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中國如今的數(shù)學(xué)界雖然和歐美相比，還有一些差距，但是中國一直都在不斷地進(jìn)步之中，如今聊起中國數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖，一般而言，公認(rèn)的就是田剛與張壽武二人。田剛是北京國際數(shù)學(xué)研究中心的負(fù)責(zé)人，也是北大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院院長，而張壽武則是普林斯頓大學(xué)教授與清華大學(xué)高等研究中心教授。他們兩個(gè)人除了代表了目前中國數(shù)學(xué)界的最高水平（不包括華裔數(shù)學(xué)家，如丘成桐、陶哲軒等），也為中國數(shù)學(xué)界培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。今天我們兩個(gè)人就來聊聊田剛和張壽武。  田剛：在幾何世界里自由遨游田剛最為人矚目的倒不是他的學(xué)術(shù)成就，而是他與自己的老師丘成桐之間的恩恩怨怨，丘成桐在2004年直指田剛學(xué)術(shù)不端，不過這件事情海內(nèi)外數(shù)學(xué)界都沒有查到什么實(shí)據(jù)，相反后來田剛成為了阿貝爾獎(jiǎng)的評委，阿貝爾獎(jiǎng)是僅次于菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域最具含金量的獎(jiǎng)項(xiàng)之一，一屆評委會只會選擇 5 位評委，田剛是目前唯一入選的一位中國數(shù)學(xué)家。阿貝爾獎(jiǎng)、菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)并稱為數(shù)學(xué)界三大獎(jiǎng)。由此也可以說明田剛的數(shù)學(xué)成就是得到了海外數(shù)學(xué)界的認(rèn)可的。  作為丘成桐的學(xué)生，田剛在和丘成桐之間的爭端中倒是并沒有說過老師一句的壞話。而且丘成桐的學(xué)生里，田剛和Richard Schoen、李駿并稱為丘成桐三大得意門生。 田剛最卓越的成就是在國際數(shù)學(xué)家大會作了 1 小時(shí)報(bào)告，要知道，國際數(shù)學(xué)家大會 4 年一辦，有 45 分鐘報(bào)告和 1 小時(shí)報(bào)告，國際數(shù)學(xué)家大會上 1 小時(shí)報(bào)告，反映了當(dāng)今世界數(shù)學(xué)研究的最高成就，是數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)極高榮譽(yù)。是對數(shù)學(xué)家最大的認(rèn)可。  參加數(shù)學(xué)家大會的田剛 比如像抽象代數(shù)之母諾特、數(shù)學(xué)之王希爾伯特等，彭實(shí)戈和田剛是僅有的兩位能夠在國際數(shù)學(xué)家大會作1小時(shí)報(bào)告的中國籍?dāng)?shù)學(xué)家。 田剛因?yàn)橹饕芯款I(lǐng)域是在幾何分析，所以非常遺憾沒有獲得菲爾茲獎(jiǎng)。為了解釋萬有引力的本質(zhì)，愛因斯坦于1916年創(chuàng)立廣義相對論，并試圖用一個(gè)二階非線性偏微分方程組來度量引力場，也就是有名的“卡勒—愛因斯坦度量”（Kahler—Einstein度量）。  田剛在幾何領(lǐng)域提出了波戈莫洛夫-田-托多羅夫定理，由此在數(shù)學(xué)界嶄露頭角。 他的博士論文還為一般Fano流形（流形是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間，在數(shù)學(xué)中用于描述幾何形體）上問題的解決做了鋪墊。 我們都知道丘成桐獲得菲爾茲獎(jiǎng)是因?yàn)榻鉀Q了卡拉比猜想，卡拉比猜想指出在封閉的空間，有無可能存在沒有物質(zhì)分布的引力場?？ɡ炔孪牍灿腥N情況：第一陳類等于零；第一陳類小于零；第一陳類大于零。丘成桐證明了這個(gè)猜想的陳類為負(fù)和零的情況。  因此人們希望在研究Fano流形上（即第一陳示性類正定時(shí)）K(a)hler-Einstein度量的存在性問題中也有所突破 田剛是丘成桐學(xué)生的緣故，所以在卡比拉猜想上也做出過成就，田剛主攻的是卡拉比猜想第一陳類大于零，田剛在二維時(shí)完全解決了此問題，由此獲得了維布倫幾何獎(jiǎng)。 在此之前，田剛通過定義阿爾法不變量。通過該不變量可以判別凱勒愛因斯坦度量的存在性。1989年，田剛利用他先前引進(jìn)的不變量以及他發(fā)展的部分連續(xù)模估計(jì)這一新工具，徹底解決了復(fù)曲面上的卡拉比問題（二維時(shí)）。這是非常重要的突破。高維的情形則更加困難。田剛首先給出例子說明，即使沒有非零全純向量場也有可能不存在K(a)hler-Einstein度量。1996年，利用他與丁偉岳教授合作定義的全純不變量，田剛引進(jìn)了K穩(wěn)定的概念，證明流形上存在K(a)hler-Einstein度量的Fano流形必須是K穩(wěn)定的。之后K穩(wěn)定的概念得到進(jìn)一步發(fā)展并推廣到任意極化的K(a)hler流形，成為代數(shù)幾何重要的概念之一。  簡單來說，田剛證明了KE度量的存在性要求反典范線叢K*是K穩(wěn)定的，從而證否了卡拉比猜想 Ⅲ。 后來，田剛和菲爾茲獎(jiǎng)得主唐納森提出了關(guān)于K-穩(wěn)定Fano流形上K?hler-Einstein度量存在性問題，也就是著名的丘-田-唐納森猜想，也叫 K 穩(wěn)定性猜想。 2012年10月，田剛率先宣布解決了K-穩(wěn)定Fano流形上K(a)hler-Einstein度量的存在性問題并給出了證明概要。解決這個(gè)長期未決的重大問題的關(guān)鍵技術(shù)途徑是在錐K(a)hler-Einstein空間情形建立田剛早先猜測的部分連續(xù)模估計(jì)，而建立這一關(guān)鍵估計(jì)的主要方法是推廣Cheeger-Colding-Tian有關(guān)K(a)hler-Einstein流形的緊化理論。田剛的證明綜合應(yīng)用了眾多理論，涉及到很多數(shù)學(xué)分支，比如微分幾何、代數(shù)幾何、偏微分方程、多復(fù)分析、度量幾何等，特別是其證明將這些領(lǐng)域聯(lián)系在一起，將完善并推動(dòng)這些學(xué)科的發(fā)展。也就是說田剛證明了他提出來的K穩(wěn)定性猜想。論文已在世界頂尖數(shù)學(xué)期刊Communications on Pure and Applied Mathematics（CPAM）上發(fā)表。大家可以看看。  可以說這些年田剛和唐納森一直主導(dǎo)著卡勒幾何的發(fā)展，而田剛另外一個(gè)最重要的成就就是完善了佩雷爾曼的龐加萊猜想。 當(dāng)時(shí)佩雷爾曼發(fā)表完了關(guān)于龐加萊猜想的論文之后，他給十幾位數(shù)學(xué)家發(fā)了郵件，請他們對自己的論證過程給予評價(jià)，由此震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。收到郵件的數(shù)學(xué)家就包括了田剛。  2002年11月12日，當(dāng)時(shí)在麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系任教授的田剛在信箱中看到一封顯示發(fā)件人為“格利高里·佩雷爾曼”（Grigori Perelman）的郵件。
田剛收到信之后，用了三天的時(shí)間仔細(xì)閱讀這篇論文，因?yàn)橐呀?jīng)公開的3篇論文，因?yàn)榕謇谞柭惶峁┝俗C明的草稿，所以在論證結(jié)構(gòu)上跳躍性極強(qiáng)，缺少詳盡的技術(shù)細(xì)節(jié)，且其證明內(nèi)容并不止限于解決龐加萊猜想。為了盡快澄清這些證明，田剛等人邀請佩雷爾曼前往美國舉辦研討會，親自向數(shù)學(xué)界講解他的工作。
2003年4月，佩雷爾曼接受了田剛的邀請，來到了麻省理工學(xué)院，開始了他的系列巡回講演。與此同時(shí)，田剛、克萊納和摩根等四位深研論文，確認(rèn)了佩雷爾曼證明的正確性。 2004年，佩雷爾曼結(jié)束了他的巡回講演，而接下來就是關(guān)于佩雷爾曼猜想的完善工作了，這個(gè)工作也非常的重要，“高手或許一步可以看到7步后的變化，棋藝稍遜的人或許只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。”普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的一位教授說，“只有完完整整把每一步的走法寫下來，才能算是一個(gè)完整的證明?！?。  2004年9月，田剛和哥倫比亞大學(xué)的拓?fù)鋵W(xué)家約翰·摩根決定合作，在田剛之前給學(xué)生開討論班研讀佩雷爾曼論文時(shí)留下的筆記的基礎(chǔ)上，撰寫一部關(guān)于龐加萊猜想的書。這部書稿，得到了克雷數(shù)學(xué)研究所（也就是千禧年七大數(shù)學(xué)難題的發(fā)起者）的著述專項(xiàng)資助 正如前面所說的，因?yàn)榕謇谞柭惶峁┝俗C明的草稿，且其證明內(nèi)容并不止限于解決龐加萊猜想，在這兩年的時(shí)間里田剛等人為了讓論文更易閱讀，逐步填補(bǔ)豐富了佩雷爾曼證明中的細(xì)節(jié)部分，終于將龐加萊猜想徹底證明。  2006年5月，摩根和田剛合作完成的書稿提交給了克雷數(shù)學(xué)研究所，并在7月25日把這本473頁的書放到了arXiv網(wǎng)站上。而此時(shí)，國際數(shù)學(xué)家大會已確定，將由摩根在8月24日作一個(gè)關(guān)于龐加萊猜想的公眾報(bào)告。 可以說田剛在佩雷爾曼論文中做出了卓越的貢獻(xiàn)，他極力邀請佩雷爾曼進(jìn)行講學(xué)，傳播數(shù)學(xué)新思想，大力宣傳佩雷爾曼取得的成就。 當(dāng)時(shí)，一共有 3 組世界頂尖的數(shù)學(xué)家團(tuán)隊(duì)參與了對其證明的完善工作。其中中國數(shù)學(xué)界包括田剛、朱熹平、曹懷東。  而丘成桐、曹懷東和朱熹平三人由此鬧出了一場大笑話，丘成桐當(dāng)時(shí)對媒體宣布,“曹懷東、朱熹平已經(jīng)完成了龐加萊猜想的封頂之作。 而就目前數(shù)學(xué)界來說，佩雷爾曼論文的完善工作中，田剛等人的更為仔細(xì)完善，而曹懷東等人的過于執(zhí)著于幾何化猜想。（在卡拉比猜想Ⅲ上，丘成桐也執(zhí)著于幾何化猜想），不管怎么樣說，佩雷爾曼事件，是丘成桐一輩子最大的污點(diǎn)。 丘成桐 丘成桐和田剛矛盾之間的激化，很多人都認(rèn)為有這樣的因素存在。 作為北大數(shù)院的田剛，也為中國數(shù)學(xué)界培養(yǎng)了許多的年輕數(shù)學(xué)家，在整個(gè)數(shù)學(xué)界大放光彩，要知道中國數(shù)學(xué)的中心就在北大。 田剛和學(xué)生 張壽武：國際數(shù)論界頂尖級高手不知道是不是奇妙的緣分，21世紀(jì)之交的這幾年，大概是1999年2004年左右，北大數(shù)學(xué)系真的是人才輩出，現(xiàn)在國際數(shù)學(xué)界上的具有成就的年輕中國數(shù)學(xué)家相當(dāng)部分都是在那個(gè)時(shí)間段進(jìn)入北大學(xué)習(xí)的。 如張偉，在中國人民大會堂獲得了晨興數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金獎(jiǎng)，這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)被譽(yù)為華人“菲爾茲獎(jiǎng)”，是華人數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高榮譽(yù)，在讀博士的時(shí)候，張偉就解決了庫達(dá)拉猜想中模性的問題；還有袁新意，全球知名的年輕一代數(shù)學(xué)家；北大畢業(yè)的朱歆文則主要致力于幾何表示理論的研究，尤其幾何朗蘭茲綱領(lǐng)方面。他研究了環(huán)路群的旗流形的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)，并把幾何朗蘭茲綱領(lǐng)理論應(yīng)用到了算術(shù)幾何領(lǐng)域，做出了重要成果；還有劉一峰，斬獲美國斯隆研究獎(jiǎng)，他的主要研究方向?yàn)樽允匦问?、?shù)論與代數(shù)幾何。以及大家非常熟悉的許晨陽，主要研究成果包括一般型對數(shù)典范偶的有界性理論，證明了對數(shù)典范閾值的上升鏈猜想，極大推動(dòng)了正特征三維極小模型綱領(lǐng)，在對數(shù)典范奇點(diǎn)的極小模型綱領(lǐng)中做出突破，證明了田剛和Donaldson關(guān)于K-穩(wěn)定性定義的等價(jià)性，解決了《幾何不變式論》前言里關(guān)于典范極化簇漸進(jìn)周穩(wěn)定緊化不存在的問題，并系統(tǒng)研究和發(fā)展了對偶復(fù)形理論。 劉若川、惲之瑋、袁新意、宋詩暢、肖梁、許晨陽（左起）都是年輕一代的數(shù)學(xué)家 除此之外，還有惲之瑋、吳忠濤、劉志鵬等，這些都是北京大學(xué)培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)家，是全球數(shù)學(xué)界冉冉上升的新星，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出過豐碩的成果。 而這些從北大出來的青年數(shù)學(xué)家很大部分都是在普林斯頓擔(dān)任教授的張壽武手里深造的。清華北大的基因在這些年輕數(shù)學(xué)家身上完美融合。 張壽武的人生更為勵(lì)志，他出身特別貧窮，他經(jīng)常要在家?guī)妹煤偷艿埽€要去放鴨子，所以基本上沒怎么去過上學(xué)，但是在期末考試的時(shí)候，哥哥臨時(shí)抱佛腳教了一下他。他結(jié)果考的還不錯(cuò)。 張壽武就覺得自己的智商還可以呀，就經(jīng)常自己自學(xué)，想做一個(gè)數(shù)學(xué)家。初中時(shí)候，在田里邊放鴨子邊自學(xué)完了初中幾何和代數(shù)，后來又看完了高中數(shù)學(xué)。雖然初中三年，像模像樣上學(xué)也就才一年，但是張壽武居然奇跡般考上了最好的中學(xué)——和縣一中。 高中時(shí)候他開始自學(xué)高等數(shù)學(xué)，后來又用微積分做試卷，老師實(shí)在看不懂他寫的過程，但是答案又是對的，就說你可以不用來上數(shù)學(xué)課了。因?yàn)楦呖即中拇笠?，反而?shù)學(xué)考砸了，張壽武就想自學(xué)考數(shù)學(xué)研究生。 后來，在舅舅的要求下讀了中山大學(xué)化學(xué)系，但是一門心思想學(xué)數(shù)學(xué)的張壽武和數(shù)學(xué)系老師表達(dá)了自己的訴求，最后數(shù)學(xué)系老師同意了他的轉(zhuǎn)系要求。 在數(shù)學(xué)系，張壽武基本上也是自學(xué)，他在大學(xué)就開始教自己的老師、對自己的老師抽象代數(shù)了。 張壽武曾提前參加了79級（他是80級）的常微分方程考試，他得了75分，便要求學(xué)校再給他一次考試機(jī)會，準(zhǔn)備參加同年級同學(xué)的考試。為了讓班上的同學(xué)都能考出好分?jǐn)?shù)，他將上次的考題和答案油印出來讓大家學(xué)習(xí)，沒想到兩次考卷居然是一樣的，結(jié)果，班上的同學(xué)都考了90多分，老師調(diào)查清楚情況后非常憤怒，將他的考卷扣到59分，雖然補(bǔ)考時(shí)他得了100分，但不及格的記錄還在那里，這讓他十分緊張，考慮到會影響以后的分配，他決定提前考研究生。于是，他提前一年將所有的課程都學(xué)完了。 后來，他得到了美國哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)系的哥德費(fèi)爾德的賞識，去了哥倫比亞大學(xué)深造， 在數(shù)學(xué)屆，“波戈莫洛夫猜想”被認(rèn)為是世界性的難題，（是不是很熟悉，田剛的成就里就有提出了波戈莫洛夫-田-托多羅夫定理）而張壽武在34歲年就證明了這一猜想。并且在35歲推廣了格羅斯——乍基亞公式，稱為“格羅斯－乍基亞－張公式”。 除此之外，張壽武關(guān)于志村簇上復(fù)乘點(diǎn)的高度。建立了瓦爾斯普爾熱（Waldspurger）公式在算術(shù)代數(shù)幾何下的一個(gè)模擬，瓦爾斯普爾熱公式是給出積分周期和L函數(shù)特殊值之間的關(guān)系的一個(gè)重要公式。 1998 年，張壽武更是獲得了首屆晨新數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金獎(jiǎng)，晨新數(shù)學(xué)獎(jiǎng)是華人數(shù)學(xué)界最權(quán)威的獎(jiǎng)項(xiàng)，素有華人菲爾茲之稱。 和數(shù)學(xué)成就相比，張壽武更是為中國培育了一大批的年輕數(shù)學(xué)家，如張偉、、田野、劉一峰、袁新意等。 張壽武認(rèn)為：“我這一輩子，有那么多人幫助過我，我要回饋給國家和社會。中國那么大，想學(xué)數(shù)學(xué)的人那么多。我想給那些和我有同樣經(jīng)歷的人一個(gè)機(jī)會?！?/p> 張壽武和學(xué)生 在張壽武看來，最好的學(xué)生是不應(yīng)該向老師要題目的。他們不僅是解題高手，甚至是出題高手。那么，老師還有什么可以教給他們？ “成功我是沒辦法告訴他的，我只能告訴他什么叫失敗。我把心里想的、經(jīng)歷過的失敗都告訴他，讓他不用再經(jīng)歷一次失敗?！?/p>
37歲的張偉已經(jīng)是麻省理工學(xué)院（MIT）數(shù)學(xué)系教授，33歲的劉一峰則是耶魯大學(xué)的副教授。他們的名字被在拉馬努金獎(jiǎng)、華人數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)“晨興數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”等榮譽(yù)襯托，無疑是國際數(shù)學(xué)界的耀眼新星。 當(dāng)時(shí)張壽武講解了庫達(dá)拉猜想，回到哥倫比亞之后，他突然想到，能不能嘗試庫達(dá)拉猜想中模性的問題，因此就對張偉說：“你就做做這個(gè)問題吧！”，結(jié)果張偉真的解決了這個(gè)問題，由此聲名大噪。 完成了庫達(dá)拉猜想問題后，張壽武對他說：“這可以當(dāng)你的博士論文了，如果你現(xiàn)在想畢業(yè)，現(xiàn)在就可以畢業(yè)；不想畢業(yè)嘛，咱們再在一起做東西。” 所以后來，張壽武又讓他的學(xué)生來做自守形式下相對跡公式的基本引理。在2008年晨興的一個(gè)暑期討論班上，田野作了第一個(gè)關(guān)于相對跡公式的報(bào)告。 張壽武認(rèn)為：“所以說，張偉的工作是繼承和發(fā)揚(yáng)了哥大在自守形式方面的一個(gè)傳統(tǒng)。我的貢獻(xiàn)是告訴他們往哪個(gè)地方走”。 張偉非常聰明，他以光一樣的速度閱讀了所有的相關(guān)論文，以光一樣的速度將問題弄清楚了，并證明了其中兩個(gè)基本引理。然而，與張壽武一樣，他真正想做的也不是自守形式下的相對跡公式下的基本引理，他的興趣在算術(shù)相對跡公式下的基本引理，他和袁新意將自守形式下相對跡公式的基本引理問題告訴了同學(xué)惲之瑋。與此同時(shí)，他成功地將賈戈?duì)枴铥愃沟囊恍┘夹g(shù)移植到算術(shù)相交理論中，并在志村簇上算術(shù)相交理論的知名猜想中取得決定性進(jìn)展。 張壽武對這批學(xué)生寄予了非常深厚的希望：他們還年輕，人生的路才剛剛開始，還沒有到大數(shù)學(xué)家的份上，但他們有可能成為大數(shù)學(xué)家。我想，他們的實(shí)力和潛力已經(jīng)顯示出來了，他們有資本在美國的長春藤大學(xué)獲得教授職位，但拿菲爾茨獎(jiǎng)就難說了。我對他們的期望超過了對陶哲軒的期望，陶哲軒拿了菲爾茨獎(jiǎng)，現(xiàn)在是加州大學(xué)洛杉磯分校正教授。毫無疑問，陶哲軒非常聰明，他做了很多問題。我個(gè)人認(rèn)為，張偉他們做的問題對未來的影響會更深刻一些。何況他們有一群人在共同努力。張偉、袁新意、惲之瑋、朱歆文等，他們可能不像陶哲軒那么聰明，不是天才，但他們可以對數(shù)學(xué)作出劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。他們合在一起，應(yīng)該是中國數(shù)學(xué)的未來，他們肯定會做得很好?！?/p> 作為中國數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖，幾何田剛數(shù)論張壽武，他們兩個(gè)如今更像是一盞明燈，為更多年輕的數(shù)學(xué)家照亮方向，帶領(lǐng)中國數(shù)學(xué)走向世界。 |
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