問題：假設(shè)有n個(gè)人參加一個(gè)集會(huì)，且每個(gè)人的生日均是相互獨(dú)立的；那這n個(gè)人的生日全不同的概率p是多少？

　　解析：假設(shè)一年為365日，且這n個(gè)人的生日是均勻分布的。記第一個(gè)人的生日為r1，要使第二個(gè)人與第一個(gè)人生日不同，則第二個(gè)人只能選擇365天中除掉r1剩下的，同理，要使第三個(gè)人與前兩個(gè)人生日不同，他只能從剩下的363天中選擇……以此類推，n個(gè)人的生日全不同的概率p為：

　　P=（1-1/365）×（1-2/365）×……×［1-（n-1）/365］

　　借助計(jì)算機(jī)可以計(jì)算出，當(dāng)n=23時(shí)，p≈0.5，即在一個(gè)屋子里只需要23個(gè)人，找到兩個(gè)或兩個(gè)以上相同生日的人的概率就有50%。而當(dāng)n=70時(shí)，p≈0.99。這樣的結(jié)果與我們的直覺不符，所以稱之為生日悖論。

　　生日悖論在密碼學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。為了保證信息傳輸?shù)谋Ｃ苄?、?shù)據(jù)交換的完整性，我們采用數(shù)字簽名技術(shù)確保安全。形象地說：A要給B發(fā)送一段報(bào)文。A發(fā)送時(shí)用哈希函數(shù)從報(bào)文中生成報(bào)文摘要，再用密鑰對(duì)摘要進(jìn)行加密。加密后的摘要將作為報(bào)文的數(shù)字簽名和報(bào)文一起發(fā)送給B。B用同樣的方法對(duì)報(bào)文進(jìn)行加工，若得到的摘要與A發(fā)送的相同，則B得到的報(bào)文在A發(fā)送的期間沒有被改動(dòng)過。

　　我們將生日悖論拓展開來：在該計(jì)算過程中，我們是將人（輸入）轉(zhuǎn)換成生日（輸出）。也就是說，我們將千萬種不同的人映射成365種人。在密碼學(xué)中，哈希算法就是將一個(gè)大的集合（輸入）映射到小的集合（哈希值），必然會(huì)造成多個(gè)輸入映射到一個(gè)哈希值上，這就是哈希碰撞。根據(jù)生日悖論，如果哈希值的位數(shù)過短，很容易可以找到一組（兩個(gè)）哈希值相同的輸入，這就是一種最常用的生日攻擊的應(yīng)用。

　　如果產(chǎn)生每個(gè)哈希值的可能性是相同的，根據(jù)生日悖論，n位的哈希值預(yù)計(jì)產(chǎn)生一次碰撞需要2^（n/2）次嘗試。如果找到哈希碰撞，那么兩個(gè)報(bào)文可以產(chǎn)生相同的報(bào)文摘要。這意味著，當(dāng)你在網(wǎng)絡(luò)上使用電子簽名簽署一份合同后，還可能存在另外一份具有相同簽名但內(nèi)容迥異的合同。在神不知鬼不覺的情況下，你們的信息就被掉包了。