【AugustLee的回答(13票)】:

別的題答不了，這個(gè)題還是要給個(gè)靠譜答案的。

伊藤引理的作用僅僅是其一，伊藤這個(gè)名字作用就很大?；緛碚f有伊藤過程，伊藤積分，伊藤引理三個(gè)重要概念。

長成dXt = drift * dt + diffusion * dWt這個(gè)德性的就是伊藤過程。在金融隨機(jī)分析里各種資產(chǎn)的價(jià)格過程，利率等都被我們假設(shè)成了伊藤過程。這也是BS公式的假設(shè)之一。

伊藤積分跟黎曼積分差不多，也是一個(gè)極限和，不過取的是左端點(diǎn)（取中點(diǎn)的是Stratonovich積分）。伊藤積分的良好性質(zhì)有很多，其中最主要的就是伊藤積分是一個(gè)martingale（鞅）。由于布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差不為0，極限和取中點(diǎn)和左端點(diǎn)及右端點(diǎn)做近似的時(shí)候，值是不一樣的（這與普通微積分的黎曼和不一樣），只有取左端點(diǎn)才是伊藤積分。

針對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)，處處連續(xù)處處不可導(dǎo)以及二次變差不為0，我們對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)的函數(shù)f(Wt）求導(dǎo)或者說求微分的時(shí)候，公式與普通微積分不一樣，這個(gè)求微分的公式，就是伊藤引理了。

至于說BS公式，它的思想可以說與ito引理無關(guān)，但是如Yupeng所說，體系還是Ito Calculus的體系下建立的數(shù)學(xué)模型。在進(jìn)行推導(dǎo)演算和證明的過程中，會(huì)用到Ito引理。

如果把伊藤引理和BS公式相比較，就好比把微積分和統(tǒng)計(jì)的分布函數(shù)相比較。后者雖然有自己的數(shù)學(xué)意義和實(shí)際意義，但是做不可或缺的計(jì)算時(shí)候，就要用到微積分的基礎(chǔ)。

更新

dXt = drift * dt + diffusion * dWt 可以寫成如下形式

這樣才是一個(gè)非常一般化的伊藤過程。這樣才是一個(gè)非常一般化的伊藤過程。

【于鵬的回答(7票)】:

在資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域，衍生產(chǎn)品的價(jià)格看作標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格（基于維納過程的隨機(jī)過程）和時(shí)間的函數(shù)，所以處理隨機(jī)過程函數(shù)微分的伊藤引理就起著非?；A(chǔ)的作用。包括BS方程的推導(dǎo)過程中，就有伊藤引理的直接應(yīng)用。

偷懶直接用從John Hull那本書上截圖的公式。BS方程的初始出發(fā)點(diǎn)是用期權(quán)和股票構(gòu)建一個(gè)組合如下12式：

這個(gè)組合在短時(shí)間內(nèi)的變動(dòng)情況由下面的13式給出。這個(gè)組合在短時(shí)間內(nèi)的變動(dòng)情況由下面的13式給出。

上面右邊如何展開？根據(jù)假設(shè)股票價(jià)格遵循下面(14.10)的運(yùn)動(dòng)。上面右邊如何展開？根據(jù)假設(shè)股票價(jià)格遵循下面(14.10)的運(yùn)動(dòng)。

那么只剩下f的運(yùn)動(dòng)如何描述？伊藤引理這時(shí)告訴你用下面的(14.11)式描述。那么只剩下f的運(yùn)動(dòng)如何描述？伊藤引理這時(shí)告訴你用下面的(14.11)式描述。

并且伊藤引理還說了，S運(yùn)動(dòng)和f運(yùn)動(dòng)中的維納過程z是一樣的。并且伊藤引理還說了，S運(yùn)動(dòng)和f運(yùn)動(dòng)中的維納過程z是一樣的。

這樣就可以將10和11兩式，代入13式消除z（這個(gè)的前提也是伊藤引理保證的：10和11中的z是同一個(gè)東西，否則無法消除。），得到下面的14式。

14式中已經(jīng)看不到隨機(jī)項(xiàng)z了，在短時(shí)間內(nèi)是無風(fēng)險(xiǎn)的。根據(jù)無套利假設(shè)得出下面的15式。14式中已經(jīng)看不到隨機(jī)項(xiàng)z了，在短時(shí)間內(nèi)是無風(fēng)險(xiǎn)的。根據(jù)無套利假設(shè)得出下面的15式。

再代入組合的定義12式，BS方程就得出了。再代入組合的定義12式，BS方程就得出了。

詳細(xì)的過程參見Johh Hull的原書。

【sage0614的回答(2票)】:

一種數(shù)學(xué)方法和一種金融思想是難以放在一起比較的。BS公式的意義在于他提出了我們可以通過自融資策略構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，而這個(gè)投資組合的收益應(yīng)該等于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益。假設(shè)沒有伊藤公式我們?nèi)匀挥泻芏噢k法在這個(gè)思維框架下對(duì)衍生品定價(jià)。在金融學(xué)中，這個(gè)思維框架的意義比它具體要怎么算的意義大得多。

【Yupeng的回答(1票)】:

Black Scholes算是Ito lemma的一個(gè)結(jié)果，是兒子于父親的關(guān)系。Ito calculus是一個(gè)新的calculus領(lǐng)域，和普通calculus有聯(lián)系又有區(qū)別。Ito lemma對(duì)于semimartingale pricing theory有著絕對(duì)的指導(dǎo)作用，因?yàn)樽龆▋r(jià)說白了最需要兩個(gè)定理：Ito lemma和Girsanov Measure Change Theory。

【ZhangAlex的回答(0票)】:

Ito lemma是一種求解BS函數(shù)的方法。Black和Scholes在求解微分方程的時(shí)候求解不下去了，碰到了Robert Merton就是得諾貝爾獎(jiǎng)的另一個(gè)專家，利用Ito lemma解出了這個(gè)方程。其實(shí)BS方程用很多其他方法也能求解，看姜禮尚老師的書用其他的方法也能求解。

【胖子的回答(0票)】:

Ito lemma是處理隨機(jī)過程中隨機(jī)微分的準(zhǔn)則。

簡而言之，在普通的微積分中，df(x,y)=fx dx+fy dy，這個(gè)是全微分的展開式（手機(jī)打不了下標(biāo)），大于一階的無窮小量忽略。

而在一個(gè)隨機(jī)過程里，dx=Adt+Bdz，其中dz服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在這里，由于dz不是傳統(tǒng)意義上的變量，所以不可以直接求微分。那么對(duì)于df(x)，就有Ito lemma，即除了保留傳統(tǒng)微積分中的一階dz和dt外，還要保留高階泰勒展開中的dz^2項(xiàng)，因?yàn)楦鶕?jù)定義，dz^2=dt也是一階小量。

由于隨機(jī)過程是描述金融產(chǎn)品價(jià)格的重要工具，所以Ito lemma作為基本手段非常重要。

建議樓主可以看一下coursera上UChicago 的Asset Pricing課程，是很好的零基礎(chǔ)入門課。感覺樓主對(duì)于資產(chǎn)定價(jià)和Ito lemma的用處還不是很了解，如有冒犯，請(qǐng)?jiān)彙?/p>

【解幺的回答(0票)】:

伊藤引理之于連續(xù)時(shí)間金融，和微積分之于經(jīng)濟(jì)學(xué)，車輪子之于法拉利，是一樣的。

伊藤引理和BS模型本來就不是一個(gè)維度的問題，一個(gè)是數(shù)學(xué)定理，另一個(gè)建立在假設(shè)上的模型，沒什么好比的。

【嚴(yán)冠麟的回答(0票)】:

不請(qǐng)自來，本人弱學(xué)生一枚，有幸對(duì)這個(gè)有所了解答一下：在最初的BS公式微分方程證明中（就是那個(gè)M和他們一起搞這個(gè)之前），伊藤引理使用了兩次：

第一次，在generate 股票的log normal假設(shè)時(shí)，在已知股票收益的mean和volatility時(shí)，用引理倒出log normal的mean和volatility：

第二次，在BS二人構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)無套利組合時(shí)，為了構(gòu)造衍生品的過程，同時(shí)消除衍生品不確定的sigma時(shí)用了第二次

公式右邊就是那個(gè)不確定的sigma項(xiàng)，系數(shù)delta正好是衍生品f對(duì)股票價(jià)格S的一階偏導(dǎo)。

這個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)無套利組合，需要賣出一分衍生品同時(shí)買入delta份股票，這個(gè)組合在t時(shí)間后正好賺取無風(fēng)險(xiǎn)利潤rt。

兩者大致是這樣的關(guān)系，除了BS公式，凡是基于時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格二元函數(shù)的隨機(jī)過程（稱為伊藤過程），都要用到伊藤引理，同時(shí)BSM微分方程也是所有基于標(biāo)的資產(chǎn)和時(shí)間標(biāo)價(jià)衍生品的通用方程。

然后我們的莫頓祖師來了，說不用解偏微分方程，只要在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下求E[max(St-K)]的積分就行了！于是本科生都會(huì)這個(gè)了。

值得一提的是，BS公式的貼現(xiàn)方式可以根據(jù)不同measure改變。風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)是e^-rt；遠(yuǎn)期風(fēng)險(xiǎn)中性是r要加一個(gè)lambda*sigma，lambda這里可以理解成夏普比率；也可以用zerobond的現(xiàn)值作為測度貼現(xiàn)

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