背景知識

初中幾何中的最值問題，歸根結(jié)底，最終無非轉(zhuǎn)換成如下兩種類型：

• 兩點(diǎn)之間直線段最短
• 點(diǎn)線之間垂線最短

最終線段長度的求取，無非就是利用了相似或全等，用勾股定理、三角函數(shù)、面積等方式將長度求出來。

而為了提升大家的解題效率，各位前輩老師們總結(jié)了很多模型。

• 將軍飲馬
• 胡不歸
• 費(fèi)馬點(diǎn)
• 阿氏圓
• 瓜豆原理
• 其他

將軍飲馬

將軍飲馬的本質(zhì)是“兩定一動”問題，解答的關(guān)鍵是要找到兩個(gè)定點(diǎn)，然后根據(jù)動點(diǎn)所在直線軌跡，對其中一個(gè)定點(diǎn)作出其對稱點(diǎn)，然后運(yùn)用“兩點(diǎn)之間直線段最短”之類的基本原理就將最值簡化為對稱點(diǎn)和另一個(gè)定點(diǎn)的距離。

胡不歸

胡不歸模型和將軍飲馬類似，本質(zhì)上只是某線段增加了一個(gè)系數(shù)，形如PA+k·PB，我們需要利用正弦或其他手段將其轉(zhuǎn)換成PA+PC形式。

對于r·PA+r·k·PB類，我們可以將其轉(zhuǎn)換成r·(PA+k·PB)形式，這里的k一般小于1，這樣才能利用三角函數(shù)來轉(zhuǎn)換。

阿氏圓

胡不歸模型和將軍飲馬模型，本質(zhì)上是動點(diǎn)在線段上移動，如果動點(diǎn)在圓上移動，我們就可考慮用阿氏圓來轉(zhuǎn)換。

阿氏圓的一般會涉及到若干個(gè)定點(diǎn)，需要我們利用阿氏圓的性質(zhì)去確認(rèn)未知的定點(diǎn)，然后將帶系數(shù)的線段轉(zhuǎn)換成不帶系數(shù)的線段。

「阿氏圓的定義」

平面中到兩定點(diǎn)的距離之比為K(k≠1)所有點(diǎn)的集合。

這個(gè)我們一般結(jié)合內(nèi)外角的角平分線定理來證明。

我們可以借助于阿氏圓，將帶系數(shù)的PA+k·PB最值問題轉(zhuǎn)換為常見的PA+PC問題。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們一般根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡確定直徑MN，或者根據(jù)相似三角形確定B點(diǎn)的位置，也有可能根據(jù)角平分線來確定B點(diǎn)的位置。

費(fèi)馬點(diǎn)

費(fèi)馬點(diǎn)的本質(zhì)就是求一個(gè)動點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離之和，通過將某個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)60°，從而將三條線段歸集到一個(gè)方向上。

瓜豆模型

瓜豆模型涉及主動點(diǎn)和從動點(diǎn)，主動點(diǎn)的移動引發(fā)了從動點(diǎn)的移動。如果主動點(diǎn)沿著直線移動，則從動點(diǎn)也會沿著直線移動，如果從動點(diǎn)沿著圓移動，則從動點(diǎn)也會沿著圓移動。種瓜得瓜，種豆得豆，這樣就被各位前輩老師們形象地總結(jié)成瓜豆模型。

如果從動點(diǎn)按直線移動，那我們就尋找一個(gè)比較容易確定的初始點(diǎn)，將從動點(diǎn)的軌跡快速繪制出來。

如果從動點(diǎn)按圓移動，那么我們就要找到圓心、半徑之類的。

瓜豆模型本質(zhì)上是「旋轉(zhuǎn)相似」的應(yīng)用，我們要找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度和旋轉(zhuǎn)的比例。如果旋轉(zhuǎn)比例是1:1，那我們就可構(gòu)造出全等三角形，如果不是1:1，那就要構(gòu)造出相似三角形。

隱圓模型

題目中沒有提到圓，但根據(jù)傳統(tǒng)的圓的知識，我們可以找到圓。

此類模型比較常見，傳統(tǒng)的和圓相關(guān)的知識有：

• 定點(diǎn)定長
• 直徑對直角
• 定邊對定角
• 對角互補(bǔ)
• 托勒密逆定理
• 弦切角等于圓周角
• 垂徑過圓心
• 同弧圓周角是圓心角的一半
• 相交弦定理
• 切割線定理
• ……

將軍飲馬模型

示例1

?

在三角形ABC中，∠A=60°，∠C=75°，AB=10，D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的動點(diǎn)，求三角形DEF的周長的最小值。

?

解題過程

依題意，D、E、F是三個(gè)動點(diǎn)，我們先假設(shè)E是定點(diǎn)，然后依次做出E點(diǎn)關(guān)于AB和AC的對稱點(diǎn)來。

如下圖所示，我們連接DE?、FE?、E?E?。

所求三角形DEF的周長就轉(zhuǎn)換成DE?+DF+FE?的長度。

由于兩點(diǎn)之間線段最短，很明顯：

那E?E?的值怎么求呢？

由于E其實(shí)也是動點(diǎn)，那么當(dāng)E運(yùn)動的時(shí)候，E?E?的長度也是動態(tài)變化的，那也可能存在最值，什么時(shí)候E?E?最短呢？

題目中還有幾個(gè)條件沒用上呢。

如圖，我們連接AE?、AE?、AE，根據(jù)對稱性，我們可以知道：

因此，三角形AE?E?其實(shí)是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形。

那這樣就容易理解了。

線段E?E?的長度依賴于AE的長度，我們就將題目轉(zhuǎn)化為求AE的最小值。

由于點(diǎn)到直線之間垂線最短。

我們過A點(diǎn)作BC的垂線，當(dāng)E為垂足時(shí)，AE最短。

圖5

由于∠C=180°-60°-75°=45°，AB=10，

所以三角形ABE是等腰直角三角形，因此：

此時(shí)：

所求最小值就是，完畢。

這類題目，如果不用將軍飲馬來解決，計(jì)算量就很大。

可以查看動圖直觀感受下：

示例2

?

如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，AE=BF，求DE+DF的最小值。

?

解題過程

分析此題，存在E和F兩個(gè)動點(diǎn)，這似乎和將軍飲馬模型不大匹配呢，另外，兩個(gè)定點(diǎn)要怎么確定呢？

由于題目告訴我們AE=BF，那這兩個(gè)動點(diǎn)似乎是正相關(guān)的，其實(shí)就相當(dāng)于一個(gè)動點(diǎn)。

由于正方形的邊都相等，我們可以利用三角形全等，將看起來沒關(guān)聯(lián)的線段關(guān)聯(lián)起來。

如下圖：

我們連接AF，根據(jù)SAS全等，可以知道：

因此，AF=DE。

這樣，我們就可以將A和D當(dāng)作定點(diǎn)，F這個(gè)動點(diǎn)就在BC上移動。

我們作A點(diǎn)關(guān)于BC軸的對稱點(diǎn)A'，連接FA'和DA'。

很明顯，AF=A'F，

因此，所求最小值就轉(zhuǎn)換成了求FA'+DF的值。

很明顯，當(dāng)D、F、A'三點(diǎn)共線時(shí)，所在的線段長度最短，其實(shí)也就是DA'的長度。

根據(jù)勾股定理，DA'的長度就是：

因此，所求最小值就是。

胡不歸模型

胡不歸模型的動點(diǎn)在直線上，和將軍飲馬相比，就是多了系數(shù)。而阿氏圓模型和胡不歸不同的是其動點(diǎn)在圓上。

示例1

?

在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2。若點(diǎn)D是BC上的動點(diǎn)，則2AD+DC的最小值是多少。

?

解題過程

胡不歸和將軍飲馬比較類似，關(guān)鍵在于胡不歸的某個(gè)線段前面帶了一個(gè)系數(shù)，譬如本題中的2AB+DC。

由于2比1大，我們就需要轉(zhuǎn)換一下。譬如提取2，從而將系數(shù)轉(zhuǎn)移到DC上，從而和角度的正余弦結(jié)合起來，轉(zhuǎn)換為兩點(diǎn)距離或點(diǎn)線距離之類的基本類型。

注意到∠C=30°，在此類直角三角形中，短直角邊剛好是斜邊的一半。

因此，此題我們可以轉(zhuǎn)換為求AD+0.5DC的最小值。

如圖所示，我們過D點(diǎn)作AC的垂線，垂足為E，連接DE。

很明顯，。

這里，我們應(yīng)用下將軍飲馬，作E點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E'。

連接CE'、DE'、AE'，有DE=DE'。

在三角形ADE'中，很明顯：

由于D是動點(diǎn)，那么AE'的長度也是變化的，當(dāng)點(diǎn)D處于什么位置的時(shí)候，AE'最短呢？

我們仔細(xì)觀察，在三角形ACE'中，邊AC的長度是固定的，∠ACE'=60°，因此，當(dāng)AE'⊥CE'的時(shí)候，AE'最短。

此時(shí)，

所以，所求最小值為6，完畢。

示例2

?

在棱形ABCD中，∠D=120°，AB=3，P為對角線AC上一動點(diǎn)，求0.5PA+PB的最值。

?

解題過程

此題和題目二一樣。

由于存在30°特殊角，因此PA的一半很容易表達(dá)出來。

我們過P點(diǎn)作AD的垂線，垂足為E，連接BE、PE。

很明顯，

當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號。

因此，題目就轉(zhuǎn)換為求BE的最小值。

同理，p為動點(diǎn)，BE什么時(shí)候最短呢？

在三角形ABE中，AB定長，∠BAE=60°。

因此，。

所求最小值就是。

當(dāng)E和A、D重疊時(shí)，取最大值為3。

示例3

?

在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，求：

的最小值。

?

解題過程

本題中的比較突兀，并且比1大，我們怎么將其和角度關(guān)聯(lián)起來呢？

我們將提取出來，將問題轉(zhuǎn)換為：

看到，我們是不是可以想到一個(gè)直角三角形，長直角邊是短直角邊的2倍，這樣小角的正弦值就是這個(gè)。

我們延長CB到點(diǎn)E，使AB=2BE，那么：

從而：

從而，原題轉(zhuǎn)換為求CD+DF的最小值。

由于點(diǎn)C固定，DF⊥AE，很明顯：

也就是點(diǎn)C到線段AE的垂線最短。

根據(jù)面積關(guān)系，有：

所以，所求最小值為10，完畢。

費(fèi)馬點(diǎn)模型

在費(fèi)馬點(diǎn)模型中，三角形所有的角必須小于120°，否則，費(fèi)馬點(diǎn)就在角度最大的頂角上。

示例1

?

正方形ABCD邊長為2，M為對角線BD上的一個(gè)動點(diǎn)，求DM+2CM的最小值。

?

解題過程

此題中的兩倍CM怎么來表示呢？

注意到對角線的對稱性，我們連接AM和AC，

此題就轉(zhuǎn)換成：

?

M為三角形ABC中的一點(diǎn)，求該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和的最小值。

?

這就是比較典型的費(fèi)馬點(diǎn)問題。

我們以MB為邊作等邊三角形，以AB為邊作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形方向都一致。

其實(shí)，也是將三角形AMB往左旋轉(zhuǎn)60°到FEB。

可以看到，

根據(jù)三角形SAS全等關(guān)系，，

所以，。

所以，

可以看到，無論M點(diǎn)怎么動，CF總是固定的。

可以看到，在三角形BCF中，

可以看到：

15°其實(shí)也是特殊角，如果知道就可以直接寫出答案。

如果不知道，我們可以過F點(diǎn)作BC延長線上的垂線，垂足為G點(diǎn)，連接FG、BG。

可以得到一個(gè)特殊的直角三角形BGF，其中∠FBG=30°。

因此，根據(jù)勾股定理，有：

此時(shí)BD和CF的夾角就是：

完畢。

阿氏圓

阿氏圓的動點(diǎn)軌跡在圓上，這點(diǎn)和胡不歸不一樣。

示例1

?

如圖，在直角三角形ABC中，AB=AC=4，AE=AF=2，點(diǎn)P是扇形AEF的弧EF上的任意一點(diǎn)，連接BP、CP，求的最小值。

?

解題過程

因?yàn)闋可娴綀A，我們優(yōu)先利用阿氏圓的性質(zhì)來解決。

結(jié)合阿氏圓的標(biāo)準(zhǔn)圖，圓心我們是確定了，由于牽涉到PB的一半，那我們就將點(diǎn)B當(dāng)作其中一個(gè)定點(diǎn)，那我們需要確定另外一個(gè)定點(diǎn)的位置。

怎么確定另一個(gè)定點(diǎn)的位置呢？這里不大方便用角平分線，那我們就用相似三角形。

假設(shè)所求的另一個(gè)定點(diǎn)是點(diǎn)D，那么，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和k的值，我們有：

所以，可以得到：

因此，我們就確定了點(diǎn)D的位置。

滿足阿氏圓的相關(guān)性質(zhì)：

因此，原題就轉(zhuǎn)換成了求PD+PC的最小值。

很明顯，兩點(diǎn)之間直線最短，此時(shí)C、P、D三點(diǎn)共線。

因此，所求最小值就是：

完畢。

示例2

?

如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，P點(diǎn)在圓心為B、半徑為BE的圓上，求的值。

?

解題過程

此題稍微不同，PA和PF都帶有系數(shù)，并且圖形基于軸BD對稱。

由于點(diǎn)P為圓上的動點(diǎn)，那我們優(yōu)先用阿氏圓來解決。

如果將A當(dāng)作定點(diǎn)，將AB上的G點(diǎn)當(dāng)作另一個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，有：

從而，我們確定了G點(diǎn)的位置。

根據(jù)三角形相似關(guān)系，有：

從而得到：

同理，我們將點(diǎn)C和點(diǎn)F當(dāng)作定點(diǎn)，再一次利用下阿氏圓。

因此，也存在：

從而，可以得到：

因此，所求等價(jià)于：

當(dāng)點(diǎn)C、P、G三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，此時(shí)，根據(jù)勾股定理，最小值為：

完畢。

示例3

?

如圖所示，在三角形ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，圓A的半徑為6，P是圓A上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PB、PC，求3PC+2PB的最小值。

?

解題過程

這里因?yàn)?code>AC的值還需要另算，而AB已知，那我們先將點(diǎn)B當(dāng)作定點(diǎn)，線段AB上的點(diǎn)D當(dāng)作另一個(gè)定點(diǎn)，則有：

圖24

由于：

那么：

在三角形BCD中，如果學(xué)過余弦定理，那么就可直接求出CD。

如果沒學(xué)過，我們就剛好可以根據(jù)勾股定理來求。

那么，所求最小值就是3x7=21。

有點(diǎn)湊巧，比預(yù)想的簡單一些。

瓜豆模型

示例1

?

如圖所示，三角形ABC是邊長為4的等邊三角形，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上的一個(gè)動點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，求AF的最小值。

?

解題過程

很明顯，當(dāng)點(diǎn)D移動時(shí)，點(diǎn)F跟著移動，D是主動點(diǎn)，F是從動點(diǎn)。

由于點(diǎn)D是在線段上移動，那么點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡也是一條線段。

在草稿紙上作圖的時(shí)候，我們考慮將D點(diǎn)移動到C點(diǎn)，那么F點(diǎn)在邊AC的中垂線上，EF為邊AC的一半，然后將兩點(diǎn)一連，就可以畫出F點(diǎn)的運(yùn)動軌跡所在的直線。

但此題也可以走正規(guī)一點(diǎn)的途徑，由于AE⊥AC、DE⊥EF，所以∠BED=∠CEF，

又由于DE=EF，其實(shí)我們是完完整整地將三角形BDE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°，相當(dāng)于將BD旋轉(zhuǎn)了90°，那么F點(diǎn)的軌跡就和BD垂直。

如圖所示：

我們連接BE、延長EC到G點(diǎn)，確保EB=EG，連接GF并延長到I點(diǎn)，確保GI⊥AI。

根據(jù)三角形SAS關(guān)系，我們可以確定：

因此，可以確定：

因此，當(dāng)AF⊥GF時(shí)最短，此時(shí)F點(diǎn)和I點(diǎn)重合。

在直角三角形AGI中，由于存在30°銳角，

完畢。

動畫演示效果如下：

.

示例2

?

如圖所示，正方形ABCD邊長為4，G為邊BC上的動點(diǎn)，E為DG的中點(diǎn)。AG⊥A'G且AG=A'G。

求GA'的最小值。

?

解題過程

當(dāng)G點(diǎn)移動的時(shí)候，A'點(diǎn)跟著移動，因此G為主動點(diǎn)，A'為從動點(diǎn)。

由于G在線段BC上移動，那么A'也是在線段上移動。

那怎么確定A'的移動軌跡呢？

如果我們將G移動到B點(diǎn)，很明顯，A'點(diǎn)和C點(diǎn)重疊。如果我們將G移動到C點(diǎn)，很明顯，A'點(diǎn)就到了直線AD上，并且DA'=DA。

因此，我們連接AA'、CA'。

這里不大好辦的是，當(dāng)A'點(diǎn)移動的時(shí)候，E點(diǎn)也跟著移動，跟前面列舉的幾個(gè)模型都不大匹配。

我們可以設(shè)BG=a去計(jì)算，也可以用設(shè)∠BAG=α用三角函數(shù)去計(jì)算。

這里我們選用前一種。

如果利用勾股定理去計(jì)算，那我們就需要將兩個(gè)直角邊作出來。

如圖所示：

我們過A'、E點(diǎn)作BC的垂線，分別交BC和其延長線于F和H。

連接A'F、EH、CF。

過A'作EH的垂線，垂足為I，連接IH。

可以看到，我們可以利用直角三角形EIA'，將其斜邊EA'求出來。

依題意，由于：

所以，。

根據(jù)ASA關(guān)系，可以確認(rèn)：

因此，BG=FA',AB=FG=BC。

由于BC和FG共CG，所以CF=BG=FA'=a。

由于IHFA'是矩形，所以IH=FA'。

由于E是DG中點(diǎn)，EH//DC，所以EH是三角形DGC的中位線，

所以：

所以：

根據(jù)勾股定理：

很明顯，當(dāng)的時(shí)候取最小值。

此時(shí)：

所求最小值就是。

這個(gè)例子舉得不大好，雖然是瓜豆模型，但解答過程沒用上前面所涉及的模型。

隱圓模型

隱圓比較隱晦，有時(shí)候需要經(jīng)過求證才能發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候就直接運(yùn)用圓的一些基本性質(zhì)就可以確定。

示例1

?

如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，E、F是邊AD上的兩個(gè)動點(diǎn)，并且AE=DF。

連接CF交BD于G，連接BE交AG于H，求線段DH的最小值。

?

解題過程

此題隱藏了一個(gè)圓。

根據(jù)SAS關(guān)系，我們可以確定：

從而可以確認(rèn)∠EAH=∠ABE。

從而可以確定：

從而，可以確認(rèn)AG⊥BE。

從而，可以確定一個(gè)以AB為直徑的圓。

如圖所示：

我們以AB為直徑作圓，其圓心為O，連接OH和OD，可以看到，動點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡其實(shí)是圓。

因此，當(dāng)DH經(jīng)過圓心O的時(shí)候，DH最短。

此時(shí)：

示例2

?

如圖，在長方形ABCD中，AD=12，AB=8，E是邊AB上的一點(diǎn)，BE=3，F是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)。

若將三角形EBF沿著EF對折后，點(diǎn)B落在了點(diǎn)P處，求DB的最小距離。

?

解題過程

此題也隱藏了一個(gè)圓。

圓心是定點(diǎn)E，半徑是定長EB，當(dāng)F點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，P點(diǎn)就沿著該圓運(yùn)動。

如圖：

我們以E為圓心，EB為半徑畫圓，并連接DE。

可以看到，當(dāng)D·、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，DP最短。

此時(shí)：

完畢。

示例

?

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠B=60°，∠D=30°。

（1）連接BD，探究AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明。

（2）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動，且滿足，求點(diǎn)E運(yùn)動路徑的長度。

?

解題過程

我們剛到∠B和∠C的關(guān)系，就要想到圓心角和圓周角的關(guān)系，

為了讓它倆落在一個(gè)圓內(nèi)，我們作B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)O。

可以看到，A、C、D三點(diǎn)共圓，圓心為O，

同樣，A、B、C三點(diǎn)共圓，圓心可以是A，也可以是C。

（1）探究三條線段之間的關(guān)系，第一直覺就是覺得它們可能滿足勾股關(guān)系。

那怎么將這三條線段搞到一個(gè)直角三角形中去呢？

由于三角形ABC是一個(gè)等邊三角形，如果我們將三角形BCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖所示：

根據(jù)全等關(guān)系，有：

由于：

所以，可以確定：

由于BD=BD’，所以，三角形BDD’是等邊三角形。

所以BD=DD'。

所以，在直角三角形DAD'中，存在：

也就是：

（2）如果E是內(nèi)部一點(diǎn)，如果要滿足的關(guān)系，

那我們也需要找到一個(gè)直角三角形，參考第一問，我們可以將三角形BEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BE'A。

如圖所示：

圖38

根據(jù)三角形全等關(guān)系和等邊三角形BEE'，有：

因此，此時(shí)的E點(diǎn)就滿足：

也就是：

此時(shí)的∠BE'A總滿足：

也就是說，∠BEC也是個(gè)定角，恒滿足：

定邊對頂角，說明點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡也在一段圓弧上。

那圓心和半徑怎么確定呢？

考慮到在圓的內(nèi)接四邊形中，對角互補(bǔ)的關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)，BC弦所對的另一個(gè)角恰好是30°，

因此，BC弦所對的圓周角是60°,假設(shè)圓心為A'，則三角形BA'C也是等邊三角形，

因此，圓的半徑為1,

所以，E點(diǎn)的運(yùn)動軌跡就是一段圓弧，其運(yùn)動路徑的長度就是：

完畢。

這個(gè)例子只是涉及到了隱圓，和最值也沒太大的關(guān)系。

其他

其他的方法有用三角函數(shù)轉(zhuǎn)不等式，也有用函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)韋達(dá)定理的，限于篇幅，這里就不再列舉了。

后記

本文所引用的例子，部分是網(wǎng)友們咨詢的，部分是從網(wǎng)上搜索的。

由于手頭例子比較緊張，加上時(shí)間比較匆促，所引用的個(gè)別例子做完后才發(fā)現(xiàn)和主題不大匹配，大家權(quán)且看看哈。