一、旋轉（典型問題：費馬點）

例.△ABC中，∠ACB=30o，BC=6，AC=5，在△ABC 內部有一點P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．

解析：

此類問題的基本策略是化分散為連續(xù)、化拆線為直線，PA、PB、PC需轉化為連續(xù)折線。我們運用全等旋轉變換把△APC旋轉60度至△AP'C'，可以實現(xiàn)把分散線段PA+PB+PC轉化為連續(xù)折線PB+PP'+PC'。

易知三折線共線時最短，便可轉化為求線段BC'的長。

二、拼接

例.ΔABC中，∠BAC=45°，AB=3√2，BC=6，D、E是BC、AC上的動點，且BD=CE，求AD+BE的最小值。

解析：

此類問題思考的基本策略不變，仍是需把分散的AD、BE轉化成連續(xù)折線段，考慮到有BD=CE這一條件，可以把ΔABD和ΔBCE拼接在一起，使AD、BE構成連續(xù)折線，再把折線拉直。

思考：能夠拉直需具備什么條件？

[連續(xù)折線的兩端是定點，動點及其所在軌跡位于定點之間。（這是這類問題變換的目標模型）]

如下圖，把ΔABD移至ΔBCE處使BD與CE重合即可拼接，轉化為定點B到定點F的最小路徑問題。

根據(jù)兩點之間線段最短，當動線段BE、EF共線時，AD+BE最小。

上述兩種變換方法目的都是把線段拼接成連續(xù)折線，再求兩點之間的線段得到最小值。

例1.矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、P分別是AD、CD邊上的動點，AF⊥BE，求PF的最小值。

解析：

本題中E是動點，F(xiàn)點是動點，需先確定點F的軌跡，顯然由定線對定角得F點軌跡是以AB為直徑的圓：

折線AP、PE在CD同側，無法拉直，再把點A進行翻折變換即可轉化為點到圓的最短路徑：

如下圖，把PF、PA'拉直并過圓心得A'F即為最小值：

例2.如圖，ΔABC中，∠ACB=45°，AC=8，BC=6√2，D是平面內一點，且CD=4，求0.5AD+BD的最小值。

解析：

由條件易知ΔABC的形狀大小一定，D是動點，需先確定D點的運動軌跡，由定點&定長知D點在以C為圓心4為半徑的圓上。

再把0.5AD用相似變換進行轉化，取CE=1/2CD，由CD:CA=CE:CD判定相似得DE=1/2AD，變?yōu)槎cB到定點E的最短路徑。

如下圖，B、D、E共線時，得BE=2√13。

當然，如果上題如果不考慮軌跡圓，只構造相似三角形同樣可以根據(jù)三邊關系得解。建議還是要明確點的軌跡，使問題更清晰，更見整體和全局。

上述問題都是需要先確定動點軌跡，再變換折線位置使之居于動點兩側，以便化折為直得到最短路徑。

1.邊長為4的正方形ABCD中，P是內部一點，求PA+PB+PC的最小值。

2.矩形ABCD中，E是AD上的動點，F(xiàn)在BE上且∠BAF=∠AEB，G為BC的中點，在FG右側作等邊ΔFGH，求CH的最小值。

3.矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P、Q兩點分別從B、D兩點出發(fā)以相同的速度向A點運動，求CP+BQ的最小值。

4.如圖，直角坐標系中，等腰直角三角形ABC中∠C=Rt∠，AB⊥x軸，AB=6，P是x軸正半軸上一動點，在運動過程中保持AP=PO，已知D（-2, 0），求BD+OB的最小值。