的分母使用三維均值不等式abc≤(a+b+c)3/27；但第二個分式的技術(shù)手段還是像第1題-第3題一樣如法炮制（即將分子的常數(shù)換掉，通過減去一個合理的常數(shù)75/10=15/2，使分子變成形如ky的式子，然后再分子分母同乘以y或my），這個疑問留給讀者思考。也就是說第4題的方法一中待求式的第一個分式產(chǎn)生了基因突變，而第二個分式仍然維持原方法。

  思考2：在第4題方法二中，對第一個分式再次產(chǎn)生變異，采用了配均值的方法（其結(jié)果得到了與已知條件相關(guān)的x^2，但同時產(chǎn)生了雜質(zhì)x^3和x^4）；對第二個分式仍然維持原方法（得到了與已知條件相關(guān)的y^2，再利用已知條件轉(zhuǎn)化為含x^2的式子），最后放縮得到了下面的函數(shù)f(x)：   

   而函數(shù)f(x)的最小值求導(dǎo)數(shù)是可以輕易得到的，不過丁老師沒有這樣做，仍然用了和方法一本質(zhì)上一樣的三維不等式求得最小值（先提公因式x^2）。大致不少不等式愛好者們都喜愛首選用幾個著名不等式的定理來求最值吧（盡管想到了導(dǎo)數(shù)方法，但因?qū)?shù)方法技術(shù)含量低而棄用）。

（4）下面是丁峰老師對第5題的解答：

       評注：丁老師處理手法就和第4題的方法一是一樣的，也就是將待求式的第一個分式的分子分母同乘以x^2，第一個分式的分母使用三維均值不等式abc≤(a+b+c)3/27；但第二個分式的技術(shù)手段還是像第1題-第3題一樣如法炮制，即將分子的常數(shù)換掉，通過減去一個合理的常數(shù)，使分子變成形如ky的式子，然后再分子分母同乘以y或my。也就是說第4題的方法一中待求式的第一個分式產(chǎn)生了基因突變，而第二個分式仍然維持原方法。

  （5）下面是丁老師對第6題的解答：

     評注：第一個分式的變形手段還是像第1題-第3題一樣類似處理，即將待求式的兩個分式的分子的常數(shù)729和256消掉，分別減去一個合理的常數(shù)729/9=81或256/8=32（但要將81和32=113加回來），使分子變成形如kx或my的式子，然后兩個分式的分子分母同再分別乘以x^2或y^3即可（然后對兩個分式的分母分別用三維和四維均值不等式求出分母的最大值）。

    評注：對于第7題，丁老師對待求式的第一個分式的分子分母直接乘以x^3，即可得到條件的x^3；而對第二個分式卻先減去一個常數(shù)40/5=8(這樣可得到分子只含形如ky的式子，然后再分子分母分別乘以y^4，即可得到條件的y^5！

   看來上述兩種手段要么分別用，要么聯(lián)合用，具體情況具體分析而已。

   評注：對于第8題，已知條件的次數(shù)不同次，待求式也變成了三個分式，盡管題目看起來很難，但命題者郭航老師通過第1題到第7題的搭臺階作鋪墊，已經(jīng)顯得沒那么難了，相信讀者能看出來怎么做了。

   在第8題中，丁老師對待求式的第一個分式減去250/10=25（再分子分母乘以x，即可得到條件的x^2）；對第二個分式先減去243/18=27/2(再分子分母乘以y^2，即可得到條件的y^3；而對第三個分式的分子分母直接乘以z^3，即可得到條件的z^3．

   至此為止，浙江寧波丁峰老師解答完了全部題目（包括1道南通海安題和8道變式征解題，而且是word版，題目中的公式使用了“域”）。

（二）

   關(guān)于文首“南通海安題”的解答，還收到了陜西省武功縣教育局教研室李歆老師的另解（連用兩次柯西不等式）：  

   評注：此題用柯西不等式應(yīng)該有不少人嘗試過，但都不是很好解答（甚至出現(xiàn)錯解，即不等式方向弄反了）。

   李歆老師采用了兩次柯西不等式（第一次用權(quán)方和不等式得出x+2y的最大值為8，其實改用標(biāo)準(zhǔn)的柯西不等式來做，則參加高考的普通學(xué)生更易看懂些；第二次也用了權(quán)方和不等式后又出現(xiàn)了含x+2y的式子和含已知的橢圓條件的式子，感覺很巧嗎？事實上這可以用待定系數(shù)法得到）。

   但李老師沒有證明x+2y>4（可以用三角換元或線性規(guī)劃證明或不等式放縮證明），也沒有證明最后一步函數(shù)的單調(diào)遞減性（或許太簡單了吧），下面“解題君”重新將李老師的過程補充完整：

   另外，也收到了些錯解（主要是感覺比較典型，為了告誡后來者才貼出來的）：

   錯解一：用了均值不等式和判別式法，遺憾的是最后一步不等式方向搞反了，功虧一簣）：

   錯解二（最后一步把不等式方向搞反了，功虧一簣）：

（三）

   還收到了廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)朱清波老師的解答（有些題的方法和丁峰老師解法基本一致，但朱老師的解答要詳細(xì)些，學(xué)生更容易看懂，所以也一并貼出來）：

     評注：下面對題目1的錯誤解答也是最后一步把不等式方向搞反了，功虧一簣！

     繼續(xù)看朱清波老師的解答：

（四）

  上期已經(jīng)登載出命題人河北保定郭航老師的文章的前部分，現(xiàn)在把郭老師的文中和文末部分一并貼出，讓我們一起經(jīng)歷一下郭老師命制出上面的征解題的思維探索過程和思考：  

想了很多放縮的方法，就是做不出來，最后只能回到求導(dǎo)上來。

首先我進(jìn)行了又一個代換（萬能公式）：

     注：這是上期登載的郭航老師的文章的前部分，下面繼續(xù)郭航老師的后面部分的探索和思考的文章：

   至此命題人郭老師的思維探索過程的文章全部登載完畢，親愛的讀者，郭老師的命題思路和你的想法一致嗎？

   評注：郭老師提到的如下簡單解答，“解題君”找到了類似的放縮法：

     一些題目的類似放縮法（放縮后的式子和條件吻合）：

第一道：

第二道：

第三道（2010年浙江大學(xué)自主招生的不等式題）：

（五）

   命題人郭航老師說，征解題1,2,3是一個類型，4,5是一個類型，6是一個類型，7是一個類型，8是三元不等式。

   看來這些不等式應(yīng)該是屬于不同類型，但廣州網(wǎng)友“kuing”卻說：

   “照我看，它們?nèi)峭活愋?，就是“本質(zhì)涉及高次方程，非湊好數(shù)據(jù)不能解”型（有空得想個簡稱才行）。對這種類型的題，我當(dāng)然也還是那句：用任意方法暴力算出取等條件（或目測出或蒙出或機器出取等條件），然后湊出各種不同的看起來很牛X解題過程（話說這方面……，此處省略十?dāng)?shù)個無關(guān)緊要的字）。

     由于題目太多而且類型相同，因此我就用同一招好了，……（此處省略十?dāng)?shù)個無關(guān)緊要的字）。”

  下面是kuing對征解題1-8的解答：

     評注：第1題kuing將8/(4-x)放縮成2+x2/2，和前面的丁峰老師和朱清波老師用均值不等式放縮的結(jié)果是一致的，只是kuing用了作差配方證明而已。其余放縮請讀者自行研究，下面繼續(xù)kuing的解答：

   評注：大概看得出kuing都是用的切線法的思想，先對高次冪換元，弄出切線后得到局部不等式（又把高次冪還原回來），然后用作差配方法證明（好比是小李飛刀，一刀制敵，卻不知道飛刀是從哪里發(fā)出的），兩個局部不等式相加即得結(jié)果（第8題是3個局部不等式）。

   在上面“解題君”是私自揣測kuing的想法的，不知他是否真是這樣想的？另外，不知讀者注意到?jīng)]有，有的放縮切線為正比例函數(shù)（此時無需加減常數(shù)），有的放縮切線卻是一次函數(shù)（此時需要加減常數(shù)）。

   先前也和命題人郭航老師也探討過這些題都是同一類型（切線法思路），基于此，郭老師有點想撤回本期征解題。但“解題君”看到郭老師在命制題目中二維或三維均值不等式的應(yīng)用，也覺得很不錯。

   事實上，前面丁峰老師、朱清波老師等人的解答也看出這些征解題也是出的挺好的，這些題用于命制平時學(xué)生的考題也是相當(dāng)有趣的，這才打消郭老師撤回本期征解題的想法。

（六）

  這是本公眾號在農(nóng)歷2019年的第1期，怎么能沒有賀歲題呢？這不，kuing就命制了一道賀歲題：  

   評注：可以看出此“賀歲題”和文首的征解題有一些區(qū)別，第一個區(qū)別是待求式的分母未知數(shù)前的字母變成加號了，而文首郭航老師的征解題的分母未知數(shù)前的字母全是減號！第二個區(qū)別是所有字母不再要求是正實數(shù)了！

   讀者朋友們，如果你做出了，請將解答發(fā)到“解題君”的QQ郵箱1933725911@qq.com，下期將會登載你的解答.

   最后感謝命題人郭航老師，以及前面各位老師和網(wǎng)友提供的精彩解答！

   還要感謝他們幫忙審了一些稿件（畢竟本期題目數(shù)量較多，解法也多，工作量巨大呀）！  

   以下是下期題目的征解題，每題的第一個正確解答者將獲得QQ紅包10元，共計20元，在解答登載出后一天內(nèi)由“解題君”代發(fā)。

   如果有第二個或第三個解答者的解答很新穎或者有創(chuàng)意，征得命題人趙振華老師同意后，有機會和第一位解答者按一定比例共享10元紅包（但紅包額不會超過第一位解答者）：

  請愛好者們做一做上面的題目，把你的解答輸入到word里（其中數(shù)學(xué)公式部分請用公式編輯器，如能夠得到一些結(jié)論、推廣或者背景，則更好），然后將word文件傳給“解題君”的QQ號1933725911（先加好友），不在線的話，用離線傳送．還可以把解答發(fā)到“解題君”的QQ郵箱1933725911@qq.com，你的解答將在本公眾號下期發(fā)表（屆時會署上你的名字、省份、單位、學(xué)校等信息）