一元二次方程兩根代數(shù)式求值問(wèn)題的一般解法是：先由韋達(dá)定理（根和系數(shù)的關(guān)系）寫(xiě)出兩根和及兩根積的值，再把求值代數(shù)式變形整理為關(guān)于兩根和及兩根積的形式，最后代入計(jì)算．

但是，這種方法只能針對(duì)所求值代數(shù)式是關(guān)于兩根和及兩根積對(duì)稱的，對(duì)于非對(duì)稱的代數(shù)式，僅靠這種方法就行不通了．

例：已知α，β是方程x^²-x-3=0的兩根，求α^⁴+β^³-α^²+2β的值．

分析：顯然，兩根代數(shù)式α^⁴+β^³-α^²+2β無(wú)法整理變形為α+β及αβ的結(jié)構(gòu)形式，其原因是兩根α，β的指數(shù)不對(duì)等，先把它們的指數(shù)化為對(duì)等，實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的唯一途徑就是根據(jù)根的定義，將根的次數(shù)由二次降為一次．

解：因?yàn)?em>α，β是方程x^²-x-3=0的兩根，

所以α^²-α-3=0，β^²-β-3=0，

所以α^²=α+3，β^²=β+3，

所以α^⁴+β^³-α^²+2β

=(α^²)^²+β·β^²-α^²+2β

=(α+3)^²+β·(β+3)-(α+3)+2β

=α^²+6α+9+β^²+3β-α-3+2β

=α+3+6α+9+3β+3+3β-α-3+2β

=6α+6β+12

=6(α+β)+12，

由韋達(dá)定理，得：α+β=1，

所以6(α+β)+12=6+12=18,

所以原式的值為18.

由例子可見(jiàn)，求非對(duì)稱兩根代數(shù)式的值時(shí)，先根據(jù)根的定義將兩根的次數(shù)都降為一次，然后再運(yùn)用韋達(dá)定理求解．

練習(xí)：

（1）已知α，β是方程x^²+2x-1=0的兩根，求α^²-2β-1的值．

（2）已知α，β是方程x^²-x-1=0的兩根，求α^⁴+3β的值．

（3）已知α，β是方程x^²-3x+1=0的兩根，求α/(β^²+1)+β/(3α)的值．