·極限概念和積分思想

古希臘的阿基米德，對“無窮” 的概念進行了許多超前研究，他通過分析幾何物體的不同切面，成功地計算出物體的面積和體積。例如，他把球體體積看作無窮個圓的相加，成功地計算了這個無窮級數(shù)之和而得出了正確的答案。

比阿基米德還要早上七、八十年，中國春秋戰(zhàn)國時期的莊子（約前369年—前286年），在其哲學名著《莊子》中，記載了惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭。”這句話充分體現(xiàn)了中國古代哲人的極限思想。

惠施（約前370年-前310年）是戰(zhàn)國時期的一位政治家、辯客和哲學家。莊周和惠施，既是朋友又是對手。他們兩人都博學多才、犀利無比，經(jīng)常調侃爭辯、相互挖苦。之間的樁樁趣事，傳為千古佳話。

其中最有趣的是兩人有關“魚之樂”的對話，令人體會到兩位哲人機趣橫生的思辨力量。

莊周和惠施，立場觀點不同，氣質性格迥異，莊周富于藝術想象，惠施更重視邏輯辯解。日常生活中，兩人便經(jīng)常互相抬杠，進行一些無休止的辯論。

據(jù)說有一天，莊子與惠子散步漫游于橋上。

見河中魚兒有感，莊子曰：“水中魚兒從容自在，真是快樂啊！”

惠子立即反駁：“子非魚，安知魚之樂？”

莊子也不甘示弱：“子非我，安知我不知魚之樂？”

惠子又說：“我不是你，自然不了解你；但你也不是魚，一定也是不能了解魚的快樂的！”

莊子仍然要強詞奪理：“你最開頭問我：在哪兒知道魚是快樂的？所以你已經(jīng)知道我知道魚的快樂了！那么現(xiàn)在我來回答你：我是在岸邊知道魚是快樂的?！?/span>

…………

遺憾的是，惠施沒有專門的著作留下來。不過，他的哲學觀點、邏輯思考、音容笑貌、妙語名言，在莊周所著《莊子》中多有記載和描述。在《莊子-天下篇》中，記載了惠施的20個著名命題，最后一個命題便是我們文章開頭所說的“一尺之棰”。該命題的意思是說，一尺長的竿，每天截取一半，一萬年也分截不完！有點類似于有關“魚之樂”的對話，莊子的目的是：在書中借此命題調侃惠子并抒發(fā)己意，因此，他比喻說：如果有喜好爭辯的人，用上述命題與提出命題的惠施本人辯論，那么他們的辯論會延續(xù)一輩子沒完沒了！

但從另一方面，惠子這段名言，表明了中國古代哲學家已經(jīng)具有了“事物無限可分，但又不可窮盡”的極限思想之萌芽。每天被截取一半的竿子會越來越短，長度越來越趨近于零，但又永遠不會等于零，這正是不可窮盡的極限概念。

古代的數(shù)學家們，無論是西方還是東方，都將極限概念發(fā)揮用處，用于計算各種幾何形狀。

圖1：用多邊形來逼近圓周計算圓周率pi

例如，阿基米德計算圓的外接多邊形和內(nèi)接多邊形的面積，來逐步逼近圓周率的近似值。當多邊形邊數(shù)為96時，他計算出的圓周率在3.140845和3.142857之間。阿基米德所使用的“逼近法”和“窮舉法”，其實就是“微積分”的前身。他用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線和橢圓的面積等。而在使用無窮小量數(shù)學分析方式的“窮舉法”中，阿基米德認為，這種方法可以讓問題的答案達到任意精確度。

與阿基米德的方法類似，中國古代的劉徽和祖沖之，采用“割圓術” 來計算圓周率。所謂“割圓術”，就是在半徑為R的圓中作圓的內(nèi)接正多邊形。如圖1中所示，從4邊形開始，再畫8邊形，16邊形，32邊形，……這些多邊形的面積分別為A₄、A₈、A₁₆、A₃₂……如果把這個過程無限次地繼續(xù)下去，當多邊形的邊數(shù)n增加時，面積A_n就有可能精確地逼近圓的面積。

劉徽在割圓術的計算中，令所采用的圓的半徑總為 1，這樣使得圓的面積在數(shù)值上就總等于圓周率。劉微由此創(chuàng)立了一種求圓周率的科學方法。劉徽說：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓和體，而無所失矣”。意思是說，割得越細，圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的面積與圓面積之差就越小。

·古中國的算學

古中國和古希臘都有某些科學思想的萌芽，但即使在萌芽階段，也各具不同的特點。特點之一便是科學家進行科學活動的驅動力。古希臘科學家所進行的是更為純粹 理性的思考，很少顧及其后果和利益。而古中國科學活動的驅動力則顯示更多的功利色彩，所謂“實用”，也是功利主義的表現(xiàn)。這一特點，在不屬于科學范疇的數(shù)學領域，也有相對應的表現(xiàn)。

然而，數(shù)學畢竟是既迷人又有趣的思維活動，且中國古代數(shù)學家很多是屬于士大夫之類有閑階層。因此，中國古代數(shù)學的研究也不會完全是被“實用”目的所驅使，而很多是出自于對完美的追求和對研究的興趣。例如，祖沖之曾經(jīng)計算圓周率，一直精確到8位有效數(shù)字！這在當時看起來，應該不見得有多少實用價值。

我們無法得知古代數(shù)學家的主觀愿望，但由于中國封建社會的客觀現(xiàn)實，中國人腦海中根深蒂固的“學以致用”的傳統(tǒng)觀念，使得中國古代數(shù)學中仍然呈現(xiàn) “實用為目標，計算為中心” 的特點。

以《九章算術》為例可見一斑。所謂“九章”，指的是九個分類標題：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。其中不少題目都是直接取自于實際生活的具體場景。例如，“方田”是有關田畝面積，“粟米”有關糧食交易，“衰分”關于分配比例， “商功”關于工程，“均輸” 有關稅收，等等?？梢娊鉀Q實際問題是此書之主要目標。

而究其具體內(nèi)容，《九章算術》處理計算了大量復雜的問題。前面所列的九個分類中，包括了246個問題，以及202“術”。其中有多種幾何圖形（如線型和圓型圖形）的體積算法、面積算法等；有開平方術、開立方術；二項二次、二項三次等方程的解法；還有應用勾股定理解決問題的各種算法等等。從這些例子可看出其以計算為中心的特點。

中國古代數(shù)學中并非完全沒有理論，反之，有很多密切聯(lián)系實際的理論。特別是有不少與算法相關的推理、證明、及理論。中國古代的許多算法，稍加改變就可以用到現(xiàn)代的電子計算機上。這也是為什么將其稱之為“算學”的原因。

現(xiàn)代計算機中使用的二進位制思想，也據(jù)說起源于《周易》（也叫易經(jīng)）中的八卦法，早于德國數(shù)學家萊布尼茲2000多年。

務實的觀點造就了古中國的算學，使其具有獨創(chuàng)性，自成一個完整體系，可總結如下三大特色。

實用性：其計算問題大部分都取材于天文、歷法、農(nóng)業(yè)、測量、工程等等實用領域。

機械化：朝適用于某些機械運算的方向發(fā)展，以便可以使用算籌、算盤等為工具來實現(xiàn)運算。例如，算盤就是當時的計算機，珠算口訣就是計算程序。

代數(shù)化：將實用問題（包括幾何問題）轉化為方程組，然后再轉換成刻板的、機械的、用算具能實現(xiàn)的程序（例如逐次消元程序）來求解。

圖2：從算盤到計算機

中國的算學當時也影響到一些周邊國家的數(shù)學發(fā)展，如日本的和算，朝鮮半島的韓算，以及越南、琉球的算學等等。

中國著名數(shù)學家吳文俊，早年在拓撲學上作出了奠基性的工作，后來又繼承和發(fā)展了中國古代數(shù)學的傳統(tǒng)的算法化思想，專攻幾何定理的機器證明，在此領域頗有建樹。他認為中國古代數(shù)學有兩大特色：構造性與機械化。構造性是指從某些初始對象出發(fā)，通過明確規(guī)定的數(shù)學操作來展開理論，例如《九章》中的方程術、開方術等都是這樣。而機械化，就是刻板化和規(guī)格化。實際上，這兩個特性都有利于解析問題發(fā)展算法，便于使用現(xiàn)代電子計算機做數(shù)值計算。

中國古代數(shù)學的機械化思想，與古希臘數(shù)學中的公理化思想，是數(shù)學發(fā)展過程中的兩套馬車，都促進了數(shù)學的發(fā)展。古希臘數(shù)學以幾何為主，古中國數(shù)學多用代數(shù)方法，幾何比代數(shù)更容易公理化，代數(shù)比幾何更容易發(fā)展成機器使用的算法。幾何直觀形象而易于被眾人接受，代數(shù)在非專業(yè)人士眼中則顯得枯燥?？梢哉f當時的兩者各具優(yōu)缺點。但從歷史發(fā)展之事實而言，西方的公理化思想很幸運，碰到了因工業(yè)革命而誘導出來的“實踐精神”，與之結合而最后誕生了現(xiàn)代科學。然后，科學技術的發(fā)展基礎上，人類發(fā)明了現(xiàn)代計算機，后又發(fā)展了比當年古中國數(shù)學中的算法高明不知多少倍的各種計算機語言和算法。

而代表古中國機械化數(shù)學思想的“算學”，則命運不佳，只在算盤這樣的工具上施展功夫，雖然也活蹦亂跳了上千年，但沒有突破難以發(fā)展，最終無法避免被淘汰的命運。