1 引言

對(duì)量化投資感興趣的人大概都聽(tīng)說(shuō)過(guò)的 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式（又稱 Black-Scholes-Merton 公式，下稱 BS 公式）。它大概是將數(shù)學(xué)中隨機(jī)過(guò)程（stochastic process）的概念運(yùn)用到實(shí)際金融產(chǎn)品中的最著名的一個(gè)例子。美國(guó)華爾街的 Quant 職位面試中更是無(wú)一例外的會(huì)問(wèn)到 BS 公式及其引申出來(lái)的相關(guān)問(wèn)題，足見(jiàn)其地位。然而黑天鵝之父納西姆·塔雷伯（Nassim Nicholas Taleb，以《黑天鵝效應(yīng)》一書(shū)聞名于世）卻對(duì)它嗤之以鼻，更是寫(xiě)過(guò)一篇題為 Why we have never used the Black-Scholes-Merton option pricing formula（為什么我們從來(lái)不用BS期權(quán)定價(jià)公式）來(lái)抨擊它。

誠(chéng)然，BS 公式在投資實(shí)踐中能夠起到多大的作用見(jiàn)仁見(jiàn)智。但我們想說(shuō)的是，BS 公式僅僅是一結(jié)果，是隨機(jī)分析（stochastic calculus）經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶訉油蒲莸玫降漠a(chǎn)物。透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它背后蘊(yùn)含著強(qiáng)大的數(shù)學(xué)體系，使得我們可以運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程對(duì)股價(jià)、期權(quán)價(jià)格以及其他衍生品價(jià)格進(jìn)行量化建模。掌握這套分析體系對(duì)于有志于在量化投資領(lǐng)域有所建樹(shù)的人來(lái)說(shuō)十分必要。

想要摸清楚這套隨機(jī)分析體系并不容易。如果你在搜索引擎上查詢 BS 公式的推導(dǎo)體系，一定會(huì)看到諸如“布朗運(yùn)動(dòng)”、“伊藤引理”、“隨機(jī)微分方程”這些概念。它們都是這套分析體系中必不可少的組成部分，環(huán)環(huán)相扣，在隨機(jī)分析的大框架下完美的聯(lián)系在一起。熟悉這套分析框架的人可以充分的感受到這些基本模塊無(wú)縫的組合在一起所展示出來(lái)的數(shù)學(xué)的魅力。而對(duì)于不熟悉它的人來(lái)說(shuō)，這之中每一個(gè)概念都可能仿佛天書(shū)一般；即便是具有高等數(shù)學(xué)知識(shí)的人，想要很快的梳理出它們之間的邏輯聯(lián)系也并不容易。

簡(jiǎn)單的說(shuō)，（標(biāo)準(zhǔn)）布朗運(yùn)動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單的連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，它是描述證券價(jià)格隨機(jī)性的基本模型。而對(duì)于期權(quán)或其他衍生品這些金融工具，它們的價(jià)格是相關(guān)證券資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)。因此可以說(shuō)證券價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，而衍生品價(jià)格是該隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)。伊藤引理提供了對(duì)隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)做微分的框架；這對(duì)于衍生品的定價(jià)意義非凡（在此之前，人們是不知道如何對(duì)隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)做微分的）。通過(guò)伊藤引理，可以寫(xiě)出金融衍生品價(jià)格的隨機(jī)微分方程，通過(guò)對(duì)其求解便可以得到衍生品價(jià)格的模型。BS 公式就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子。

鑒于隨機(jī)分析的重要性，我們決定用兩期的量化核武研究專題來(lái)介紹它。行文會(huì)力爭(zhēng)深入淺出，但也會(huì)包括必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（這對(duì)理解相關(guān)概念至關(guān)重要）。

作為前篇，本文介紹布朗運(yùn)動(dòng)及其重要性質(zhì)，同時(shí)指出使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述股價(jià)的合理性，最后會(huì)引出伊藤引理的最基本形式。此外，為避免將本文寫(xiě)成偏數(shù)學(xué)的技術(shù)性文章，文中也花了很多篇幅揭示布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)對(duì)于股票投資的重要含義。

下一篇會(huì)進(jìn)一步介紹伊藤引理的一般形式，并用它求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)，最后推導(dǎo) BS 模型以及介紹 BS 公式（注：BS 模型是一個(gè)偏微分方程，而 BS 公式是一個(gè)解析形式的表達(dá)式）。希望通過(guò)這兩篇文章的介紹，讓感興趣的讀者直觀的理解這個(gè)分析框架，并且能夠感受到各個(gè)模塊無(wú)縫地組合到一起而最終得到一個(gè)優(yōu)雅的定價(jià)公式的數(shù)學(xué)之美。

2 布朗運(yùn)動(dòng)的發(fā)展和數(shù)學(xué)定義

1827 年英國(guó)植物學(xué)家羅伯特 · 布朗（Robert Brown）在使用顯微鏡觀察水中花粉微粒運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)了微粒的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，但是當(dāng)時(shí)并不能從物理學(xué)角度上很好的解釋其成因。1905 年，愛(ài)因斯坦詳細(xì)解釋了布朗發(fā)現(xiàn)的這種運(yùn)動(dòng)：微粒的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)是由水分子的撞擊形成的。從那以后，布朗運(yùn)動(dòng)在物理學(xué)上的發(fā)展日臻完善。

相比之下，數(shù)學(xué)上對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的描述發(fā)展的要慢一些。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x并描述布朗運(yùn)動(dòng)由諾伯特 · 維納（Norbert Wiener）在 1918 年提出，因此布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian motion）又稱為維納過(guò)程（Wiener process）。

布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)過(guò)程。一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是定義在時(shí)域或者空間域上的依次發(fā)生的一系列隨機(jī)變量的集合。以時(shí)域?yàn)槔绻@些隨機(jī)變量在整個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)域上都有定義，那么這個(gè)隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)隨機(jī)過(guò)程；反之，如果這些隨機(jī)變量?jī)H僅在時(shí)域上一些離散的點(diǎn)有定義，那么該隨機(jī)過(guò)程為離散隨機(jī)過(guò)程。

上面兩張圖分別為二維空間內(nèi)和時(shí)域上的（一維）布朗運(yùn)動(dòng)軌跡。時(shí)域上的這個(gè)一維布朗運(yùn)動(dòng)走勢(shì)和股票價(jià)格曲線的走勢(shì)看著非常相似，這便引起了人們利用它來(lái)描述股票價(jià)格走勢(shì)的興趣。事實(shí)上，早在 1900 年一個(gè)名叫路易斯 · 巴舍利耶（Louis Bachelier）的法國(guó)小伙就在他的博士論文《投機(jī)理論》（Théorie de la spéculation）中使用布朗運(yùn)動(dòng)分析股票和期權(quán)的價(jià)格。

說(shuō)幾句題外話，這個(gè)法國(guó)小伙的研究比愛(ài)因斯坦給出布朗運(yùn)動(dòng)的物理解釋還要早 5 年！比維納提出布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義更是早了 18 年！據(jù)說(shuō)由于他把數(shù)學(xué)應(yīng)用到了在當(dāng)時(shí)比較未知的領(lǐng)域——股票研究——他在答辯時(shí)的反響并不好。但是現(xiàn)在看來(lái)，這個(gè)小伙才是研究金融數(shù)學(xué)的先驅(qū)！

下文會(huì)進(jìn)一步解釋為什么使用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)運(yùn)動(dòng)是合適的?，F(xiàn)在，首先給出（一維）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（即維納過(guò)程）的定義。

如果一個(gè)定義在非負(fù)實(shí)數(shù)（時(shí)域）t 上的連續(xù)隨機(jī)過(guò)程 ｛B(t), t ≥ 0｝ 滿足如下三個(gè)性質(zhì)：

1. B(0) = 0；
2. 平穩(wěn)性：對(duì)于所有的 0 < s < t，增量 B(t) – B(s) 符合均值為 0，方差為 t - s 的正態(tài)分布；
3. 獨(dú)立增量性：對(duì)于不重疊的區(qū)間 [s_i, t_i]，隨機(jī)變量 B(t_i) – B(s_i) 之間是相互獨(dú)立的；

則 B(t) 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。

上述定義的白話解釋是：標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)在 t = 0 時(shí)的位置為 0。在任何有限時(shí)間區(qū)間 Δt 內(nèi)，布朗運(yùn)動(dòng)的變化滿足均值為 0 方差為 Δt 的正態(tài)分布 N(0, Δt)，其方差隨時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度線性增加。獨(dú)立增量性的意思是布朗運(yùn)動(dòng)在任何一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的變化與其他與之不重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)的變化無(wú)關(guān)。由該性質(zhì)可知，布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程（Markov process），即該過(guò)程在任意 t 時(shí)刻之后的位置僅和 t 時(shí)刻的位置有關(guān)，與 t 之前的歷史軌跡無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，該過(guò)程的當(dāng)前值就包含了對(duì)其未來(lái)做預(yù)測(cè)所需的全部信息。

3 布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

（標(biāo)準(zhǔn)）布朗運(yùn)動(dòng)有很多有意思的性質(zhì)，它們對(duì)于使用布朗運(yùn)動(dòng)及其變化來(lái)描述股票價(jià)格有非常重要的含義。這些性質(zhì)包括：

1. 它的軌跡會(huì)頻繁的穿越時(shí)間軸 t（在時(shí)間軸上下往復(fù)波動(dòng)）；
2. 在任意時(shí)刻 t，它的位置 B(t) 不會(huì)偏離正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差太遠(yuǎn)；
3. 令 M(t) 為 0 到 t 時(shí)刻內(nèi)的布朗運(yùn)動(dòng) B(t) 所能到達(dá)的最大值，即 M(t) = max_｛0≤s≤t｝B(t)，則“ M(t) 不小于任意給定閾值 a 的概率”等于“ B(t) 不小于任意給定閾值 a 的概率的兩倍”，即 Prob(M(t) ≥ a) = 2Prob(B(t) ≥ a)；
4. 布朗運(yùn)動(dòng)雖然連續(xù)，但是它處處不可微分（這是非常關(guān)鍵的一個(gè)性質(zhì)）。

首先來(lái)解釋前兩個(gè)性質(zhì)。下圖給出了 0 到 t 時(shí)刻內(nèi) 15 條標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的樣本軌跡。盡管它們呈現(xiàn)出各自的隨機(jī)性，但基本上每條軌跡都往復(fù)的穿越 y=0 這條線（即時(shí)間軸 t），僅有個(gè)別的樣本軌跡在 y=0 的單邊震蕩（對(duì)于這些軌跡，隨著 t 的增加，它們也一定會(huì)穿越 t 軸的）。此外，黑色的拋物線是方程 t=y^2 的曲線。可以看到，雖然每條樣本軌跡都有足夠的隨機(jī)性，但是在 t 時(shí)刻，它們都不會(huì)偏離這條拋物線上的點(diǎn) B(0) ± 根號(hào) t 太遠(yuǎn)。下圖右側(cè)是 t 時(shí)刻均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。這條拋物線的范圍對(duì)應(yīng)的就是該正態(tài)分布正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的變化。

假設(shè)我們使用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)日內(nèi)的高頻走勢(shì)（下文會(huì)說(shuō)明更加準(zhǔn)確的描述股價(jià)的模型是帶漂移項(xiàng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，但在此作為一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)使用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)），這兩個(gè)性質(zhì)意味著股價(jià)很大概率會(huì)在開(kāi)盤(pán)價(jià)上下波動(dòng)，而非一直維持在開(kāi)盤(pán)價(jià)上方或者下方；此外，隨著交易時(shí)間的推移，在t時(shí)刻股票的價(jià)格不會(huì)偏離“開(kāi)盤(pán)價(jià) ± 根號(hào) t × 價(jià)格波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差”太遠(yuǎn)。這些性質(zhì)對(duì)于想根據(jù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行投機(jī)操作的人非常重要。之前的文章《錯(cuò)過(guò)開(kāi)盤(pán)，不一定是“過(guò)錯(cuò)”》也對(duì)此有一些實(shí)證，它指出日內(nèi)股價(jià)在很大概率上會(huì)再次到達(dá)開(kāi)盤(pán)區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的價(jià)格，而非單邊震蕩。

第三條性質(zhì)給出了量化 t 時(shí)刻內(nèi)布朗運(yùn)動(dòng)極值的概率模型。由于 B(t) 是滿足均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布，因此 Prob(M(t) ≥ a) = 2Prob(B(t) ≥ a) 這個(gè)結(jié)果可以讓我們非常容易的求出 Prob(M(t) ≥ a) 的概率，即

其中 Φ 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。上式可以通過(guò)布朗運(yùn)動(dòng)的馬爾科夫性和反射性證明，在這里不在贅述。同樣的，如果令 m(t) 為 0 到 t 時(shí)刻內(nèi)的布朗運(yùn)動(dòng) B(t) 所能到達(dá)的最小值，即 m(t) = min_｛0≤s≤t｝B(t)，則再次利用反射性不難推導(dǎo)出 B(t) 的最小值低于給定閾值 a 的概率：

如果用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)，那么上述結(jié)果可以量化股價(jià)極值的概率分布。這對(duì)風(fēng)控以及在買(mǎi)賣(mài)股票時(shí)計(jì)算合理的限價(jià)單價(jià)格都是很有幫助的。

最后一個(gè)性質(zhì)是布朗運(yùn)動(dòng)作為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)至關(guān)重要的性質(zhì)，即它雖然連續(xù)，但是它處處不可微分（這一點(diǎn)可以通過(guò)利用中值定理以及性質(zhì)三的結(jié)論，使用反證法來(lái)證明）。這從直觀上非常好理解。再來(lái)看看上面那 15 條布朗運(yùn)動(dòng)的樣本軌跡，每一條都一直在上下波動(dòng)、充分地展示了其隨機(jī)性。顯然，布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡和我們熟悉的任何連續(xù)、平滑的方程軌跡完全不同。

不可微分性意味著古典微積分（classical calculus）中的分析手段在布朗運(yùn)動(dòng)面前黯然失效。這在當(dāng)時(shí)無(wú)疑是個(gè)令人沮喪的消息。因?yàn)槿藗兒貌蝗菀渍业搅艘粋€(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的隨機(jī)過(guò)程，但卻缺少進(jìn)一步研究它的手段。然而，這一切都隨著伊藤微積分（Itō calculus）的出現(xiàn)而迎刃而解。毫不夸張的說(shuō)，伊藤微積分奠定了現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

4 二次變分

考慮時(shí)間區(qū)間 [0, T] 和該區(qū)間內(nèi)的一個(gè)劃分 Π = ｛0 = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_N = T｝，則對(duì)于任意一個(gè)連續(xù)函數(shù) f(t)，它的二次變分（quadratic variation）定義為：

對(duì)于一個(gè)連續(xù)且在 0 到 T 內(nèi)處處可微的函數(shù) f(t)，通過(guò)利用古典微積分中的中值定理很容易得到如下不等式：

這說(shuō)明隨著對(duì)時(shí)間區(qū)間 [0, T] 越來(lái)越細(xì)的劃分，即 max_i｛t_[i+1] - t_i｝趨于0，這個(gè)連續(xù)且處處可微的函數(shù) f(t) 的二次變分為 0。

那么，如果將 f(t) 換為布朗運(yùn)動(dòng) B(t) 會(huì)怎樣呢？不要忘了，它雖然連續(xù)，但是處處不可微。關(guān)于 B(t) 的二次變分有如下定理：

隨著對(duì)時(shí)間區(qū)間 [0, T] 越來(lái)越細(xì)的劃分，即 max_i｛t_[i+1] - t_i｝趨于0，B(t) 的二次變分等于 T，即

其中 |Π| = max_i｛t_[i+1] - t_i｝。

布朗運(yùn)動(dòng)的這個(gè)性質(zhì)可以通過(guò)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的大數(shù)定理證明。對(duì)它的白話說(shuō)明是，作為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分是 T 而不是 0（與之相對(duì)應(yīng)的是，連續(xù)可微函數(shù)的二次變分為 0）。如何理解它呢？

考慮下面這個(gè)示意圖。其中藍(lán)色曲線為布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡，紅點(diǎn)為時(shí)間劃分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的該軌跡的位移。顯然，(B(t_[i+1]) – B(t_i))^2 為任意相鄰兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的位移差的平方。二次變分就是這些逐段位移差的累積平方和。

對(duì)于一個(gè)普通的連續(xù)可微函數(shù)，隨著對(duì)區(qū)間T越來(lái)越細(xì)的劃分，它的二次變分趨于 0。然而對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)，其非 0 的二次變分說(shuō)明隨機(jī)性使得它的波動(dòng)太頻繁，以至于不管我們?nèi)绾渭?xì)分區(qū)間 T、得到多么微小的劃分區(qū)間，這些微小區(qū)間上的位移差的平方逐段累加起來(lái)的總和都不會(huì)消失（即二次變分不為 0），而是等于這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度 T！這是布朗運(yùn)動(dòng)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)。

布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分公式也可以寫(xiě)作如下所示的無(wú)窮小量（infinitesimal difference）的形式：

碼了這么多的字來(lái)解釋二次變分，當(dāng)然不是為了用它說(shuō)明布朗運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)太頻繁；在本文第六節(jié)可以看到，二次變分在推導(dǎo)伊藤引理時(shí)有非常重要的意義。

5 用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述股價(jià)

前文介紹了標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，它在任意長(zhǎng)度為 t 內(nèi)的分布是均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布?，F(xiàn)在，考慮給標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)加上一個(gè)僅和時(shí)間 t 有關(guān)的漂移項(xiàng) μt，以及一個(gè)尺度參數(shù) σ，便得到一個(gè)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian motion with drift），記作 X(t) = μt + σB(t)。它在任意長(zhǎng)度 t 內(nèi)的分布滿足均值為 μt，方差為 (σ^2)t 的正態(tài)分布?？紤]無(wú)窮小量的形式，上式寫(xiě)作

這是一個(gè)隨機(jī)微分方程（stochastic differential equation）。隨機(jī)微分方程是普通微分方程的延伸，不同之處在于前者之中至少包括一項(xiàng)隨機(jī)過(guò)程。注意，上式與布朗運(yùn)動(dòng)不可微并不矛盾。雖然 B(t) 處處不可微，但是 dB(t) 仍有明確的含義，它表示布朗運(yùn)動(dòng)在一個(gè)無(wú)窮小的時(shí)間間隔內(nèi)的變化。

即便是有了帶漂移項(xiàng)和尺度參數(shù)的布朗運(yùn)動(dòng) X(t)，它仍然不是描述股價(jià)運(yùn)動(dòng)的最佳選擇。這是因?yàn)?X(t)，或者 B(t)，的取值隨著時(shí)間 t 的變化可以是負(fù)數(shù)，但是股票的價(jià)格顯然不能是負(fù)數(shù)。股價(jià)雖然不能是負(fù)數(shù)，但是股票的收益率卻有正有負(fù)，因此 X(t) 可以被用來(lái)描述收益率。

假設(shè) S(t) 為股票的價(jià)格，則 dS(t) 為股價(jià)在無(wú)窮小的時(shí)間間隔內(nèi)的變化量，而 dS(t)/S(t) 就是這段間隔內(nèi)的收益率，因此有

因此 S(t) 的隨機(jī)微分方程為：

滿足上述隨機(jī)微分方程的股價(jià) S(t) 是一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。人們喜歡使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)的原因是：

1. 正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布；
2. 馬爾科夫過(guò)程：由布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可知，服從上述模型的股票價(jià)格是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程，即當(dāng)前價(jià)格就包含了對(duì)其未來(lái)做預(yù)測(cè)所需的全部信息，這與弱有效市場(chǎng)假說(shuō)相符；
3. 布朗運(yùn)動(dòng)在時(shí)間上處處不可微以及二次變分不為零的性質(zhì)符合股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)的特征。

當(dāng)然，為了使用 S(t) 對(duì)股價(jià)進(jìn)行分析，必須能夠求解上述隨機(jī)微分方程。這需要用到伊藤微積分中的相關(guān)內(nèi)容。因此關(guān)于 S(t) 的求解將會(huì)在本系列的后篇中具體介紹。

在結(jié)束本節(jié)之前，再來(lái)看一個(gè)關(guān)于帶漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng)的有意思的例子?？紤]一個(gè)正實(shí)數(shù) μ，令 X(t) = μt + B(t)。由于 B(t) 的期望為 0，因此 X(t) 的期望為 E[X(t)] = μt。我們好奇的是，隨著時(shí)間 t 的推移，X(t) 的取值到底是由 μt 主宰還是由 B(t) 主宰。事實(shí)上，可以證明，X(t) 的取值是由 μt 支配。對(duì)于任何給定的 ε，只要時(shí)間 t 足夠長(zhǎng)，那么可以證明 X(t) 總會(huì)在 y = (μ – ε)t 和 y = (μ + ε)t 之間！

怎么樣？有沒(méi)有從這個(gè)例子中受到什么啟發(fā)？它說(shuō)明，如果我們堅(jiān)信股市長(zhǎng)期來(lái)看有慢牛行情（μ > 0），那么我們就應(yīng)該欣然的接受它的任何（短期）波動(dòng)而堅(jiān)持持股（即忽略 B(t) 的隨機(jī)性造成的擾動(dòng)）。因?yàn)殚L(zhǎng)期來(lái)看股價(jià)的變化是由 μt 決定的。我猜巴菲特一定是個(gè)數(shù)學(xué)家，他一定深諳此道，且通過(guò)其價(jià)值投資體系使得他的投資組合有著比美股指數(shù)更高的 μ，因此獲得了長(zhǎng)期穩(wěn)定的超額收益。

6 伊藤引理

布朗運(yùn)動(dòng)為人們研究股票價(jià)格提供了基礎(chǔ)。然而，對(duì)于金融衍生品，它們的價(jià)格是股票價(jià)格的函數(shù)。令 f(B_t) 為布朗運(yùn)動(dòng) B_t 的連續(xù)平滑函數(shù)，在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要的分析課題是研究在無(wú)窮小的時(shí)間區(qū)間內(nèi) f 是如何變化的，即 df 的性質(zhì)。由下文可知，由于布朗運(yùn)動(dòng)是不可微的，古典微積分對(duì)于求解 df 無(wú)能為力，而日本數(shù)學(xué)家伊藤清（Itō Kiyoshi）提出了與古典微積分不同的伊藤微積分打開(kāi)了解決這個(gè)問(wèn)題的大門(mén)，并為隨機(jī)分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

讓我們首先來(lái)看看古典微積分是如何失效的。為求 df（f 是布朗運(yùn)動(dòng) B_t 的連續(xù)平滑函數(shù)），應(yīng)用古典微積分中的鏈?zhǔn)椒▌t（chain rule）可得：

由于布朗運(yùn)動(dòng) B_t 處處不可微，因此導(dǎo)數(shù) dB_t/dt 不存在，所以上式?jīng)]有意義。第一次嘗試失敗。

那么我們能不能繞過(guò) dB_t/dt 呢，而僅僅使用 dB_t 呢？前文已經(jīng)指出 dB_t 有明確的含義，它表示布朗運(yùn)動(dòng)在一個(gè)無(wú)窮小的時(shí)間間隔內(nèi)的變化。因此我們有：

在這個(gè)表達(dá)式下，f’(B_t) 是可求的（因?yàn)?f 是一個(gè)連續(xù)平滑函數(shù)），而 dB_t 也是可求的?？此莆覀兝@過(guò)了 B_t 處處不可微的問(wèn)題。不幸的是，上面這個(gè)等式是不成立的。第二次嘗試依然以失敗收?qǐng)觥?/strong>

來(lái)看看上面這個(gè)式子為什么是錯(cuò)的。不要忘了，它實(shí)際上來(lái)自泰勒展開(kāi)（Taylor expansion）?？紤]一個(gè)一般函數(shù) f(x) 的泰勒展開(kāi)：

事實(shí)上，對(duì)于一般的函數(shù)，由泰勒展開(kāi)確實(shí)有 df = f’(x)dx，這是因?yàn)楫?dāng) Δx 趨近于 0 時(shí)，上式右側(cè)中除了第一項(xiàng) f’(x) Δx 外，其他所有項(xiàng)相當(dāng)于第一項(xiàng)都是高階小量、可以被忽略，因此上式的無(wú)窮小量的形式就是 df = f’(x)dx。但是，當(dāng) x = B_t 時(shí)，這個(gè)性質(zhì)并不成立。將 x 替換為 B_t 代入上式：

顯然，在上式右側(cè)中，第一項(xiàng) f’(B_t)ΔB_t 是重要的。那么其他項(xiàng)相對(duì)它來(lái)說(shuō)可以忽略嗎？你也許已經(jīng)猜到答案了：二次變分 (dB)^2 = dt！因?yàn)椴祭蔬\(yùn)動(dòng)的二次變分非 0，因此上式右側(cè)的第二項(xiàng)相對(duì)于第一項(xiàng)不是更高階的小量，而是同階的，因此它不能被略去（從第三項(xiàng)之后仍然是相對(duì)前兩項(xiàng)的高階小量，可以被忽略）。在無(wú)窮小量形式下忽略掉右側(cè)第三項(xiàng)開(kāi)始之后的所有項(xiàng)，并利用 (dB)^2 = dt，我們得到伊藤引理（Itō's lemma）的最基本形式：

它也是伊藤微積分中的基本關(guān)系式。

更一般的，如果一個(gè)平滑函數(shù) f 是時(shí)間 t 和某標(biāo)量 x 的函數(shù)，由古典微積分可知：

如果 x 為布朗運(yùn)動(dòng) B_t，則由伊藤微積分有：

可見(jiàn)，布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分造成求解 df 時(shí)，必須在古典微積分的基礎(chǔ)上考慮一個(gè)額外項(xiàng)。它就是f對(duì)標(biāo)量項(xiàng)（這里，標(biāo)量是 B_t 的取值）的二階導(dǎo)數(shù)（如果 f 僅僅是 B_t 的函數(shù)）或者二階偏導(dǎo)數(shù)（如果 f 即是 B_t 的函數(shù)又是 t 的函數(shù)）。這個(gè)結(jié)論，現(xiàn)在看來(lái)“不怎么起眼”，但是它改變了一切，它使人們可以將微積分運(yùn)用到隨機(jī)過(guò)程中。

我們會(huì)在本系列后篇中從伊藤引理出發(fā)繼續(xù)闡述如何求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程以及如何推導(dǎo)出 BS 期權(quán)定價(jià)公式。

7 小結(jié)

首先恭喜你看到這里……隨機(jī)分析絕不是一個(gè)令人愉悅的課題；這篇文章也比我想象的寫(xiě)起來(lái)更加耗時(shí)，原因是我想盡可能把復(fù)雜的概念簡(jiǎn)單的說(shuō)清楚，并把數(shù)學(xué)模型和股票波動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。

讓我們來(lái)簡(jiǎn)單總結(jié)一下本文都說(shuō)了點(diǎn)啥。

布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)用來(lái)描述股價(jià)走勢(shì)的有效模型。它的馬爾科夫性符合弱有效市場(chǎng)假說(shuō)。通過(guò)反射性，很容易計(jì)算出布朗運(yùn)動(dòng)在一段時(shí)間內(nèi)能夠到達(dá)的極值的概率分布，這對(duì)于投資中的風(fēng)控至關(guān)重要。進(jìn)一步的，幾何布朗運(yùn)動(dòng)可以作為對(duì)股價(jià)建模的更精確的模型。從長(zhǎng)期來(lái)看，幾何布朗運(yùn)動(dòng)的走勢(shì)由漂移項(xiàng)控制，這意味著對(duì)于慢牛的市場(chǎng)我們要做的是堅(jiān)定價(jià)值投資、長(zhǎng)期持股、忽視股價(jià)短期由隨機(jī)游走帶來(lái)的波動(dòng)。

另一方面，布朗運(yùn)動(dòng)雖然連續(xù)，但是它處處不可微，這和股價(jià)的劇烈波動(dòng)上躥下跳給人的感受是一致的。在金融數(shù)學(xué)中，很重要的課題是分析隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)（比如衍生品的價(jià)格是股票價(jià)格的函數(shù)）在無(wú)窮小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)如何變化，但布朗運(yùn)動(dòng)的不可微性和二次變分使得古典微積分對(duì)它無(wú)能為力。日本數(shù)學(xué)家伊藤清提出了古典微積分的變種——伊藤微積分，它考慮了布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分，從而提供了使用微積分的手段分析隨機(jī)過(guò)程及其函數(shù)的框架，奠定了現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。