從小上音樂課，老師就教我們do、re、mi、fa、sol、la、si，大家知道這七個(gè)音都是怎么來的嗎？這里面其實(shí)有很有趣的數(shù)學(xué)和物理原理，我們一起來了解一下。

五度相生法

從2000多年以前，文明誕生之初，音樂就產(chǎn)生了。古希臘時(shí)代，有一位著名的音樂家，同時(shí)也是數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，他就是畢達(dá)哥拉斯。

傳說有一次畢達(dá)哥拉斯在街上走路，聽到有鐵匠在打鐵，打鐵的節(jié)奏非常優(yōu)美?；氐郊抑螅呥_(dá)哥拉斯細(xì)心的研究鐵匠打鐵的節(jié)奏，發(fā)現(xiàn)當(dāng)打鐵的頻率是2：1，3：2和4：3的三種比例時(shí)，聲音配合起來非常好聽。于是，畢達(dá)哥拉斯決定使用這三種比例創(chuàng)造一種音律系統(tǒng)，這就是五度相生法。

我們知道，聲音的音調(diào)高低取決于聲音的頻率，所謂頻率就是指每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)。頻率越高，音調(diào)就越高，頻率越低，音調(diào)也越低。人的耳朵能夠聽到的頻率范圍是20Hz到20000Hz，稱之為可聞波。頻率低于20Hz叫做次聲波，次聲波聽不到，但是卻會引起人內(nèi)臟的共振，對人產(chǎn)生傷害，在地震、原子彈爆炸等情況下會產(chǎn)生次聲波。頻率高于20000Hz稱為超聲波，超聲波可以用來透視人體內(nèi)部、擊碎人體內(nèi)的結(jié)實(shí)等，醫(yī)療上有很大的用處。有些動(dòng)物能夠聽到的頻率范圍比人大得多。

對于弦樂器，聲音的頻率取決于弦長、拉力和線密度三個(gè)因素。畢達(dá)哥拉斯設(shè)計(jì)了一種類似古琴的樂器。每根弦的粗細(xì)不同，再掛上不同的重物改變拉力，就可以獲得不同的發(fā)聲頻率。也可以控制重物的重量不變，改變弦長，同樣可以改變發(fā)聲頻率。

于是，畢達(dá)哥拉斯出于對美的追求，規(guī)定了7個(gè)音節(jié)的頻率關(guān)系，這就是五度相生法。一個(gè)不太嚴(yán)格的步驟是：

如果兩個(gè)音差8度，則高低音的頻率比為2：1；

如果兩個(gè)音差5度，則高低音的頻率比為3：2；

如果兩個(gè)音差4度，則高低音的頻率比為4：3。

我們可以用現(xiàn)代的語言把畢達(dá)哥拉斯的方法描述如下：把不同的音調(diào)寫作C、D、E、F、G、A、B，在C大調(diào)中，它們就表示do、re、mi、fa、sol、la、si。下一個(gè)C就稱為高音do。

1. 兩個(gè)do之間相差8度，如果第一個(gè)do頻率是f，則第二個(gè)do頻率就是2f。

2. do和sol之間相差5度，如果do的頻率是f，則sol的頻率是3f/2，re和la、mi和si、fa和高音do也是一樣。

3. do和fa之間相差4度，如果do的頻率是f，fa的頻率就是4f/3，re和sol、mi和la之間的關(guān)系也是這樣。

不過，五度相生法并非完美和諧，例如兩個(gè)相鄰音之間的頻率比：re和do之比為9：8，mi和re之比也是9：8，但是f和mi之間的比例是256：243，與之前不同。再比如，fa和si之間也相差4度，但是頻率比卻不滿足4：3 的關(guān)系。不過，人們依然承認(rèn)畢達(dá)哥拉斯是第一個(gè)提出七個(gè)音階的音樂家，他只用了三個(gè)簡單的有理數(shù)，就定義出了完整的音律系統(tǒng)。

三分損益法

比畢達(dá)哥拉斯早100多年，中國的管仲也提出了自己的音律系統(tǒng)，稱為三分損益法。三分損益法的結(jié)果與五度相生法差不多，但是管仲只提出了五個(gè)音，分別是：宮、商、角、徵、羽。

我們以笛子為例。在吹笛子時(shí)，空氣柱振動(dòng)，產(chǎn)生聲音，聲音的頻率與空氣柱的長短有關(guān)：空氣柱越短，振動(dòng)頻率越高，音調(diào)也越高。比如我們在一個(gè)瓶子里裝不同高度的水，用嘴吹瓶口，就會發(fā)現(xiàn)水越多、空氣柱越短，頻率越高。

如果一根笛子發(fā)出的聲音頻率是f，將笛子的長度平均分為三份，減少其中的一份，這樣一來獲得一個(gè)高音?，F(xiàn)在我們知道，這個(gè)音的頻率是3f/2；如果把笛子的長度增加三分之一，就稱為益，就會獲得一個(gè)低音，頻率為3f/4。管仲經(jīng)過反復(fù)的損益，獲得了五個(gè)音階。

如果我們將“宮”的頻率定為f，那么經(jīng)過一次“損”，獲得頻率為3f/2的“徵”；再經(jīng)過一次“益”，獲得頻率為3f/2 ×3/4=9f/8的“商”；再經(jīng)過一次損，得到頻率為9f/8 ×3/2=27f/16的“羽”；再經(jīng)過一次益，得到頻率為27f/16 ×3/4=81f/64的“角”，它們與五度相生法得到的音階對應(yīng)關(guān)系如下:

我們會發(fā)現(xiàn)管仲的音律系統(tǒng)少了fa和si兩個(gè)音階。

十二平均律

無論是畢達(dá)哥拉斯還是管仲，它們都采用了2：1，4：3和3：2三個(gè)數(shù)字來定義音階，但是這樣的方法都面臨一個(gè)問題：相鄰音階之間的頻率比不相同。這樣一來，如果需要做音樂上的轉(zhuǎn)調(diào)，就很不方便。所謂轉(zhuǎn)調(diào)是指將do的位置進(jìn)行改變，例如C大調(diào)是將中音C定為do，而A大調(diào)則是將A定為do，兩個(gè)do的基礎(chǔ)頻率不同，按照上述方法，后面的re、mi、fa、sol等音，音調(diào)的升高比例也不同。

如何解決這個(gè)矛盾呢？在現(xiàn)代，最流行的音律系統(tǒng)叫做十二平均律。這種方法雖然繁榮于西方，卻是一個(gè)中國的皇族最早發(fā)明的。這個(gè)人叫作朱載堉，朱元璋第九代孫，鄭王朱厚烷嫡子。本應(yīng)繼承王位，但是七次拒絕王位，潛心學(xué)問，成為我國著名的律學(xué)家、音樂家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。

朱載堉認(rèn)為：要讓音樂和諧動(dòng)聽，必須保證所有相鄰的音階音高相差相同，也就是頻率之比相同。一個(gè)八度內(nèi)頻率相差兩倍，如果將其分成12份，每一份應(yīng)該相差2的十二次方根。為此，朱載堉利用一個(gè)八十一位的超大算盤，計(jì)算了這個(gè)值，并精確到小數(shù)點(diǎn)后第二十五位。

使用這種音律系統(tǒng)，無論如何轉(zhuǎn)調(diào)，都可以保證音樂節(jié)奏的優(yōu)美動(dòng)聽。后來這種方法通過意大利傳教士傳教士傳到西方，并經(jīng)過西方音樂家巴赫等人的努力，最終發(fā)揚(yáng)光大。

現(xiàn)代音樂大部分是基于十二平均律的。例如鋼琴有88個(gè)按鍵，每個(gè)八度中有12個(gè)按鍵，就分別對應(yīng)了以上的頻率關(guān)系。

每一個(gè)八度的白鍵稱為主音，在C大調(diào)中唱名是do、re、mi、fa、sol、la、si；黑色的按鍵稱為半音，C和D之間的黑鍵稱為升C（C#）或者降D（Db）。每兩個(gè)相鄰的按鍵之間，頻率約為1.059，無論這兩個(gè)按鍵是兩個(gè)白鍵還是一個(gè)白鍵和一個(gè)黑鍵。相鄰的兩個(gè)八度同名音之間的頻率比為2：1。

不同頻率的物理實(shí)現(xiàn)

最后還要介紹一下不同頻率的聲音是如何從樂器中發(fā)出來的。在文章最開頭已經(jīng)提到，對于弦樂器，聲音的頻率是由于弦振動(dòng)產(chǎn)生的，而弦的振動(dòng)頻率與弦長、拉力和單位長度的質(zhì)量（線密度）有關(guān)。

波在傳播過程中，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近振動(dòng)，振動(dòng)的頻率就是波的頻率f，它表示一秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)會振動(dòng)多少個(gè)周期。一個(gè)完整波形的長度稱為波長λ，表示一個(gè)周期內(nèi)波向前傳播的距離。這樣，我們就可以計(jì)算出波的速度了，只需要用波長除以一個(gè)周期的時(shí)間即可。最終得到公式：波速等于波長乘以頻率

具體來分析：一根長度為L的弦，在振動(dòng)過程中會形成振動(dòng)劇烈的部分——波腹，和不振動(dòng)的部分——波節(jié)。一根弦可以形成多種振動(dòng)形式，實(shí)際的振動(dòng)形式是這些振動(dòng)的疊加。不過，只有一個(gè)波腹的振動(dòng)是最主要的，多數(shù)能量都集中在這個(gè)振動(dòng)形式，我們稱之為基頻。其他的波能量較弱，稱之為泛音。由于泛音比例的不同，樂器的音色就會不同。對于基頻波，弦長只有波長的一半，所以波長λ=2L。

而且，根據(jù)物理學(xué)公式，波在弦中傳播速度與拉力T和線密度ρ有關(guān)，關(guān)系是：

如此，我們代入公式，就可以得到基頻的頻率

通過這個(gè)公式，我們就可以知道三個(gè)因素是如何影響頻率的了。如果將弦長增大，頻率就會降低。弦長變短，頻率就會變高。鋼琴發(fā)音是因?yàn)橐粋€(gè)小錘敲擊鋼絲，鋼絲的長短不同，發(fā)音頻率就不同。

對于同一根弦，用手按住不同的位置，也可以改變弦長，于是就可以發(fā)出不同的音。小提琴演奏的時(shí)候用左手按住弦上不同的位置，就是為了改變弦長。

如果改變拉力，也可以影響發(fā)音頻率，拉力越大，頻率越高。國際標(biāo)準(zhǔn)音將中音A定為440Hz，其他音按照十二平均律依次確定。調(diào)音師在調(diào)音時(shí)，就是改變弦上的張力，使各個(gè)弦的發(fā)音接近標(biāo)準(zhǔn)。

還有一個(gè)影響因素是線密度，比如吉他所有的弦長度都差不多，但是粗細(xì)不一樣。細(xì)的線線密度小，發(fā)音頻率高；粗的線線密度大，發(fā)音頻率低。

大家看，音樂中也有許多有趣的數(shù)學(xué)和物理知識是不是？不僅如此，人的耳朵聽到的聲音其實(shí)是許多頻率音的混合，而大腦可以以極高的速度對這些聲音做傅里葉變換，從而讓我們進(jìn)行理解。這些知識，我后面再給大家介紹。