大多數(shù)人都熟悉笛卡爾坐標(biāo)系，它將平面上的每個(gè)點(diǎn)  指定給兩個(gè)坐標(biāo)。要查找  需從起點(diǎn)  開(kāi)始，沿橫軸走  個(gè)單位距離和沿縱軸走  個(gè)單位距離(見(jiàn)下左圖)。

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但還有另一種坐標(biāo)系也非常好，它用于飛機(jī)的定位。對(duì)于每個(gè)點(diǎn)  分配一個(gè)數(shù)對(duì) ，其中  是原點(diǎn)  沿直線到  的距離，  是從  軸的正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至原點(diǎn)與  點(diǎn)所連成的徑向線所夾的角度。
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這些新坐標(biāo)稱為極坐標(biāo)，之所以這么命名，是因?yàn)槲覀儗⑤S的交叉點(diǎn)視為所有事物從中輻射出來(lái)的極點(diǎn)（見(jiàn)上圖）。

如何在極坐標(biāo)系中表示出簡(jiǎn)單的圖形?從上面的交互性可以看出，以  為端點(diǎn)的射線圖形由  值唯一確定，例如，  軸的正半軸由以下方程表示

以及夾于 軸的正半軸和 軸的正半軸中間位置的射線由以下方程表示

一般來(lái)說(shuō)，方程

描述以  為端點(diǎn)，與  正軸的夾角為  的射線。

那么如何用極坐標(biāo)系來(lái)表示圓形呢?我們知道以  為圓心、  為半徑的圓，其所有點(diǎn)都落在距離(0,0)有  個(gè)單位的位置上。因此，我們可以用以下方程來(lái)描述極坐標(biāo)系中的圓

此表達(dá)式比笛卡爾坐標(biāo)系中的圓的方程簡(jiǎn)單得多，即

然而描述不穿過(guò)點(diǎn) 的直線和不以  為圓心的圓的極坐標(biāo)方程比其笛卡爾坐標(biāo)方程復(fù)雜。但也有一些圖形，其表達(dá)式使用極坐標(biāo)方程比使用笛卡爾坐標(biāo)方程要簡(jiǎn)單得多。以下是我們最喜歡的三個(gè)例子。

▌阿基米德螺旋(Archimedean spirals)
讓我們來(lái)畫(huà)出這個(gè)極坐標(biāo)  對(duì)應(yīng)方程的圖像

換句話說(shuō)，我們要尋找的是滿足極坐標(biāo)為  的所有點(diǎn)，以觀察它所形成的圖像是什么樣的。

下圖表示當(dāng)  值從  變化到 2 時(shí)對(duì)應(yīng)的圖像。在圖像上每個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)皆為 ，可以看出隨著  值的"增加"，點(diǎn)的位置也逐漸遠(yuǎn)離 。?

于是我們有了一個(gè)螺旋的雛形!

但為什么要停在  呢?我們可以繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)徑向線使圖像超過(guò)一個(gè)整圈()、轉(zhuǎn)過(guò)一圈半()、兩圈()，以此不斷增加一圈又一圈。然后，我們便可看到隨著圖像從  轉(zhuǎn)動(dòng)到 ，點(diǎn)  到原點(diǎn)  的距離會(huì)逐漸增加，從  到 ，讓  從  增加到 ，則可以看到圖像上的點(diǎn)距離原點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)。下圖表示了  從  到  的圖像。

使  一直增加到無(wú)窮大，會(huì)得到一個(gè)以  為中心的無(wú)數(shù)圈的螺旋：
這個(gè)美妙的形狀被稱為阿基米德螺旋，以偉大的希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的名字命名，他在公元前三世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了它。從圖片中可以看出，螺旋的循環(huán)間隔均勻：如果以 為端點(diǎn)畫(huà)一條射線（即徑向線），則可以看到螺旋上的任意兩個(gè)連續(xù)交點(diǎn)之間的距離始終為 。
還有其他類型的阿基米德螺旋，其特征是螺旋與徑向線的連續(xù)交點(diǎn)之間的間隔始終相等。它們可以歸納為以下方程

其中  為正實(shí)數(shù)。使  值不斷變化，您便可以看出， 值決定了螺旋的緊密程度，因此， 值也決定了螺旋與徑向線的連續(xù)交點(diǎn)之間的間隔。下圖為  由  降到  的對(duì)應(yīng)圖像。
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如果您更喜歡物理解釋，那么當(dāng)您追蹤從中心向外出發(fā)且以恒定角速度移動(dòng)的點(diǎn)的路徑時(shí)，您也會(huì)得到阿基米德螺旋。

▌對(duì)數(shù)螺旋(Logarithmic spirals)
現(xiàn)在，讓我們來(lái)看看下述方程的圖像

其中  是自然常數(shù)，
當(dāng)  時(shí)，我們得到

因此，我們的形狀包含具有極坐標(biāo)的點(diǎn)  (其笛卡爾坐標(biāo)恰好也是 )。下圖表示  值從  到  對(duì)應(yīng)的圖像。每個(gè)點(diǎn)  對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 。這里我們?cè)俅慰吹搅寺菪碾r形，但這次有所不同。

同樣地，我們使  從  增加至 、等不斷遞增。然而，這一次螺旋的循環(huán)沒(méi)有均勻地間隔。
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這是對(duì)數(shù)螺旋的一個(gè)例子。它之所以稱為對(duì)數(shù)螺旋，是因?yàn)槠浔磉_(dá)式

也可以表示為

其中l(wèi)n是以自然常數(shù)e為底數(shù)的自然對(duì)數(shù)。

(還有一種更一般的對(duì)數(shù)螺旋形式，其表達(dá)式為  其中  和  都是正實(shí)數(shù)。)

但這里還有另一種玩法：我們可以令角度值  變成負(fù)數(shù)！要查找第二極坐標(biāo)（即  坐標(biāo)）為負(fù)值的點(diǎn)，您需要從  正軸開(kāi)始朝另一個(gè)方向度量角度：即順時(shí)針?lè)较颉＠?，具有極坐標(biāo)  的點(diǎn)位于  軸的負(fù)半軸。

這對(duì)于對(duì)數(shù)螺旋意味著什么?當(dāng)  值從  到  變化時(shí)，圖像上的螺旋線將以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一、二、三乃至無(wú)數(shù)圈。作螺旋線，其點(diǎn)  對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為

但現(xiàn)在隨著  不斷減小趨向 ，螺旋線也不斷向內(nèi)部移動(dòng)，趨近于 ，這是因?yàn)?/span>

所以如果隨著  減小且趨于 ，那么  會(huì)不斷增大且趨于 ，所以 1是正值，且趨近于 。
下圖顯示了當(dāng)  不斷減小至  時(shí)，點(diǎn)  的變化情況。 ?

讓  值從  變化 ，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)雙向無(wú)限的螺旋，它既沒(méi)有起點(diǎn)，也沒(méi)有終點(diǎn)。

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▲ 完全對(duì)數(shù)螺旋

但請(qǐng)注意。正如您從圖像中所見(jiàn)，這張圖片看起來(lái)和上面的圖片的差不多，即使這里的  軸和  軸覆蓋的范圍要小得多。這表明了對(duì)數(shù)螺旋的一個(gè)非常有意思的特點(diǎn)。如果使對(duì)數(shù)螺旋的圖片放大或縮小，那么你看到的圖片將會(huì)看起來(lái)與放縮前完全一樣，該特性稱為自相似性。這可能是對(duì)數(shù)螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蝸牛殼的漩渦和許多植物，甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它們。

17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利被這個(gè)美麗的形狀迷住了，他稱之為"spiral mirabilis"(奇跡般的螺旋)，并要求把它刻在他的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”。不幸的是，雕刻師弄錯(cuò)了，他最終在他的墳?zāi)股系窨痰氖前⒒椎侣菪皇菍?duì)數(shù)螺旋。

▌極地玫瑰
我們要介紹的最后一個(gè)圖形，或者更確切地說(shuō)，最后一組圖形，讓我們先從這個(gè)方程開(kāi)始

( || 符號(hào)代表絕對(duì)值，因此  恒為正值)

要了解這個(gè)方程，讓我們先復(fù)習(xí)一下正弦函數(shù)的圖像，下圖是橫軸對(duì)應(yīng)  值而縱軸對(duì)應(yīng)  值時(shí)的圖像變化情況：
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加上絕對(duì)值意味著，圖像中橫軸以下的部分（該部分  為負(fù)值）應(yīng)該翻折到橫軸以上的位置：

您可以看到，當(dāng)  從  升到  時(shí)， 從  上升到最大值  (在 處)，然后下降到  (在  處)。

現(xiàn)在，讓我們回到極坐標(biāo)。當(dāng)  從  變化到  時(shí)，原點(diǎn)  到點(diǎn) 

 (在  處)變化到  (在  處)，然后回到  (在  處)，這將在極坐標(biāo)系的上半平面畫(huà)出一個(gè)小圓圈。然后，當(dāng)  從  變化到  時(shí)， 值也跟上述變化相同，這將在極坐標(biāo)系的下半平面畫(huà)出一個(gè)小圓圈。
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現(xiàn)在，讓游戲變得復(fù)雜些，并觀察這個(gè)方程

新的因數(shù)  意味著上述圖中的出現(xiàn)的兩個(gè)圓圈的范圍從  到  變成現(xiàn)在只出現(xiàn)在  到 。即兩個(gè)圓圈都出現(xiàn)在上半平面上，因此變得有點(diǎn)擁擠。當(dāng) 從  移動(dòng)到  時(shí)， 的值也從  變到 ，函數(shù)的值是周期性的(  具有與  相同的函數(shù)值)，現(xiàn)在我們一對(duì)圓圈的鏡像也出現(xiàn)在下半平面中：

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我們有一朵有四瓣的花! 那么下面這個(gè)方程會(huì)發(fā)生什么