數(shù)學(xué)家烏拉姆。https://commons.

撰文 | 丁    玖（南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

責(zé)編 | 黃俊如

 ●　●　●

今天是出生于波蘭的美國(guó)數(shù)學(xué)家斯塔尼斯拉夫?yàn)趵?/span> (Stanislaw Ulam, 1909-1984) 逝世35周年紀(jì)念日。一個(gè)月前在他冥壽110周歲時(shí)，我寫了一篇文章“賢者的奇跡：紀(jì)念烏拉姆誕辰110周年”，簡(jiǎn)略回顧了他非凡的一生，列舉了他幾大科學(xué)成就，并側(cè)重介紹了他在 “改變歷史進(jìn)程” 的氫彈研制中 “一個(gè)數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷”。

了解烏拉姆那類人的科學(xué)業(yè)績(jī)，對(duì)于只需或只想讀讀科學(xué)家生平故事的那些人，或許也就夠了，但是對(duì)更想吸取他們的科學(xué)思想、對(duì)其治學(xué)之道或研究方式更喜歡追根求源的另一些人，僅僅知道這種流于表面的認(rèn)識(shí)是比較膚淺的，甚至沒有多少深刻的科學(xué)意義。

烏拉姆1940年代參與美國(guó)原子彈研制的同事理查德·費(fèi)恩曼 (Richard Feynman, 1918-1988) ，曾多次回憶起他的父親是如何教導(dǎo)少年時(shí)代的他的：“你如果對(duì)一只鳥只知道它的名字，而對(duì)它的習(xí)性卻一無所知，那么你對(duì)那只鳥的了解幾乎為零?！辟M(fèi)恩曼認(rèn)為父親這種簡(jiǎn)單而有智慧的觀點(diǎn)影響了自己的科學(xué)生涯一輩子。

同樣的道理，我們?nèi)绻粷M足于知道烏拉姆做了什么卻不知道他是如何做的，就相當(dāng)于學(xué)數(shù)學(xué)的人不看定理的證明而只看定理的結(jié)論。我們知道這種“只知其然而不知其所以然”的學(xué)習(xí)法是成就不了數(shù)學(xué)家的。

許多學(xué)數(shù)學(xué)的人都想成為職業(yè)數(shù)學(xué)家，但是許多真正的數(shù)學(xué)家卻不把自己看成是純粹的數(shù)學(xué)家，至少不把自己局限于數(shù)學(xué)的地盤。我記得十年前有人采訪斯梅爾 (Stephen Smale, 1930-) 教授時(shí)，這個(gè)因?yàn)樽C明了五維以上的廣義龐加萊猜想而獲得1966年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)菲爾茲獎(jiǎng)的美國(guó)本土數(shù)學(xué)家，只把自己稱為“數(shù)學(xué)科學(xué)家”?；蛟S他對(duì)自己的定位與烏拉姆有密切的關(guān)系。我多年前翻閱過的一本烏拉姆身后出版的文集Science, Computers, and People（《科學(xué)、計(jì)算機(jī)及故友》），由美國(guó)數(shù)學(xué)科普大家馬丁伽德納(Martin Gardner, 1914-2010)執(zhí)筆的前言之第一段是這樣寫的：

烏拉姆對(duì)自己的這種“與眾不同”也毫不諱言。在那本膾炙人口的自傳 Adventures of a Mathematician（其初版的中譯本書名是《一位數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷》）的開頭，他就告訴讀者他四歲時(shí)就對(duì)家中客廳波斯地毯上的幾何圖案著迷。當(dāng)他身為律師的父親對(duì)此不以為然而笑起來時(shí)，他心里自言自語(yǔ)道：“他笑是因?yàn)樗J(rèn)為我是幼稚的，但是我知道這些是令人好奇的模式。我知道我父親所不知道的某樣事情?！?/span>

這大概就是他終生熱愛探討新事物的天賦之才的最初顯示。后來他在自傳中說：“我是那種喜歡開始新事物而不是改進(jìn)或精雕細(xì)琢之人?！?去年高等教育出版社出版的一本新書《楊振寧的科學(xué)世界》中，有楊振寧先生在采訪中說的一段話：“我看見他（烏拉姆）的時(shí)候呢，他人很有意思。他一看見了就問你一個(gè)問題，這個(gè)問題可能是集合論的，也可能是組合的，甚至可能是打撲克牌的。然后你去想，跟他討論，他就不發(fā)生興趣了。他只發(fā)生興趣是……”

他喜歡提問題的另一個(gè)佐證，是上世紀(jì)30年代波蘭數(shù)學(xué)學(xué)派名揚(yáng)天下之時(shí)，那批以巴拿赫 (Stefan Banach, 1892-1945) 為首的波蘭數(shù)學(xué)精英在蘇格蘭咖啡館討論數(shù)學(xué)及時(shí)記下的數(shù)學(xué)問題錄——現(xiàn)已在國(guó)際數(shù)學(xué)界名聞遐邇的《蘇格蘭筆記本》，以年輕的烏拉姆貢獻(xiàn)的問題最多！

正是由于喜歡與人討論，喜歡提出問題，烏拉姆從他大腦里萌芽而出的 “對(duì)要點(diǎn)的感覺”（用他自己的話就是 “What I may have is a feeling of the gist, or maybe only thegist of the gist”），日后成了幾大數(shù)學(xué)領(lǐng)域的開端。

比如，“細(xì)胞自動(dòng)機(jī)理論”最初是他向馮·諾依曼提出來的；“蒙特卡羅方法”來源于如何對(duì)付不僅在概率論而且在看上去與前者沒太多關(guān)系的數(shù)論中棘手的問題；后來掀起孤立子和混沌研究熱潮的“非線性分析”，從他玩弄計(jì)算機(jī)的手指中汩汩流出。對(duì)于今日在幾乎所有科技領(lǐng)域都有不俗表現(xiàn)的“混沌”，烏拉姆曾有一句戲謔之語(yǔ)：“把混沌研究稱之為‘非線性分析’，就好比是把動(dòng)物學(xué)說成是‘非大象一類動(dòng)物’的研究?！?/span>

肇始于烏拉姆、馮·諾依曼、費(fèi)米等人研制原子彈的實(shí)際需要以及現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的及時(shí)問世，非線性分析的目的主要是探索任何隨時(shí)間而變化的量、圖形或模式，當(dāng)時(shí)間走向無窮大時(shí)的最終性態(tài)。它在離散時(shí)間的情形本質(zhì)上就是迭代一個(gè)非線性變換看看迭代點(diǎn)最后會(huì)在哪里。烏拉姆通過他智慧大腦極強(qiáng)的抽象能力和分析功夫，借助于計(jì)算機(jī)這個(gè)自從他最親密的朋友馮·諾依曼去世后他最要好的非人類朋友的幫助，在這個(gè)如今已發(fā)展出令眾多數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程學(xué)家及生命科學(xué)家孜孜以求的巨大領(lǐng)域，創(chuàng)造出許多原始的思想和方法。它們已經(jīng)遍地開花，早已成為激勵(lì)一代代科學(xué)工作者的一大筆精神遺產(chǎn)。

他的一大部分精神遺產(chǎn)已經(jīng)濃縮在他那不朽的小書A Collection of Mathematical Problems（《數(shù)學(xué)問題集》）中。這本1960年初版的精裝小冊(cè)子只有150頁(yè)，卻成就了不少數(shù)學(xué)家，包括我的師爺約克 (James Yorke: 1941-) 教授和我的師傅李天巖教授。他們師徒二人一生中最有名的工作，是那篇只有區(qū)區(qū)八頁(yè)但已被引用了好幾千次的開創(chuàng)性文章Period Three Implies Chaos（“周期三則意味著混沌”）。它從“混沌之父”洛倫茲 (Edward Lorenz) 于1960年代初發(fā)現(xiàn)天氣預(yù)報(bào) “蝴蝶效應(yīng)” 的論文中，提煉出數(shù)學(xué)名詞 “混沌” 的定義和意義。約克和李天巖兩人各自都有其他杰出的工作，而且都與烏拉姆的《數(shù)學(xué)問題集》有關(guān)。

《數(shù)學(xué)問題集》中有一章與非線性分析有關(guān)，標(biāo)題為“Some Questions in Analysis”（分析中的一些問題），實(shí)際上就是與非線性分析有親戚關(guān)系的遍歷理論。

事實(shí)上，烏拉姆從20歲發(fā)表的第一篇論文起的早期工作就在集合論，而他21歲時(shí)發(fā)表的一生中第三篇論文將測(cè)度論與一般集合論聯(lián)系在一起，并證明了一個(gè)非?；镜臏y(cè)度論定理。在他33歲的一篇合作并發(fā)表在Annals of Mathematics 中的長(zhǎng)文中，烏拉姆證明了統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的遍歷假設(shè)對(duì) “幾乎所有的變換” 都成立。他在1940年代發(fā)表的其他合作文章中，最早建立了動(dòng)力系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性”的基礎(chǔ)；斯梅爾1960年代通過他所構(gòu)造的 “馬蹄鐵變換” 對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念的發(fā)展貢獻(xiàn)巨大。而在更早的1934年，烏拉姆就和一位合作者發(fā)展了概率論的測(cè)度論基礎(chǔ)，這獨(dú)立于柯爾莫哥洛夫 (Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987) 1930年代提出的概率論公理化方法，并且更早。

這些在幾大分析領(lǐng)域中的先驅(qū)工作和巨大影響，令烏拉姆有資格、有能力提出具有挑戰(zhàn)性的新問題。下面舉個(gè)我比較熟悉的例子。

如果有一個(gè)將區(qū)間映到自己的變換，我們就可以從區(qū)間中任意一個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)逐次迭代這個(gè)變換而得到所對(duì)應(yīng)的 “迭代點(diǎn)軌道”。如果對(duì)大多數(shù)初始點(diǎn)而言，其迭代點(diǎn)軌道都遵循同一個(gè)由某個(gè)定義在區(qū)間上的密度函數(shù)所確定的分布規(guī)律，那么這個(gè)密度函數(shù)被稱為該離散動(dòng)力系統(tǒng)的“不變密度函數(shù)”，它決定了迭代點(diǎn)軌道在區(qū)間中最終的位置分布。不變密度函數(shù)是給定變換所對(duì)應(yīng)的、被烏拉姆以Frobenius和Perron兩位德國(guó)數(shù)學(xué)家名字命名的一個(gè)無窮維算子（他在書中稱之為Frobenius-Perron算子）的不動(dòng)點(diǎn)。

但是如果不停地迭代一個(gè)非線性變換，“有無不變密度函數(shù)存在” 便是一個(gè)問題，即便這個(gè)變換看上去很簡(jiǎn)單，比如它的圖像是一條逐片線段。那時(shí)，這個(gè)問題還沒有解答。

在第六章第四節(jié)的某一段，烏拉姆問：如果把單位區(qū)間映到自身的一個(gè)變換f由足夠簡(jiǎn)單的函數(shù)定義（例如逐片線段函數(shù)或多項(xiàng)式），其圖像不以斜率絕對(duì)值小于1的方式通過直線y=x，其對(duì)應(yīng)的Frobenius-Perron算子有一個(gè)非平凡的不變函數(shù)嗎？正如烏拉姆接下來所說的，即便對(duì)每一個(gè)如下形式的逐片線性變換，問題的解答都是未知的。這樣的變換是：當(dāng)x大于或等于0并且小于或等于1/2時(shí)，其值為2x，而當(dāng)x大于或等于1/2并且小于或等于1時(shí)，其值為(2-a) + 2(a-1)x，其中a是一個(gè)小于1/2的正數(shù)。

十三年后的1973年，烏拉姆祖國(guó)的后起之秀、波蘭科學(xué)院院士洛速達(dá) (Andrzej Lasota, 1932-2006) 和他的合作者、美國(guó)馬里蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授約克，在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的期刊Transactions of the American Mathematical Society 上發(fā)表了一篇論文，回答了烏拉姆提出的上述問題。

論文的題目是“On the existence of invariant measures for piecewise monotonic transformations”（關(guān)于逐片單調(diào)變換不變測(cè)度的存在性），它的一句話摘要簡(jiǎn)單明了地概括了文章的主要貢獻(xiàn)：本文證明區(qū)間 [0, 1] 上的一類逐片連續(xù)、逐片二次連續(xù)可微的變換有絕對(duì)連續(xù)不變測(cè)度。

 數(shù)學(xué)家約克。本圖由作者提供。

洛速達(dá)和約克證明，對(duì)于將區(qū)間映到自身的逐片單調(diào)變換，只要其導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值處處大于或等于一個(gè)大于1的常數(shù)，那么這個(gè)變換就有一個(gè)絕對(duì)連續(xù)的不變概率測(cè)度，或言之，其對(duì)應(yīng)的Frobenius-Perron算子就有一個(gè)非平凡的不變函數(shù)。特別，烏拉姆想要知道結(jié)果的上述那類逐片線性變換個(gè)個(gè)滿足洛速達(dá)-約克定理的條件，因而都有絕對(duì)連續(xù)的不變測(cè)度。

洛速達(dá)-約克的這篇論文現(xiàn)已成為現(xiàn)代遍歷理論中的經(jīng)典之作。更進(jìn)一步，它又催生了一篇計(jì)算遍歷理論的經(jīng)典之作，其作者就是約克的弟子李天巖。

李天巖是個(gè)干什么都想把問題搞個(gè)水落石出的人物，在這方面他頗有一點(diǎn)烏拉姆的風(fēng)格。但是，如果你對(duì)年輕時(shí)的他說，這是烏拉姆的一個(gè)猜想，你去做做看，他或許也會(huì)有點(diǎn)膽怯。這是他多年前對(duì)我回憶他與烏拉姆猜想的歷史淵源時(shí)這樣承認(rèn)的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)在他眼里，烏拉姆是和馮·諾依曼一個(gè)等級(jí)的大數(shù)學(xué)家，他沒有解決的問題自己能解決嗎？

1970年代中期，李天巖對(duì)洛速達(dá)-約克類變換，構(gòu)造了與階梯函數(shù)有關(guān)的一個(gè)投影算法，將求Frobenius-Perron算子的不動(dòng)點(diǎn)問題化約成有窮維的矩陣計(jì)算問題，從而算出不變密度函數(shù)的階梯函數(shù)逼近。更進(jìn)一步，他證明了這個(gè)方法的收斂性，即當(dāng)子區(qū)間的個(gè)數(shù)趨于無窮大時(shí)，其對(duì)應(yīng)的階梯函數(shù)序列收斂到精確的不變密度函數(shù)。文章順利地被 Journal of Approximation Theory（《逼近論雜志》）接受，當(dāng)時(shí)的標(biāo)題是“Finite Approximation for the Frobenius-Perron Operator”（Frobenius-Perron 算子的有限維逼近）。

這時(shí)，有人告訴李天巖：你的方法1960年就由烏拉姆提出來了，但他沒有給出收斂性的證明。李天巖查到，他的方法的確就是烏拉姆在《數(shù)學(xué)問題集》中第74-75頁(yè)所構(gòu)造出的“烏拉姆方法”，烏拉姆還猜測(cè)他的方法是收斂的。這就是計(jì)算遍歷理論這一現(xiàn)代研究領(lǐng)域中著名的“烏拉姆猜想”。

換言之，他和烏拉姆想到一塊兒去了，前后相差15年，心有靈犀一點(diǎn)通地獨(dú)立構(gòu)造了同樣的算法。更重要的是，李天巖對(duì)洛速達(dá)-約克變換類證明了烏拉姆猜想！

興奮之余，李天巖將文章的標(biāo)題加了五個(gè)單詞，變成“Finite Approximation for the Frobenius-Perron Operator, a Solution to Ulam’s Conjecture”（Frobenius-Perron算子的有限維逼近——對(duì)烏拉姆猜想的一個(gè)解答）。

李天巖與丁玖。本圖由作者提供。

我相信由于烏拉姆在數(shù)學(xué)界的巨大聲望，李天巖這篇題目變長(zhǎng)了一點(diǎn)而最終于1976年發(fā)表的論文，肯定也大大增加了讀者的人數(shù)。這不僅提升了一位年輕數(shù)學(xué)教授的學(xué)術(shù)聲譽(yù)，而且也增強(qiáng)了自己挑戰(zhàn)未決問題的自信心。后來李天巖教授向我透露，他成功贏得古根海姆獎(jiǎng)(Guggenheim Fellowship) ，“烏拉姆猜想” 功不可沒！

1996年，受李天巖教授先驅(qū)性工作的啟發(fā)，中科院計(jì)算數(shù)學(xué)研究所的周愛輝與我對(duì)一類高維變換證明了烏拉姆猜想。然而，對(duì)于許多其他的一維或高維非線性變換類，“烏拉姆猜想”依然還是猜想! 年輕的讀者朋友，如果您在動(dòng)力系統(tǒng)的計(jì)算遍歷理論領(lǐng)域中耕耘，就可以把眼光瞄準(zhǔn)這個(gè)有無窮魅力的著名猜想。

1974年出版的烏拉姆另一本論文集Sets, Numbers, and Universe（《集、數(shù)和宇宙》），其第三部分就是上述的《數(shù)學(xué)問題集》，但易名為Problems in Modern Mathematics（《現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的問題》）。之前的1964年，這本問題集也出了一個(gè)平裝版本?？梢娺@本內(nèi)容精練的書在數(shù)學(xué)界的影響力，美國(guó)的《數(shù)學(xué)評(píng)論》(Mathematical Reviews ) 中對(duì)本書的一篇書評(píng)將它與希爾伯特1900年在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出的 “23個(gè)未決問題” 相提并論并作了比較。

烏拉姆已經(jīng)離世35年了，但是他的精神遺產(chǎn)依然是那樣的豐富多彩。對(duì)于我們這個(gè)千百年間把知識(shí)積累看得比創(chuàng)新能力更為重要的文明古國(guó)，他的數(shù)學(xué)思想及他對(duì)科學(xué)的見解更沒有過時(shí)。

約克教授曾經(jīng)告訴我，他的博士生說他 “知道的定理不一定比他們多，但他能創(chuàng)造定理”。比如說在上述他和洛速達(dá)解決烏拉姆所提問題的那篇文章中就有關(guān)于有界變差函數(shù)的 “約克不等式”，而幾乎所有的數(shù)學(xué)分析或?qū)嵶兒瘮?shù)教科書中列舉了有界變差函數(shù)的許多性質(zhì)，卻沒有這個(gè)不等式，因?yàn)檫@是約克為了研究的需要而發(fā)現(xiàn)的一個(gè)有用不等式。

烏拉姆曾經(jīng)非常謙虛地說自己 “我不能宣稱我知道數(shù)學(xué)方面的許多技術(shù)性材料”，但是他試圖強(qiáng)調(diào)，是火花迸發(fā)的思想，而不是車裝斗量的知識(shí)，是讓數(shù)學(xué)與科學(xué)的發(fā)現(xiàn)幫助人類改變歷史進(jìn)程的不二法門。我想這大概是烏拉姆留給我們的最大精神遺產(chǎn)。

寫于2019年4月30日，美國(guó)哈蒂斯堡市

定稿于2019年5月13日，烏拉姆逝世35周年

制版編輯 | 皮皮魚