本書對數(shù)學及數(shù)學教學進行了新的反思，深入淺出。作者嘗試從數(shù)學的角度討論了推理的模式，對比亞里士多德的演繹推理句式，提出使用歸納推理的方式進行推理的邏輯性與合理性。圍繞義務(wù)教育階段數(shù)學課程的改革，作者解讀了義務(wù)教育中數(shù)學課程的標準，認為課程大綱是工業(yè)化時代的產(chǎn)物，以知識為本，而現(xiàn)代社會更強調(diào)的是發(fā)展人為本。因此，作者在本書中列出了自己對于數(shù)學課程修訂的諸多建議，如重視學生的思維訓練等。此外，作者以訪談錄的形式闡釋了自己對于中小學生數(shù)學課程的設(shè)計及數(shù)學教學方法的理念，對數(shù)學教學有極大的啟發(fā)性意義。

作者簡介

東北師范大學資深教授,博士研究生導師,國內(nèi)著名數(shù)理統(tǒng)計學家和教育家,義務(wù)教育數(shù)學課程標準修訂組組長,普通高中數(shù)學課程標準修訂組組長,教育部中小學教材審查委員,曾任國務(wù)院學位委員會學科評議組成員、教育部科學技術(shù)委員會數(shù)理字部委員,中國概率統(tǒng)計學會副理事長東北師范大學校長。

一、什么是數(shù)學基本思想？

在我國數(shù)學教育，特別是基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學教育中，數(shù)學基本思想一詞已經(jīng)被廣泛使用?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版) 》(簡稱《標準(2011年版)》)明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，使學生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。

在數(shù)學教學中，通常說的等量替換、數(shù)形結(jié)合，遞歸法、換元法等，可以稱為數(shù)學思想方法，但不是數(shù)學基本思想。因為在述說這些概念的時候，必然要依附于某些具體的數(shù)學內(nèi)容，因此這些概念在本質(zhì)上是個案的而不是一般的; 此外，這些概念也不是最基本的，比如關(guān)于等量替換，人們可以進一步追問:為什么可以在計算的過程中進行等量替換呢?這就意味著，作為一種方法，等量替換可以用其他的更為基本的原理推演出來。為此，需要建立判斷數(shù)學基本思想的原則。

我們建立二個原則：

第一個原則，數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展必須依賴的那些思想。

第二個原則，學習過數(shù)學的人應(yīng)當具有的基本思維特征。

根據(jù)這兩個原則，我們把數(shù)學基本思想歸結(jié)為三個核心要素:抽象、推理、模型。這三者對于數(shù)學的作用以及相互之間的關(guān)系大體是這樣的：

通過抽象，人們把現(xiàn)實世界中與數(shù)學有關(guān)的東西抽象到數(shù)學內(nèi)部，形成數(shù)學的研究對象,思維特征是抽象能力強；通過推理，人們從數(shù)學的研究對象出發(fā)，在一些假設(shè)條件下，有邏輯地得到研究對象的性質(zhì)以及描述研究對象之間關(guān)系的命題和計算結(jié)果，促進了數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展，思維特征是邏輯推理能力強;通過模型，人們用數(shù)學所創(chuàng)造的語言、符號和方法，描述現(xiàn)實世界中的故事，構(gòu)建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，思維特征是表述事物規(guī)律的能力強。

當然，針對具體的數(shù)學內(nèi)容，不可能把三者截然分開，特別是不能把抽象與推理、抽象與模型截然分開。在推理的過程中，往往需要從已有的數(shù)學知識出發(fā)，抽象出那些并不是直接來源于現(xiàn)實世界的概念和運算法則，比如，實數(shù)與高維空間的概念、矩陣與四元數(shù)的運算法則等，在這個意義上，數(shù)學并不僅僅研究那些直接來源于現(xiàn)實世界的東西;在構(gòu)建模型的過程中，往往需要在錯綜復雜的現(xiàn)實背景中抽象出最為本質(zhì)的關(guān)系，并且用數(shù)學的語言予以表達，比如，用s=1/2gt2這樣的算式表達物體自由降落的規(guī)律。反之，抽象的過程往往需要借助邏輯推理，比如，在一類事物中發(fā)現(xiàn)共性、分辨差異，抽象出數(shù)學的概念;通過推理判斷概念之間的關(guān)系，判斷什么是命題的獨立性、什么是命題的相容性，最終抽象出公理體系；在眾多個案的運算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過推理驗證什么是最本質(zhì)的規(guī)律，最終用抽象的符號表達一般性的運算法則。因此，在數(shù)學研究和學習的過程中，抽象、推理、模型這三者之間常常是你中有我、我中有你。

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抽象

抽象是從許多事物中含棄個別的、非本質(zhì)屬性， 得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。最初的抽象是基于直觀的，正如康德所說:

人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結(jié)束。

希爾伯特非常敬佩前輩康德。在出版紀念高斯的文集時，希爾伯特把1898- 1899年給學生授課時的講稿編寫成講義《幾何基礎(chǔ)》，把康德的這句話作為卷首題詞。

對于數(shù)學，抽象主要包括兩方面的內(nèi)容:數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系。這就意味著，數(shù)學的抽象不僅僅要抽象出數(shù)學所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關(guān)系。與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關(guān)系更為本質(zhì)。正如亞里士多德在《形而上學》中聽說:

個體不能同時在多處存在，共相卻可以同時存在于眾多，所以也不難明白，離開了特殊普遍將不復存在。

例如，數(shù)學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西諸如輕重、軟硬、冷熱，剩下的只有數(shù)量和關(guān)系，而各種規(guī)定都是針對數(shù)量和關(guān)系的規(guī)定。有時研究位置之間的關(guān)系，有時研究可通約性，還研究各種比例，等等。......數(shù)學家把共同原理用于個別情況，……等量減等量余量相等，這便是一條對所有量都適用的共同原理。對于數(shù)學研究而言，線、角或者其他的量(的定義)，不是作為存在而是作為關(guān)系。

數(shù)學與數(shù)量關(guān)系的抽象

人們把現(xiàn)實生活中的數(shù)量抽象為數(shù),形成自然數(shù)，并且用十個符號和數(shù)位進行表示，得到了自然數(shù)集。在現(xiàn)實生活中，數(shù)量關(guān)系的核心是多與少，人們又把這種關(guān)系抽象到數(shù)學內(nèi)部，這就是數(shù)的大與小。后來，人們又把大小關(guān)系推演為更一般的序關(guān)系。

由大小關(guān)系的度量產(chǎn)生了自然數(shù)的加法，由加法的逆運算產(chǎn)生了減法，由加法的簡便運算產(chǎn)生了乘法，由乘法的逆運算產(chǎn)生了除法。因此，數(shù)的運算本質(zhì)是四則運算，這些運算都是基于加法的。通過運算的實踐以及對運算性質(zhì)的研究，抽象出運算法則。為了保證運算結(jié)果的封閉性，就實現(xiàn)了數(shù)集的擴張。在本質(zhì)上，數(shù)集的擴張是因為逆運算:為了減法運算的封閉，自然數(shù)集擴張為整數(shù)集;為了除法運算的封閉，整數(shù)集擴張為有理數(shù)集。

數(shù)學還有第五種運算，這就是極限運算，涉及數(shù)以及數(shù)的運算的第二次抽象。雖然極限的思想古已有之，但極限運算的確立，卻是源于牛頓、萊布尼茨于1684年左右創(chuàng)立的微積分，因為微積分的運算基礎(chǔ)就是極限。為了合理地解釋極限，特別是為了合理地解釋函數(shù)的連續(xù)性，1821年到1860年這一段時間，柯西、魏爾斯特拉斯等數(shù)學家創(chuàng)造出“ε- δ語言”的描述方法。由此也開始構(gòu)建了現(xiàn)代數(shù)學的特征:研究對象符號化、證明過程形式化和邏輯推理公理化。

為了很好地描述極限運算，需要解決實數(shù)的運算和連續(xù);為了很好地定義實數(shù)，需要解決無理數(shù)的定義與運算;為了清晰定義無理數(shù)，需要重新認識有理數(shù)。這樣，小數(shù)形式的有理數(shù)就出現(xiàn)了，這完全背離了用分數(shù)形式表達有理數(shù)的初衷。這個初衷就是:有理數(shù)是可以用整數(shù)表示的數(shù)。這個初衷所表述的現(xiàn)實背景是:部分與整體的關(guān)系，或者，線段長度之間的比例關(guān)系。

1872年，基于小數(shù)形式的有理數(shù)，康托用基本序列的方法，通過有理數(shù)列的極限定義了實數(shù)，解決了實數(shù)的運算問題;戴德金用分割的方法，通過對有理數(shù)的分割定義了實數(shù)，解決了實數(shù)的連續(xù)性問題。1889年，皮亞諾構(gòu)建算術(shù)公理體系，重新定義了自然數(shù)。1908年，策梅洛給出了集合論公理體系，這便是人們通常所說的ZF集合論公理體系。借助這一系列的工作，人們終于合理地解釋了數(shù)和數(shù)的運算，合理地解釋了微積分，構(gòu)建了現(xiàn)代數(shù)學中關(guān)于數(shù)及其運算的理論基礎(chǔ)。

由此可見，雖然人們在很早以前就抽象出了數(shù)以及四則運算，抽象出了數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，甚至建立了基于極限運算的微積分，但直到20世紀初，人們才合理地解釋了什么是數(shù)，以及各種關(guān)于數(shù)的運算及其法則。

圖形與圖形關(guān)系的抽象

無獨有偶，圖形與圖形關(guān)系的抽象也經(jīng)歷了類似的過程?，F(xiàn)實世界中的圖形都是三維的，幾何學研究的對象，諸如點、線、面等都是抽象的產(chǎn)物，這些研究對象集中地表述在歐幾里得《原本》 這本書中。 歐幾里得用揭示內(nèi)涵的方法給出點、 線、面的定義，比如，點是沒有部分的那種東西。但是，凡是具體的陳述就必然會出現(xiàn)悖論:按照這樣的定義，應(yīng)當如何解釋兩條直線相交必然交于一點呢?兩條直線怎么能交到?jīng)]有部分的那種東西上呢?此外，空氣是沒有部分的，空氣是不是點呢?即便如此，歐幾里得幾何仍然是數(shù)學抽象的典范，支撐了數(shù)學兩千多年的發(fā)展，并且成為近代物理學發(fā)展的基礎(chǔ)，主要表現(xiàn)在伽利略和牛頓的工作中。

隨著數(shù)學研究的深人，特別是非歐幾何以及實:數(shù)理論的出現(xiàn)，人們需要更加嚴格地市視傳統(tǒng)的幾何學。1898 ，看爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》這本書中，重新給出了點、線、面的定義:用大寫字母A表示點，用小寫字母a表示直線，用希臘字母義α表示平面，這完全是符號化的定義,沒有任何涉及內(nèi)涵的話語。那么，完全沒有內(nèi)涵的定義也能成為數(shù)學的研究對象嗎?事實上，希爾伯特更為重要的工作在于他給出的五組公理，這五組公理限定了點、線、面之間的關(guān)系，給出了幾何研究的出發(fā)點，構(gòu)建了幾何公理體系。希爾伯特幾何公理體系的建立，完成了幾何學的第二次抽象。在式上，幾何學的研究已經(jīng)脫離了現(xiàn)實，正如希爾伯特所說的那樣：

歐幾里得關(guān)于點、線、面的定義在數(shù)學上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因為公理述說了它們之間的關(guān)系。換句話說，無論把它們稱為點、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結(jié)論都是一樣的。

小結(jié)

通過上面的討論可以看到，抽象是數(shù)學得以產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，并且，與數(shù)學的發(fā)展同步，數(shù)學的抽象也經(jīng)歷了兩個階段。

第一階段的抽象是基于現(xiàn)實的，人們通過對現(xiàn)實世界中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的抽象，得到了數(shù)學的基本概念，這些基本概念包括數(shù)學研究對象的定義、刻畫研究對象關(guān)系的術(shù)語和計算方法。這種基于現(xiàn)實的抽象，是從感性具體上升到理性具體的思維過程。隨著數(shù)學研究的深人，還必須進行第二階段的抽象，這個階段的抽象是基于邏輯的。人們通過第二階段的抽象，合理解釋了那些通過第一次排象已經(jīng)得到了的數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系。第二次抽象的特點是符號化、形式化和公理化，這是從理性具體上升到理性一般的思維過程。

但是，我們必須看到，雖然第二次抽象使得數(shù)學更加嚴謹，但第一次抽象卻是更為本質(zhì)的，因為第一次抽象創(chuàng)造出了新的概念、運算法則和基本原理，而第二次抽象只是更加嚴謹?shù)亟忉屵@些創(chuàng)造。事實上，如果沒有第一次抽象作為鋪墊，我們將無法理解第二次抽象的真實含義，就像沒有歐幾里得幾何作為鋪墊，我們將無法理解希爾伯特所創(chuàng)造的幾何公理體系到底說了些什么。

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推理

按照人們的通常理解，主要有三種思維形式:形象思維、邏輯思維和辯證思維。數(shù)學主要依賴的是邏輯思維，具體體現(xiàn)就是邏輯推理。人們通過邏輯推理，理解數(shù)學研究對象之間的因果關(guān)系，并且用抽象的術(shù)語和符號描述這種關(guān)系，形成數(shù)學的命題和運算結(jié)果，促進了數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展。

隨著數(shù)學研究的不斷深人，根據(jù)研究問題的不同，數(shù)學逐漸形成各個分支，甚至形成各種流派。即便如此，因為數(shù)學研究問題的出發(fā)點是一致的， 邏輯推理規(guī)則也是一致的， 因此，至少現(xiàn)在的研究結(jié)果表明，數(shù)學在整體上具有一致性。也就是說，雖然數(shù)學各個分支所研究的問題似乎風馬牛不相及，但數(shù)學各個分支得到的結(jié)果卻是相互協(xié)調(diào)的。為此，人們不能不為數(shù)學的這種整體一 致性感到驚嘆:數(shù)學似乎蘊含著某種類似真理那樣的東西。

推理是對命題的判斷，是從一個命題判斷到另個命題判斷的思維過程。這里所說的命題，是可供判斷的陳述句，如果也用陳述句表述計算結(jié)果，那么，數(shù)學的所有結(jié)論都是命題。進一步，所謂有邏輯的推理，是指所要判斷的命題之間具有某種傳遞性，更形象地說，就是有一條主線能把這些命題串聯(lián)起來。據(jù)此，“凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死”，這樣的推斷是有邏輯的;“蘇格拉底是人蘇格拉底有死，柏拉圖是人柏拉圖有死，所以凡人都有死”，這樣的推理也是有邏輯的;但是，“蘋果是酸的，酸的是一種味道，所以蘋果是一種味道”，這樣的推理是沒有邏輯的?；谏厦娴氖稣f，本質(zhì)上只有兩種形式的邏輯推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。

歸納推理

歸納推理是命題的適用范圍由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理，比如上述第二個推理。通過歸納推理得到的結(jié)論是或然成立的。

歸納推理包括不完全歸納法、類比法、簡單枚舉法、數(shù)據(jù)分析等。人們借助歸納推理，從經(jīng)驗過的東西出發(fā)推斷未曾經(jīng)驗過的東西，因此，除去通過計算得到的結(jié)果之外，數(shù)學的結(jié)論都是通過歸納推理得到的。也就是說，數(shù)學的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的，雖然看出的數(shù)學結(jié)果不一定正確，但指引了數(shù)學研究的方向。

演繹推理

演繹推理是命題的適用范圍由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理， 比如上述第一個推理。 通過演繹推理得到的結(jié)論是必然成立的。

演繹推理包括三段論、反證法、數(shù)學歸納法、算法邏輯等。人們借助演繹推理，按照假設(shè)前提和規(guī)定的法則驗證那些通過歸納推理得到的結(jié)論，這便是數(shù)學的“證明”。通過證明能夠驗證結(jié)論的正確性，但不能使命題的內(nèi)涵得到擴張。也就是說，演繹推理能保證論述的結(jié)論與論述的前提一樣可靠，但不能增添新的東西。

小結(jié)

數(shù)學之所以具有類似真理那樣的合理性，或者說，數(shù)學之所以具有嚴謹性，正是因為數(shù)學的結(jié)論從產(chǎn)生到驗證的整個過程，都嚴格地遵循了上述兩種形式的邏輯推理。但是，在我們現(xiàn)行的數(shù)學教學中，過分強調(diào)了演繹推理而忽略了歸納推理，過分強調(diào)了命題的證明而忽略了命題的提出以及對命題的直觀理解。我們不能不思考這樣的問題，無論是大學的數(shù)學教育，還是中小學的數(shù)學教育，是不是都應(yīng)當創(chuàng)造出一些問題的情境，讓學生自己發(fā)現(xiàn)些對于他們而言是新的數(shù)學結(jié)論呢？

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模型

數(shù)學模型與人們通常所說的數(shù)學應(yīng)用是有所區(qū)別的:數(shù)學應(yīng)用涉及的范圍相當寬泛，可以泛指應(yīng)用數(shù)學的方法解決實際問題的所有事情;數(shù)學模型更側(cè)重用數(shù)學創(chuàng)造出來的概念、原理和方法，描述現(xiàn)實世界中的那些規(guī)律性的東西。通俗地說，數(shù)學模型是用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界中與數(shù)量、圖形有關(guān)的故事。數(shù)學模型使數(shù)學走出了自我封閉的世界，構(gòu)建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁。關(guān)于這一點，伽利略的經(jīng)驗之談是最好的詮釋:

哲學被寫在展現(xiàn)于我們眼前的偉大之書上，這里我指的是宇宙。但是如果我們不首先學會用來書寫它的語言和符號，我們就無法理解它。這本書是以數(shù)學語言寫的，它的符號就是三角形、圓和其他幾何圖形，沒有這些符號的幫助，我們簡直無法理解它的片言只語;沒有這些符號，我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索。

因此，數(shù)學模型的出發(fā)點往往不是數(shù)學，而是將要講述的現(xiàn)實世界中的那些故事;數(shù)學模型的研究手法也不是單向的，需要從數(shù)學和現(xiàn)實這兩個出發(fā)點開始，這就像建筑橋梁一樣， 在建筑之前必須清楚要把橋梁建筑在哪里，要在此岸和彼岸同時設(shè)計橋墩的具體位置。構(gòu)建數(shù)學模型的大體流程是:從兩個出發(fā)點開始，規(guī)劃研究路徑、確立描述用語、驗證研究結(jié)果、解釋結(jié)果含義，從而得到與現(xiàn)實世界相容的、可以用來描述現(xiàn)實世界的數(shù)學表達。

在現(xiàn)實世界中，放之四海而皆準的東西是不存在的，因此，一個數(shù)學模型必然有其適用范圍，這個適用范圍通常表現(xiàn)于模型的假設(shè)前提、模型的初始值以及對模型中參數(shù)的限制。在這個意義上，所有數(shù)學的形式，諸如函數(shù)、方程等，本身都不是數(shù)學模型，而是可以用來構(gòu)建模型的數(shù)學語言。

因為數(shù)學模型具有數(shù)學和現(xiàn)實這兩個出發(fā)點，因此，數(shù)學模型就不完全屬于數(shù)學。事實上，大多數(shù)應(yīng)用性很強的數(shù)學模型的命名，都依賴于所描述的學科背景。比如，生物學中的種群增長模型、基因復制模型等;醫(yī)藥學中的專家診斷模型、疾病靶向模型等;氣象學中的大氣環(huán)流模型、中長期預報模型等;地質(zhì)學中的板塊構(gòu)造模型、地下水模型等;經(jīng)濟學中的股票行生模型、組合投資模型等;管理學中投人產(chǎn)出快人力資源模型等;社會學中人口發(fā)展模型、信息傳播模型等。在物理子和化學中，各類數(shù)學模型更是不勝枚舉。

小結(jié)

數(shù)學模型描述的是現(xiàn)實世界的故事，因此，數(shù)學模型不僅研究的出發(fā)點不是數(shù)學本身，就連價值取向也不是數(shù)學本身，而是描述現(xiàn)現(xiàn)實世界的作用。針對每一個具體的學科， 強調(diào)的是描述那個學科規(guī)律性問題的作用，比如，那些獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎的數(shù)學模型，人們關(guān)注的并不是模型的數(shù)學價值，而關(guān)注的是模型是否能夠很好地描述經(jīng)濟學中的某些規(guī)律。

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總結(jié)

人們普遍認為，數(shù)學具有三個顯著特征:一般性、嚴謹性和應(yīng)用的廣泛性。事實上，這三個顯著特征的形成，依賴于數(shù)學的基本思想。

抽象出來的東西必然要脫離具體的表象，因此數(shù)學是一般的，特別是經(jīng)過了第二次抽象，數(shù)學的表達實現(xiàn)了符號化，走向了一般化的極致;數(shù)學的推理是有邏輯的，通過歸納推理預測結(jié)論、通過演繹推理驗證結(jié)論，因此數(shù)學是嚴謹?shù)?，特別是近代數(shù)學的證明過程實現(xiàn)了公理體系下的形式化，使得數(shù)學的嚴謹走向極致;模型思想的本質(zhì)是站在現(xiàn)實的立場上，思考現(xiàn)實世界中規(guī)律性的問題，用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事，用現(xiàn)實的效果評價模型的功效，這樣的應(yīng)用是與現(xiàn)實世界融合的，因此，數(shù)學的應(yīng)用是廣泛的。

毋庸置疑，數(shù)學的嚴謹性是極為重要的，嚴謹性也是人們對數(shù)學的一種普遍認識。 在現(xiàn)今的數(shù)學教育中，人們認真地遵循著這個原則。可是，數(shù)學為什么需要嚴謹性呢?嚴謹性對數(shù)學發(fā)展的作用是什么呢?關(guān)于這個問題，阿蒂亞有一段精彩的描述:

現(xiàn)在你可能會問:什么是嚴格性?一些人把“嚴格”定義'rigormortis' (僵化)， 相信伴隨純粹數(shù)學而來的，是對那些知道如何得到正確答案的人的活動的抑制。我想，我們必須再次記住數(shù)學是人類的一種活動。我們的目標不僅是要發(fā)現(xiàn)些什么，而且要把信息傳下去?！瓏栏竦臄?shù)學論證的作用正在于使得本來是主觀的、極度依賴個人直覺的事物，變得具有客觀性并能夠加以傳遞。我完全不想拒絕直覺帶來的好處，只是強調(diào)為了能向他人傳播，所獲得的發(fā)現(xiàn)最終應(yīng)以如下方式表述:清晰明確，毫不含糊，能被并無開創(chuàng)者那種洞察力的人所理解。......一旦你進入研究的下一階段，對已得到的結(jié)構(gòu)開始提出更復雜、更精細的問題時，對最初的基礎(chǔ)性工作的深入理解就會變得越來越重要。所以，正是你所從事的研究本身，需要嚴格的論證，如果缺乏牢固的基礎(chǔ)，你修建的整座建筑將岌岌可危。

正如前面討論的那樣，數(shù)學結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，依賴的并不是一般性，也不是嚴謹性，而依賴的是主觀的個人直覺。只是為了便于他人的理解、便于交流、便于研究的深人，數(shù)學的嚴謹性才變得異常重要。因此，在數(shù)學教育的過程中，應(yīng)當注重嚴謹性。但是，我們也應(yīng)當看到，因為嚴謹性的功能不在于發(fā)現(xiàn)知識，而在于解釋知識，因此嚴謹性僅僅是數(shù)學思維的一個特征，而不是數(shù)學思維的本質(zhì)。那么，在數(shù)學教育中，比嚴謹性更為重要的是什么呢?

二、在數(shù)學教育中體現(xiàn)數(shù)學基本思想

任何一件事情，一旦走到了極致就會出現(xiàn)異化，這便是孔子所說的“過猶不及”。數(shù)學的嚴謹性也是如此。在數(shù)學教育的過程中，如果過分強調(diào)數(shù)學的嚴謹性，數(shù)學的概念就會被表示成為一堆符號，數(shù)學的推理就會被表現(xiàn)為一種形式，正如羅素在《西方哲學史》中所說的那樣：

我應(yīng)當同意柏拉圖的說法，純粹數(shù)學并不是從知覺得來的。純粹數(shù)學包含都是類似“人是人”這樣的同義反復，只不過是更為復雜罷了。要知道， 判斷一個數(shù)學命題是否正確，我們并不需要研究世界，而只需要研究符號的意義;而符號，當我們省略了定義之后，只不過是“或者”“不是”“一切”和“某些”之類的話語，并不指向現(xiàn)實世界中的任何事物。

羅素是哲學家，是數(shù)學邏輯主義學派的代表。在羅米的眼中，數(shù)學的命題或者數(shù)學的結(jié)論，就是用一些表示關(guān)系的邏輯術(shù)語把表示概念的名詞連接在起。如果不顧及概念的實際含義，那么，數(shù)學最終就如羅素評述的那樣:

數(shù)學的真理，正如柏拉圖所說，與知覺無關(guān)，這是一種非常奇特的真理，僅僅涉及符號。

羅素把數(shù)學的邏輯推到了極致，因此，不能也不應(yīng)當用羅素的觀點實施數(shù)學教育。雖然在現(xiàn)代數(shù)學中，結(jié)論的最終表述僅僅涉及符號和邏輯術(shù)語，平淡乏味，但在事實上，大多數(shù)數(shù)學結(jié)論的內(nèi)涵是豐富多彩的，結(jié)論的形成過程是生機勃勃的。比如，在數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的研究中，最具創(chuàng)造力的數(shù)學工具微積分的產(chǎn)生與發(fā)展;在圖形與圖形關(guān)系的研究中，最具想象力的數(shù)學表達黎曼幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。所以，在數(shù)學教育的過程中，不能過分沉迷于符號和邏輯術(shù)語，過分拘泥于數(shù)學的嚴謹性。完全基于符號化、形式化和公理化的數(shù)學教學，必然會掩蓋數(shù)學命題的本質(zhì)，淡化數(shù)學思維的活力，進而忘卻了人的原本直覺。一個好的數(shù)學教育，不能讓學生僅僅在形式上記住數(shù)學概念、在邏輯上理解數(shù)學道理、在技巧上會解數(shù)學習題。關(guān)于這一點，柯朗在《什么是數(shù)學》的序言中有過明確評述:

今天，數(shù)學教育的傳統(tǒng)地位陷入了嚴重的危機之中，而且遺感的是，數(shù)學工作者要對此負一定的責任。數(shù)學教學有時竟變成空洞的解題訓練。這種訓練雖然可以提高形式推導的能力，但不能導致真正的理解與深入的獨立的思考。在這里，柯朗強調(diào)了真正的理解與深人的獨立思考。事實上，過分沉迷于符號和邏輯術(shù)語，不僅妨礙了真正的理解與深人的獨立思考，也不可能獲取真正的知識，正如愛因斯坦所說:

純粹的邏輯思維不能給我們?nèi)魏侮P(guān)于經(jīng)驗世界的知識;一切關(guān)于實在的知識，都是從經(jīng)驗開始，又終結(jié)于經(jīng)驗。用純粹邏輯方法得到的所有命題，對于實在來說是完全空洞的。由于伽利略看到了這一點，尤其是由于他向科學界諄諄不倦地教導這一點，他才成為近代物理學之父，事實上，也成為整個近代科學之父。

那么，什么樣的數(shù)學教育才有利于真正理解、有利于獨立思考、有利于獲取真正的知識呢?這就是突出數(shù)學基本思想的數(shù)學教育，其理由至少體現(xiàn)在數(shù)學內(nèi)部和數(shù)學外部兩個方面。

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體現(xiàn)在數(shù)學教育內(nèi)部

數(shù)學教育不應(yīng)當讓教師和學生都沉迷于符號的世界:概念靠記憶，計算靠程式，證明靠形式。為了改變這種現(xiàn)狀，一個好的數(shù)學教學，教師需要理解數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)出合適的教字情境，讓學生在情境中理解數(shù)學概念和運算法則，感悟數(shù)學命題的構(gòu)建過程，感悟問題的本原和數(shù)學表達的意義。為了說明這一點，下面引用一段愛因斯坦的話，這段話來源于1921年1月27日他在普魯土科學院所作的報告，那是在相對論剛被提出不久的時候：

數(shù)學既然是一種同經(jīng)驗無關(guān)的人類思維的產(chǎn)物，它怎么能夠這樣美妙地適合實在客體呢?那么，是不是不要經(jīng)驗而只靠思維，人類的理性就能夠推測到實在事物的性質(zhì)呢?

照我的見解，問題的答案扼要說來是:只要數(shù)學的命題是涉及實在的，它們就是不可靠的:只要它們是可靠的，它們就不涉及實在。我覺得，只有通過那個在數(shù)學中叫作“公理學”的趨向，這種情況的完全明晰性才成為公共財產(chǎn)。公理學所取得的進步，在于把邏輯形式同它的客觀的、或者直覺的內(nèi)容截然劃分開來;依照公理，只有邏輯形式才構(gòu)成數(shù)學的題材，而不涉及直覺的、或者別的與邏輯形式有關(guān)的內(nèi)容。

另一方面也是確定無疑的，一般來說，數(shù)學，特別是幾何學，它之所以存在，是由于需要了解實在客體行為的某些方面。......而僅有公理學的幾何概念體系，顯然不能對實在客體的行為作出任何斷言。為了能夠作出這種斷言，幾何學必須去掉單純的邏輯形式的特征，應(yīng)當把經(jīng)驗的實在客體同公理學的幾何概念的空架子對應(yīng)起來。

由此可見，雖然為了數(shù)學的嚴謹性，現(xiàn)代數(shù)學逐漸走向了符號化、形式化和公理化，但數(shù)學的教學過程卻應(yīng)當反其道而行之:雖然概念的表達是符號的，但對概念的認識應(yīng)當是有具體背景的;雖然證明的過程是形式的，但對證明的理解應(yīng)當是直觀的;雖然邏輯的基礎(chǔ)是基于公理的，但思維的過程應(yīng)當是歸納的。為此，在數(shù)學教育的過程中，把握數(shù)學基本思想是極為重要的，因為無論是情境的創(chuàng)設(shè)，還是問題的提出、思維的引導，都應(yīng)當源于數(shù)學的本質(zhì)，這個本質(zhì)就是數(shù)學基本思想。

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體現(xiàn)在數(shù)學教育外部

基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學教育必須重視這樣-一個基本事實，就是學生中的大多數(shù)，將來所從事的工作很可能不需要研究數(shù)學，因此，這些學生從事工作后，會把辛辛苦苦記住的那些數(shù)學概念、證明方法以及解題技能逐漸忘掉。這個現(xiàn)實，給基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學教育提出了一個非常本質(zhì)的問題:是否應(yīng)當在知識和技能的基礎(chǔ)上，還能讓學生感悟一些東西、 積累一些經(jīng)驗，讓學生終生受益呢?正是為了這個目的，我在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011 年版)解讀》的緒論中寫道:

與教學大綱相比，課程標準更加重視學生能力的培養(yǎng)和素養(yǎng)的提高?！稑藴?2011 年版)》的培養(yǎng)目標在原有“雙基”的基礎(chǔ)上，進一步明確提出了“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗”的要求，這樣就把“雙基”擴展為“四基”。希望學生在義務(wù)教育階段的數(shù)學學習中，除了獲得必要的數(shù)學知識和技能之外，還能感悟數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學思維活動和實踐活動的經(jīng)驗。

思想的感悟和經(jīng)驗的積累是一種隱性的東西，但恰恰就是這種隱性的東西在很大程度上影響人的思想方法，因此，對學生，特別是對那些未來不從事數(shù)學工作的學生的重要性是不言而喻的，這是學生數(shù)學素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，也是“育人為本”教育理念在數(shù)學學科的具體體現(xiàn)。

顯然，思想的感悟和經(jīng)驗的積累僅僅依賴教師的講授是不行的，更主要的是依賴學生親自參與其中的數(shù)學活動，依賴學生的獨立思考，這是一種過程的教育。

依據(jù)上面的說法，對于數(shù)學教育，“過程教育”所說的“過程”不是數(shù)學知識產(chǎn)生的過程，也不是數(shù)學家所描述的數(shù)學思維過程，而見學生自己理解數(shù)學的思維過程。一個人會想問題，不是學習的結(jié)果，而是經(jīng)驗的積累，是學生在獨立思考的過程中逐漸形成的思維習慣。因此在基礎(chǔ)教育階段，一個好的數(shù)學教育，應(yīng)當更多地傾向于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的習慣，像我們在前面談到過的那樣:會在錯綜復雜的事物中把握本質(zhì)，進而抽象能力強;會在雜亂無章的事物中理清頭緒，進而推理能力強;會在千頭萬緒的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而建模能力強。這些，恰恰是數(shù)學基本思想的核心。

傳播數(shù)學，普及大眾