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撰文 | 丁玖（南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

責(zé)編 | 黃俊如

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這個(gè)月是華人數(shù)學(xué)家李天巖的74周歲華誕，也是他自密歇根州立大學(xué)以 “全校級(jí)杰出教授” (University Distinguished Professor) 身份正式退休后所度的第一個(gè)生日。2005年，為了慶祝他的60周歲生日，他的母校臺(tái)灣新竹的清華大學(xué)舉辦了 “數(shù)值分析與動(dòng)力系統(tǒng)國(guó)際研討會(huì)”。那年也是愛(ài)因斯坦 “奇跡年” 的100年紀(jì)念。研討會(huì)上，李天巖的博士論文導(dǎo)師、馬里蘭大學(xué)的 “杰出全校級(jí)數(shù)學(xué)與物理研究教授” (Distinguished University Research Professor of Mathematics and Physics) 約克 (James Yorke) 的開(kāi)場(chǎng)白引人入勝：“一百年前，愛(ài)因斯坦發(fā)表了劃時(shí)代的四篇論文。而三十年前，李天巖完成了三個(gè)杰出的工作；它們分別是：混沌概念、烏拉姆猜想、同倫算法。” 

李天巖教授。 圖片來(lái)源：University of Silesia

約克如此絕妙的比較，正是對(duì)他的杰出弟子三十歲前三大學(xué)術(shù)成就的巧妙概括。其實(shí)，那天凌晨剛從美國(guó)飛到臺(tái)北的約克，疲倦得一時(shí)想不出弟子第四篇重要論文的名字，好與愛(ài)因斯坦的那四篇一一對(duì)應(yīng)，只好以三篇 “湊數(shù)”。事后他馬上把李天巖拉到一邊詢問(wèn)，方知那篇大作是關(guān)于抽象空間的柯西問(wèn)題。李天巖1975年給出的巴拿赫空間微分方程初值問(wèn)題解之存在的條件迄今無(wú)人能夠改進(jìn)。

李天巖祖籍湖南，1945年6月出生于福建省沙縣。父親李鼎勛早年留學(xué)日本，在東京帝國(guó)大學(xué)醫(yī)學(xué)院獲得醫(yī)學(xué)博士，1934年回國(guó)任教湖南湘雅醫(yī)學(xué)院，1939年起任福建省省立醫(yī)院院長(zhǎng)。李天巖三歲時(shí)隨父母及全家定居臺(tái)灣，在那里接受教育直至大學(xué)畢業(yè)。1969年，他赴美國(guó)馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系攻讀，1974年獲博士學(xué)位，其論文指導(dǎo)老師就是約克。

李天巖1976年起在密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系任教，1983年晉升為正教授，直至去年退休。1998年起，他被賦予 “全校級(jí)杰出教授” 頭銜。1995年他榮獲美國(guó)著名的古根海姆 (Guggenheim) 獎(jiǎng)，2012年被臺(tái)灣新竹清華大學(xué)頒發(fā)杰出校友獎(jiǎng)。

李天巖在應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)幾個(gè)領(lǐng)域中作出了開(kāi)創(chuàng)性的工作，成就非凡。他與約克在數(shù)學(xué)中第一次引人了“混沌”的概念；他對(duì) “烏拉姆 (Stanislaw Ulam) 猜想” 的證明是動(dòng)力系統(tǒng)不變測(cè)度計(jì)算理論與算法研究之奠基性工作；他與凱洛格 (R. B. Kellogg) 及約克關(guān)于計(jì)算布勞威爾(L. E. Brouwer) 不動(dòng)點(diǎn)的思想和數(shù)值方法，開(kāi)辟了現(xiàn)代同倫延拓算法研究的新天地；他和他的合作者及學(xué)生們關(guān)于代數(shù)特征值問(wèn)題以及一般多變量多項(xiàng)式系統(tǒng)的同倫方法之廣泛和深入研究，幾十年來(lái)為他贏得此領(lǐng)域世界領(lǐng)袖人物之一的稱號(hào)。

美國(guó)普林斯頓高等研究院的戴森 (Freeman Dyson) 教授曾在他的著名文章《鳥(niǎo)與蛙》(Birds and Frogs) 中寫道：“在混沌領(lǐng)域里，我僅知道一條有嚴(yán)格證明的定理，是由李天巖和約克在發(fā)表于1975年、名為《周期三則意味著混沌》的一篇短文中證明的。李-約克論文是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中不朽的珍品之一。” 這是一位杰出的數(shù)學(xué)物理學(xué)家對(duì)一篇僅僅8頁(yè)長(zhǎng)數(shù)學(xué)論文的極高評(píng)價(jià)。

在自然科學(xué)領(lǐng)域，混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)與相對(duì)論、量子力學(xué)一起被許多科學(xué)家譽(yù)為二十世紀(jì)物理學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)。約克對(duì)“混沌”概念有過(guò)形象的說(shuō)明：“生命中充滿著小改變導(dǎo)致大變化的情形。例如說(shuō)車禍，假如人們?cè)鐐€(gè)或晚個(gè)十秒鐘出門，或許就可避免一場(chǎng)車禍。所以小小的改變可以導(dǎo)致很大的變化。” 這也是中國(guó)成語(yǔ) “差之毫厘謬以千里” 之奧秘所在。

現(xiàn)今世界上稍微對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)有一點(diǎn)了解的人，幾乎無(wú)人不知李天巖和約克的上述論文，它首創(chuàng)了 “混沌” 的數(shù)學(xué)定義，開(kāi)拓了整個(gè)數(shù)學(xué)界、科學(xué)界對(duì)混沌動(dòng)力系統(tǒng)理論和應(yīng)用研究的新紀(jì)元。

1975年12月《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》封面，第三篇為李天巖和約克合作的《周期三則意味著混沌》。

1973年3月的一天下午，不知何故心情有點(diǎn)不爽的李天巖來(lái)到約克教授的辦公室時(shí)，約克不理會(huì)他的“不爽”，馬上對(duì)他說(shuō)，“I have a good idea for you!” 這個(gè)想法已在約克頭腦中直觀地凸現(xiàn)，但他未能予以證明。那時(shí)李天巖正在做微分方程方面的研究，以為他所謂的 “good idea” 是關(guān)于那方面的 “高深想法”，就半開(kāi)玩笑地打趣道：“Is your idea good enough for the Monthly?” “Monthly” 指的就是《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》( American Mathematical Monthly )這個(gè)一般學(xué)生都能看懂的淺近雜志。然而，當(dāng)李天巖得知這個(gè) “idea” 之后，馬上感慨地說(shuō)，“It would be a perfect work for the Monthly!”——因?yàn)樗鶢可娴恼Z(yǔ)言非?；尽?/span>

兩周后，運(yùn)用自己得心應(yīng)手的微積分技巧——巧妙不斷地運(yùn)用微分學(xué)中關(guān)于連續(xù)函數(shù)的“介值定理”，李天巖完全證明了這個(gè)后來(lái)出了名的李-約克定理：

帽子函數(shù)的周期三軌道

當(dāng)文章寫好后，盡管李天巖心里想到的是投給令人尊敬的高等研究雜志，比如說(shuō)今日中國(guó)數(shù)學(xué)界最推崇的 “四大期刊”——美國(guó)的《數(shù)學(xué)年刊》、《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)雜志》、瑞典的《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》及德國(guó)的《數(shù)學(xué)發(fā)明》，卻按照約克的堅(jiān)持，把文章寄給了全世界讀者人數(shù)最多的數(shù)學(xué)期刊——《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》。但不久文章被退回，理由是該文研究性過(guò)強(qiáng)，不太適合期刊所重點(diǎn)面向的大學(xué)生讀者群。但編輯同意，若作者能改寫文章到一般學(xué)生都能看懂的地步，可以重新投稿。但是當(dāng)時(shí)李天巖忙于博士論文研究，沒(méi)功夫改它，這篇文章就這樣被束之高閣將近一年。

1974年5月，馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系請(qǐng)來(lái)了普林斯頓大學(xué)生物學(xué)教授羅伯特·梅 (Robert M. May)演講一周。在最后一天的演講中，梅教授講了邏輯斯蒂模型rx(1-x)的迭代：當(dāng)參數(shù)r從小到大變化時(shí)其迭代點(diǎn)序列之性態(tài)將變得愈來(lái)愈復(fù)雜。他十分困惑于對(duì)這一現(xiàn)象的解釋，想著也許只是計(jì)算上的誤差所造成的吧。約克聽(tīng)完梅的演講后，在送他上飛機(jī)時(shí)，把李天巖桌上躺了將近一年的那篇關(guān)于李-約克定理的文章給他看。梅看了文章的結(jié)果之后，極為吃驚，并認(rèn)定此定理大大解釋了他的疑問(wèn)。約克從機(jī)場(chǎng)回來(lái)后立即找到李天巖說(shuō)，“我們應(yīng)該馬上改寫這篇文章。” 文章在兩個(gè)星期內(nèi)改寫完畢，三個(gè)月后被《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》接受，并刊登在1975年12月份的那一期上。

1985年夏，李天巖第一次來(lái)祖國(guó)大陸學(xué)術(shù)訪問(wèn)，南至中山大學(xué)、北至吉林大學(xué)，東到杭州、西臨西安，中達(dá)北京中科院理論物理研究所，馬不停蹄地講解 “混沌” 與 “同倫”。我那時(shí)剛獲碩士學(xué)位不久，留校教書，由系領(lǐng)導(dǎo)特批，飛往他講學(xué)第一站廣州，首次聆聽(tīng)他極富魅力的講座。在中國(guó)的演講中，李-約克論文的題目 “Period Three Implies Chaos” 被他形象地翻譯成 “周期三則亂七八糟”。這篇令他一舉成名、篇幅不長(zhǎng)的論文，第一次在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地引入了 “混沌” 的概念。盡管早在1964年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家沙可夫斯基（A. N. Sharkovsky）證明了較李-約克定理第一部分更為一般的結(jié)果，但只有李-約克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌現(xiàn)象的本質(zhì)特征：混沌動(dòng)力系統(tǒng)關(guān)于初始條件的敏感性以及由此產(chǎn)生的解的最終性態(tài)的不可預(yù)測(cè)性。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該文可能是數(shù)學(xué)界及物理學(xué)界被引述次數(shù)最多的當(dāng)代重要論文之一，已被引用了超過(guò)4500次?！吨芷谌齽t意味著混沌》這篇備受戴森教授青睞的數(shù)學(xué)短文，是從“混沌之祖”龐加萊開(kāi)始的“百年混沌思想進(jìn)化史”中的幾大里程碑工作之一。對(duì)這一歷史想進(jìn)一步了解的讀者，可讀美國(guó)著名科普作家 James Gleick 的英文名著Chaos: A New Science或中文拙作《智者的困惑：混沌分形漫談》。

概率的問(wèn)題到處可見(jiàn)。波蘭科學(xué)院院士洛速達(dá)（Andrzej Lasota）這樣講概率：“當(dāng)你準(zhǔn)備離開(kāi)一間屋子時(shí)，出門的時(shí)間有可能前后相差一分鐘。隨著時(shí)間的推移，又有不同的概率及可能發(fā)生的事要去考慮：比如，有百分之十的可能，你會(huì)發(fā)生車禍，而被送往醫(yī)院；或許，有百分之十的機(jī)會(huì)，你會(huì)遇見(jiàn)從未謀面的漂亮女子，而深深為之傾倒，一切皆是偶然。所以事情會(huì)演變得愈來(lái)愈復(fù)雜，所有的事都牽涉到概率?！惫视腥嗽?jīng)略微夸張地宣稱：數(shù)學(xué)是概率的一部分。

遍歷理論是研究確定性動(dòng)力系統(tǒng)諸多概率統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的一門數(shù)學(xué)分支，是集測(cè)度論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、近世代數(shù)等于一身的綜合性學(xué)科，在物理和工程中應(yīng)用廣泛，如統(tǒng)計(jì)物理、電子線路、藥物設(shè)計(jì)和無(wú)線通訊。遍歷理論的一個(gè)重要論題是關(guān)于非線性映射的絕對(duì)連續(xù)不變測(cè)度的存在及計(jì)算問(wèn)題。這一問(wèn)題又歸結(jié)為相應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子的不變密度函數(shù)的存在性與計(jì)算問(wèn)題。對(duì)于混沌動(dòng)力系統(tǒng)，這樣的不變測(cè)度給出了迭代點(diǎn)的混沌軌道在其相空間中的統(tǒng)計(jì)分布。

1960年，被譽(yù)為美國(guó) “氫彈之父” 的杰出波蘭裔數(shù)學(xué)家烏拉姆在其名著《數(shù)學(xué)問(wèn)題集》(A Collection of Mathematical Problems) 中對(duì)于計(jì)算將單位區(qū)間[0, 1]映到自身的非線性映射S所對(duì)應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子的不變密度函數(shù)提出了一種數(shù)值方法。他將區(qū)間[0, 1]劃分為n個(gè)子區(qū)間，然后他定義了一個(gè)n行n列的矩陣。這個(gè)矩陣的每個(gè)元素都是位于0與1之間的數(shù)。事實(shí)上，該矩陣位于第i行第j列相交處的那個(gè)數(shù)就是第i個(gè)子區(qū)間中被S映到第j個(gè)子區(qū)間中的那些點(diǎn)的比例。計(jì)算這個(gè)非負(fù)矩陣的關(guān)于特征值1的一個(gè)非負(fù)左特征向量并將其規(guī)范化，就可得到對(duì)應(yīng)于 [0, 1] 區(qū)間如上劃分的一個(gè)逐片常數(shù)密度函數(shù)。此密度函數(shù)可看成 Frobenius-Perron 算子的近似不變密度函數(shù)。對(duì)于這一基于概率想法的數(shù)值方法的收斂性，烏拉姆提出了計(jì)算遍歷理論中著名的猜想：當(dāng)子區(qū)間總數(shù)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，這些近似不變密度函數(shù)將收斂于 Frobenius-Perron 算子的一個(gè)不變密度函數(shù)。

1973年，洛速達(dá)與約克在現(xiàn)已成為研究 Frobenius-Perron 算子不變密度函數(shù)存在性問(wèn)題的一篇經(jīng)典論文中，解決了烏拉姆在其《數(shù)學(xué)問(wèn)題集》中提出的一個(gè)問(wèn)題：若S為一個(gè)足夠 “簡(jiǎn)單” 的映射 (例如逐片線性映射或多項(xiàng)式映射)，其導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值不小于1，將一區(qū)間映到自身，則對(duì)應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子是否存在不變密度函數(shù)？事實(shí)上，他們證明了如下的“存在性定理”：若區(qū)間映射S為一逐片二次連續(xù)可微映射，且其導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值在該區(qū)間上都不小于一大于1的常數(shù)，則對(duì)應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子存在不變密度函數(shù)。這個(gè)定理證明的關(guān)鍵是用到約克發(fā)現(xiàn)的關(guān)于有界變差函數(shù)與其在某一子區(qū)間上的限制之變差之間關(guān)系的一個(gè)不等式。

當(dāng)李天巖讀到上述的洛速達(dá)-約克定理的證明時(shí)，就想構(gòu)造計(jì)算 Frobenius-Perron 算子不變密度函數(shù)的數(shù)值方法，卻全然不知烏拉姆十余年前提出的上述方法。首先他定義了對(duì)應(yīng)于區(qū)間 [0, 1] 劃分為n個(gè)子區(qū)間的有窮維離散算子。它將每一個(gè)可積函數(shù)映成在每一子區(qū)間上取值為該函數(shù)在這一子區(qū)間上的平均值的一個(gè)逐片常數(shù)函數(shù)。若將這一算子與 Frobenius-Perron算子復(fù)合起來(lái)，則該復(fù)合算子限制在逐片常數(shù)函數(shù)全體所組成的子空間上的一個(gè)矩陣表示恰為烏拉姆方法中定義的那個(gè)非負(fù)矩陣。運(yùn)用下一節(jié)所述的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，李天巖直接證明對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，復(fù)合算子有一不變密度函數(shù)。借助于洛速達(dá)-約克不等式與赫利引理，他證明了這個(gè)逐片常數(shù)逼近法對(duì)于洛速達(dá)-約克區(qū)間映射族的收斂性。

恰在李天巖將這一開(kāi)創(chuàng)性工作整理成文之際，他才知道他所構(gòu)造的方法就是 “烏拉姆方法”，他所證明的一切就是對(duì) “烏拉姆猜想” 的一個(gè)解答！自然，文章的題目也相應(yīng)修改，“烏拉姆猜想” 的說(shuō)法第一次出現(xiàn)在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)當(dāng)中。多年后李天巖對(duì)我坦言：“如果我早知這是與馮·諾依曼 (John von Neumann) 齊名的大人物烏拉姆提出的問(wèn)題，大概嚇得不敢去碰。”可是，正如本文后面所轉(zhuǎn)述的，“一個(gè)問(wèn)題，大人物解決不了，并不表示小人物也解決不了。”

李天巖這篇發(fā)表于1976年美國(guó)《逼近論雜志》( Journal of Approximation Theory )，題為 “Frobenius-Perron算子的有限逼近——烏拉姆猜想的一個(gè)解答” 的論文讓1960年誕生的烏拉姆方法“聲名鵲起”。四十多年來(lái)，不變測(cè)度的計(jì)算已成為遍歷理論和非線性分析中的一個(gè)活躍分支。在幾乎所有關(guān)于應(yīng)用烏拉姆方法及其推廣計(jì)算不變測(cè)度的文獻(xiàn)中，這篇論文成了必不可少的被引用經(jīng)典之一。

學(xué)過(guò)代數(shù)拓?fù)浠蚍蔷€性泛函分析的人都知道有名的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理：n維閉球到此自身的光滑映射必有不動(dòng)點(diǎn)。此定理的一個(gè)漂亮證明是用反證法。若無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，則可定義一新的光滑映射，它把閉球上任一點(diǎn)映到由該點(diǎn)在前一映射下的像到該點(diǎn)的線段延長(zhǎng)到與球面之交點(diǎn)。易知球面上每一點(diǎn)在這新映射下保持不變。這樣我們得到一個(gè)由閉球到其邊界上且在邊界上為恒同映射的光滑映射。而微分拓?fù)鋵W(xué)告訴我們，這是不可能的，因?yàn)榍蛎嫔蠋缀跆幪幍娜我稽c(diǎn)在該映射下的逆像所構(gòu)成的光滑曲線無(wú)處可跑。

1973年，李天巖在旁聽(tīng)美國(guó)馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)教授凱洛格的研究生課程 “非線性方程組數(shù)值解” 時(shí)，聽(tīng)到布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的如上證明，它屬于美國(guó)微分拓?fù)鋵W(xué)家赫希 (Morris W. Hirsch)發(fā)表于1963年的一篇文章。這時(shí)，一個(gè)奇妙的想法在他腦海中涌現(xiàn)：既然在赫希的證明中若假設(shè)閉球映射無(wú)不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則對(duì)如上定義的 “射線球面交點(diǎn)映射”，球面上隨機(jī)所取的一點(diǎn)在該映射下的逆像這條光滑曲線無(wú)處可跑，則它必然跑到原先映射的不動(dòng)點(diǎn)集合中去。更精確地說(shuō)，若令F為n維閉球到此自身的光滑映射的所有不動(dòng)點(diǎn)組成的非空集合，則利用如上反證法的思想，我們就有將F在閉球中的補(bǔ)集映到球面如上定義的光滑映射。由微分拓?fù)涞纳车?/span>(Arthur Sard) 引理可知，幾乎所有的球面上的點(diǎn)都是該映射的 “正則值”，因而這些點(diǎn)在映射下的逆像為起始于該點(diǎn)的一條光滑曲線。這條曲線的另一端不能再回到球面上，也不能在映射的定義域中停止，故必定趨向于原先映射的不動(dòng)點(diǎn)集合F。如果能數(shù)值跟隨這條曲線，就能計(jì)算出閉球映射的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。在凱洛格和約克兩位教授的鼓勵(lì)下，李天巖開(kāi)始了這一卓越思想的數(shù)值實(shí)現(xiàn)。

在接下來(lái)的兩個(gè)月時(shí)間內(nèi)，他幾乎每天都與學(xué)校計(jì)算中心那臺(tái)只能用卡片輸入的計(jì)算機(jī)打交道，但總是無(wú)功而返，計(jì)算機(jī)吐出的厚厚一疊紙預(yù)示著程序的失敗。但李天巖契而不舍地修改程序。改錯(cuò)、輸入、再改錯(cuò)、再輸入，從一個(gè)實(shí)際計(jì)算的門外漢逐步登堂入室。直到有一天，他驚喜地發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)僅僅輸出一張打印紙，上面正是成功計(jì)算出的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)！他成功了！一個(gè)全新的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)算法誕生了。

有趣的是，凱洛格-李-約克關(guān)于布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)的計(jì)算，并非是歷史上的首次嘗試。盡管他們當(dāng)時(shí)不知道，早在1967年，美國(guó)耶魯大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)教授斯卡夫 (H. Scarf) 在研究數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)，將求解一個(gè)經(jīng)濟(jì)模型的均衡點(diǎn)問(wèn)題歸結(jié)為求解定義在n維標(biāo)準(zhǔn)單純形上的一個(gè)連續(xù)映射f的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。根據(jù)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，這樣的不動(dòng)點(diǎn)存在。斯卡夫采用了所謂的單純?nèi)瞧史址椒?，運(yùn)用組合數(shù)學(xué)中的斯泊納 (E. Sperner) 引理，跟隨一條折線來(lái)近似f的不動(dòng)點(diǎn)，從而設(shè)計(jì)了一種單純剖分不動(dòng)點(diǎn)算法。在七十年代，此算法被推廣成求解非線性方程組的單純不動(dòng)點(diǎn)算法，成了熱極一時(shí)的研究領(lǐng)域。

1974年，將在美國(guó)克萊姆森大學(xué)舉行的第一屆國(guó)際不動(dòng)點(diǎn)算法大會(huì)組委會(huì)獲悉凱洛格-李-約克的新方法時(shí)，提供了兩張飛機(jī)票讓他們赴會(huì)報(bào)告這一結(jié)果。正如斯卡夫在其會(huì)議論文集《不動(dòng)點(diǎn)算法及其應(yīng)用》序言中所述：“對(duì)我們眾多與會(huì)者而言，克萊姆森會(huì)議之令人驚奇之處在于凱洛格-李-約克關(guān)于計(jì)算連續(xù)映射不動(dòng)點(diǎn)的文章。他們提出了第一個(gè)基于微分拓?fù)渌枷搿皇俏覀兞?xí)以為常的組合技巧——的計(jì)算方法。”

雖然單純不動(dòng)點(diǎn)算法的研究目前已經(jīng)冷卻，以凱洛格-李-約克方法為 “初始點(diǎn)” 的現(xiàn)代同倫延拓法研究依然方興未艾，在不同的領(lǐng)域生根發(fā)芽。李天巖與凱洛格及約克一道是目前世界上被公認(rèn)為非線性方程現(xiàn)代同倫法數(shù)值計(jì)算的創(chuàng)始人，并且對(duì)此重要的領(lǐng)域作出了巨大的貢獻(xiàn)。

“同倫” 的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中到處有用。自七十年代提出計(jì)算布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)基于純粹數(shù)學(xué)分支微分拓?fù)淅碚摰默F(xiàn)代同倫方法后至今，李天巖一直在求解一般多變量多項(xiàng)式系統(tǒng)同倫算法這一疆場(chǎng)遼闊的領(lǐng)域辛勤地耕耘著。

求解多變量多項(xiàng)式方程組是經(jīng)常出現(xiàn)在應(yīng)用科學(xué)中的問(wèn)題，譬如說(shuō)電路分配問(wèn)題、機(jī)械手問(wèn)題等等。同時(shí)這種問(wèn)題也出現(xiàn)在混沌理論的研究中，如 “混沌之父” 洛倫茨 (Edward Lorenz)研究的具有混沌現(xiàn)象的四維常微分方程組的定常狀態(tài)事實(shí)上是其右端多項(xiàng)式方程組的解。它的重要性從李天巖在一次學(xué)術(shù)演講中所說(shuō)的一句話可見(jiàn)：“多項(xiàng)式方程組求解不光現(xiàn)在要用，兩百年以后還是要用！”幾十年來(lái)，李天巖和他的弟子及合作者們?cè)谶@一領(lǐng)域已取得一系列令人矚目的成果，他2003年應(yīng)邀在《數(shù)值分析手冊(cè)》第十一卷上發(fā)表了長(zhǎng)篇綜述性論文《求解多項(xiàng)式方程組的同倫延拓法》。在多項(xiàng)式方程組數(shù)值解領(lǐng)域，李天巖無(wú)愧于其領(lǐng)軍人之一之稱號(hào)。

我們熟悉的大部分學(xué)術(shù)界華人明星，多數(shù)人事業(yè)與身體 “相得益彰”，如精神煥發(fā)的楊振寧和健壯如牛的丘成桐。但是，李天巖卻是大大的例外，這就是他“傳奇”的一部分——他四十五年來(lái)在學(xué)術(shù)界的卓越貢獻(xiàn)，是在與身體上幾乎無(wú)時(shí)無(wú)刻不受到的病痛作頑強(qiáng)搏斗中取得的。

李天巖在臺(tái)灣清華大學(xué)讀本科時(shí)，綽號(hào)是“棍子”，除了學(xué)業(yè)成績(jī)名列前茅外，在體育運(yùn)動(dòng)上也是一流的，曾任?；@球隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)和校足球隊(duì)隊(duì)員。但當(dāng)他1969年赴美國(guó)馬里蘭大學(xué)攻讀博士學(xué)位的第二年開(kāi)始，就感到腎臟逐漸不好，但他依然異常用功，至1974年完成了八篇學(xué)術(shù)論文并取得博士學(xué)位。畢業(yè)后僅僅六個(gè)星期，發(fā)現(xiàn)血壓竟高達(dá)220/160毫柱。他于1976年5月4日起開(kāi)始了長(zhǎng)達(dá)五年半辛苦的洗腎過(guò)程，每周三次，每次五個(gè)小時(shí)，還不包括醫(yī)院往返時(shí)間。當(dāng)時(shí)他的研究工作大半是在病榻上完成的。

1980年1月29日，李天巖首次接受換腎手術(shù)，然而因排斥效應(yīng)，不久以失敗告終。1981年7月15日他成功地接受了妹妹的一個(gè)腎臟移植，在這之后的三年內(nèi)，他的身體逐漸適應(yīng)，康復(fù)不少。然而好景不長(zhǎng)，1984年2月21日，他又遭遇中風(fēng)，右半身全部麻痹，并于4月26日做了腦血管動(dòng)脈瘤的大手術(shù)。在之后的七、八年，他的身體還算平靜，雖無(wú)大手術(shù)，但局部麻醉的小手術(shù)卻仍然不斷。然而，李天巖趁此機(jī)會(huì)抓緊時(shí)機(jī)，在此數(shù)年內(nèi)發(fā)展了同倫延拓求解矩陣特征值問(wèn)題和多項(xiàng)式方程組的重要理論及方法，并培養(yǎng)了一批從中國(guó)大陸直接招來(lái)的博士研究生，我是其中之一。除此之外，在此期間他除了幾乎每年回臺(tái)灣給予重要的系列演講，更于1985年6月至7月首度訪問(wèn)了祖國(guó)大陸十余所大學(xué)與中科院研究所，給出了若干關(guān)于混沌動(dòng)力系統(tǒng)、同倫算法等專題演講，并開(kāi)始挑選接受大陸研究生，對(duì)于將數(shù)學(xué)根植于國(guó)內(nèi)及提攜后進(jìn)不遺余力。

那些年，李天巖所遭受的病魔打擊和他取得的學(xué)術(shù)成就都是令人吃驚的新聞，幾乎是難以置信的“相反相成”。他曾經(jīng)告訴我，這段時(shí)間他的大部分論文 “是在病榻上完成的”。

1993年1月，李天巖在密歇根州立大學(xué)教書時(shí)，身體突然感到不適而昏倒送醫(yī)，經(jīng)醫(yī)生診斷為腦動(dòng)脈血管阻塞。其后，他以極其堅(jiān)韌的毅力與無(wú)比的信念戰(zhàn)勝了疾病。然而，從1992年起他就開(kāi)始感到腿痛，看遍了無(wú)數(shù)的中醫(yī)西醫(yī)，都沒(méi)有辦法找出病因。后來(lái)才知道是背脊椎骨關(guān)節(jié)炎所引起，最后終于在1995年5月30日動(dòng)了一次大手術(shù)將發(fā)炎的部位割掉。在之后的五、六年間，他的身體狀況基本平靜。然而2000年5月，他又做了一次背脊椎骨的手術(shù)。3年后，他再次病倒，醫(yī)生運(yùn)用剛剛問(wèn)世不久的最新醫(yī)療技術(shù)為他的心臟動(dòng)脈血管安裝了八個(gè)支架。后來(lái)有許多年他一直勤于運(yùn)動(dòng)保養(yǎng)身體，每天要游泳一千公尺或步行二英里，身體狀況比以前明顯好轉(zhuǎn)許多。但由于他全身是病，遍體是傷，一不小心，傷病便會(huì)“卷土重來(lái)”。例子之一是2010年6月他在杭州開(kāi)會(huì)期間，晚間在西湖邊意外跌倒，血流滿柱，在急診室縫了八針。幾天后，他雖然繃帶在身，卻仍然依約去了東北大學(xué)講學(xué)。

在過(guò)去的幾十年中，李天巖長(zhǎng)期遭受疾病的巨大痛苦，全身麻醉的大手術(shù)已有十幾次，局部麻醉手術(shù)則不計(jì)其數(shù)，全身都是開(kāi)刀的傷痕。然而他是一個(gè)在逆境中求突破，“與病斗其樂(lè)無(wú)窮” 的人，憑藉著一股堅(jiān)強(qiáng)的毅力及終極的信念去克服一切困難，在最艱難的環(huán)境下作出了第一流的研究工作。他常對(duì)他的研究生們說(shuō)，若他們?cè)趯W(xué)習(xí)、研究中遇到困難，只要想到他是怎樣克服病痛的巨大困難，一切困難就容易迎刃而解了。正是因?yàn)檫@種超人的精神，盡管一直病痛纏身，李天巖仍然成為密歇根州立大學(xué)僅有的三位有國(guó)家科學(xué)基金會(huì)幾十年無(wú)間斷資助的學(xué)者之一。

李天巖幾十年如一日的治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度也充滿魅力，對(duì)年輕人不無(wú)鞭策力量。他常認(rèn)為，他的成功之道除了有像約克教授這樣的好導(dǎo)師引導(dǎo)，其不二法門無(wú)它，就是堅(jiān)持。他常常對(duì)學(xué)生說(shuō)，自己并不聰明，而是否聰明過(guò)人也其實(shí)并不重要，能將問(wèn)題弄個(gè)水落石出才重要。他常強(qiáng)調(diào)，自己對(duì)問(wèn)題的看法只不過(guò)是比別人多堅(jiān)持了一分鐘，而那寶貴的一分鐘可能就是造就成功之路的一分鐘。一個(gè)問(wèn)題，大人物解決不了，并不表示小人物也解決不了，大人物思考問(wèn)題的路徑也不等于解決問(wèn)題的路徑?！?憑著一股牛勁，凡事堅(jiān)持到底，絕不輕言放棄”，是他叮嚀學(xué)生們的名言。

他也常說(shuō)，讀書做學(xué)問(wèn)一定要作徹底的理解，尤其是做數(shù)學(xué)，一知半解地記憶表面上的邏輯過(guò)程是沒(méi)有用的。他曾舉例說(shuō)，一個(gè)矩陣的行秩為什么會(huì)等于列秩呢？其實(shí)學(xué)過(guò)線性代數(shù)的大二學(xué)生都會(huì)證明。然而它實(shí)際上所代表的幾何意義是什么？物理上的涵義又是什么？從不同的角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題時(shí)，你將會(huì)得到意想不到的結(jié)果。

李天巖對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)家和計(jì)算數(shù)學(xué)家的培養(yǎng)有獨(dú)特的見(jiàn)解。一方面他極端看重在純粹數(shù)學(xué)上下苦功，在理論分析上打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。記得當(dāng)年我到達(dá)密歇根州立大學(xué)第一天就聽(tīng)本系的中國(guó)同學(xué)說(shuō)，要成為李教授博士研究生的一個(gè)必要條件（而非充分條件）是修過(guò)或考過(guò)盧丁(W. Rudin) 的《實(shí)復(fù)分析》。另一方面，他又特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生們養(yǎng)成上機(jī)計(jì)算的好習(xí)慣，堅(jiān)決反對(duì) “紙上談兵” 的計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法。縱觀科學(xué)發(fā)展史，許多激動(dòng)人心的偉大發(fā)現(xiàn)起源于計(jì)算上的 “好奇心”。十九世紀(jì)初，“數(shù)學(xué)王子” 高斯曾花費(fèi)大量的時(shí)間從事數(shù)值方面的計(jì)算，如數(shù)論中的素?cái)?shù)之分布，“最小二乘法” 的基本思路也追溯到他。上個(gè)世紀(jì)烏拉姆的 “蒙特卡洛法”、洛倫茨的 “蝴蝶效應(yīng)”、梅的 “人口動(dòng)力學(xué)”、李天巖的 “同倫延拓”，也無(wú)一不是 “計(jì)算好奇心” 催生的產(chǎn)兒。難怪約克在2005年參加完他弟子六十歲生日慶?；顒?dòng)后被臺(tái)灣數(shù)學(xué)界采訪時(shí)語(yǔ)重心長(zhǎng)地說(shuō)：“研究就是去發(fā)現(xiàn)叫人贊嘆的想法，而動(dòng)手計(jì)算則可能導(dǎo)致偉大發(fā)現(xiàn)?！?/span>

李天巖對(duì)中國(guó)教育中普遍存在的填鴨式教學(xué)深有體會(huì)，并深惡痛絕。在發(fā)表于臺(tái)灣《數(shù)學(xué)傳播》雜志上的一篇題為 “回首來(lái)時(shí)路” 的文章中，他以頗具幽默的口吻回憶起當(dāng)年大學(xué)同窗們?nèi)绾蜗裆倌昃S特?zé)烙趹賽?ài)那樣對(duì)《數(shù)學(xué)分析》中 “ε-δ” 語(yǔ)言的煩惱——甚至有人差點(diǎn)留下“不想活下去”的遺書，藉以抨擊 “教科書越難越好” 的教學(xué)理念。

從左至右：約克，李天巖，本文作者丁玖。攝于2015李天巖教授70周歲時(shí)。

我曾聽(tīng)他清華學(xué)弟提到他當(dāng)年成績(jī) “全班第三”，但是他“回想起來(lái)，當(dāng)時(shí)實(shí)在是‘一竅不通’?！钡矫绹?guó)求學(xué)以后他才知道，數(shù)學(xué)上的邏輯推理和對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知有相當(dāng)大的差距。他認(rèn)為抽象數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)多半起始于為解決實(shí)際問(wèn)題所建立的數(shù)學(xué)模型，然后將解決問(wèn)題的方式抽象成一般理論，以解決更普遍的同類問(wèn)題。學(xué)習(xí)“高檔次”的數(shù)學(xué)理論，絕對(duì)必須從低檔次數(shù)學(xué)的理解出發(fā)，對(duì)原始概念的歷史發(fā)展和來(lái)龍去脈要有基本的認(rèn)識(shí)，否則就會(huì)如墜迷霧，不知所云，只好背定義、背定理、背邏輯，應(yīng)付考試。

李天巖堅(jiān)決反對(duì)學(xué)生死記硬背，不求真懂。參加過(guò)他為自己學(xué)生設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)討論班的歷屆研究生都不會(huì)忘記他對(duì)每一個(gè)報(bào)告者的基本要求：不要光講“ε-δ”語(yǔ)言，那僅僅是邏輯——要講思想，要講 “basic idea”。在討論班，他要求學(xué)生在演示證明一個(gè)一般定理時(shí)，要先將具體的或特殊的情形解釋清楚，堅(jiān)決反對(duì)一開(kāi)始就在抽象的概念里捉迷藏。幾乎所有學(xué)生都因講得不得要領(lǐng)而被他“掛黑板”，但“平時(shí)多流汗，戰(zhàn)時(shí)少流血”的學(xué)生們后來(lái)大都成了會(huì)講課的大學(xué)教授。

李天巖堅(jiān)信，若是真正了解一門學(xué)科，就會(huì)講得連高中生也能聽(tīng)得懂。他用這樣的準(zhǔn)則來(lái)訓(xùn)練他的學(xué)生，也是這樣身體力行。他在世界各地應(yīng)邀所做的數(shù)學(xué)演講總是從最初等的概念入手，用最直觀的觀察引導(dǎo)，聽(tīng)眾無(wú)不被他深入淺出的生動(dòng)報(bào)告所折服。1986年，當(dāng)剛到美國(guó)攻讀博士學(xué)位的我在他辦公室里準(zhǔn)備給他報(bào)告一篇著名教授的論文時(shí)，他的第一句話便是“你要把我當(dāng)成笨蛋，我什么也不知道?！碑?dāng)時(shí)我十分納悶，自己慕名而來(lái)求學(xué)的堂堂大教授，居然“什么也不知道”。正因?yàn)槊鎸?duì)的是一個(gè)“什么也不知道”的數(shù)學(xué)家，他的弟子們學(xué)會(huì)了什么是研究數(shù)學(xué)，什么是講數(shù)學(xué)。

正因?yàn)槔钐鞄r獨(dú)特的研究方法和講課藝術(shù)，他是密歇根州立大學(xué)的杰出教授獎(jiǎng)和杰出教學(xué)獎(jiǎng)的獲得者，影響了他一批又一批的學(xué)生在研究與教學(xué)上齊頭并進(jìn)。他的治學(xué)之道對(duì)一個(gè)科學(xué)工作者的成長(zhǎng)具有典型的啟發(fā)性。

2019年6月15日星期六

完稿于美國(guó)哈蒂斯堡

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