選自《從一到無窮大》

G.伽莫夫著 張卜天譯

一、最純粹的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)通常被人們尤其是數(shù)學(xué)家們譽(yù)為科學(xué)的女皇。既然是女皇，自然要力圖避免與其他知識(shí)分支扯上關(guān)系。比如在一次“純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)聯(lián)席會(huì)議”上，希爾伯特應(yīng)邀作一次公開演講，以幫助消除這兩種數(shù)學(xué)家之間的敵意，他是這樣說的：

我們常常聽說，純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是彼此敵對(duì)的。事實(shí)并非如此。純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)并非彼此敵對(duì)。它們過去不曾敵對(duì)，將來也不會(huì)敵對(duì)。它們不可能彼此敵對(duì)，因?yàn)閮烧咂鋵?shí)毫無共同之處。

然而，盡管數(shù)學(xué)喜歡保持純粹，并盡力遠(yuǎn)離其他科學(xué)，但其他科學(xué)尤其是物理學(xué)，卻極力同數(shù)學(xué)“親善”。事實(shí)上，純粹數(shù)學(xué)的幾乎每一個(gè)分支現(xiàn)在都被用來解釋物理世界的某個(gè)特征。這包括抽象群理論、非交換代數(shù)、非歐幾何等一直被認(rèn)為最為純粹、絕不可能付諸應(yīng)用的學(xué)科。

但迄今為止，除了起智力訓(xùn)練的作用以外，還有一個(gè)巨大的數(shù)學(xué)分支成功地保持住了自己的無用性，它真可以被冠以“純粹之王”的名號(hào)呢。這就是所謂的“數(shù)論”（這里的數(shù)指整數(shù)），它是純粹數(shù)學(xué)思想最古老也最復(fù)雜的產(chǎn)物之一。

說來也怪，從某種角度來講，數(shù)論這種最純粹的數(shù)學(xué)竟然又可以稱為一門經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，甚至是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)。事實(shí)上，它的絕大多數(shù)命題都是通過嘗試用數(shù)來做不同的事情而提出的，就像物理學(xué)定律是通過嘗試用物體來做不同的事情而提出的一樣。此外，數(shù)論的一些命題已經(jīng)“在數(shù)學(xué)上”得到了證明，而另一些命題還停留在純粹經(jīng)驗(yàn)的階段，至今仍在考驗(yàn)最出色數(shù)學(xué)家的能力，這一點(diǎn)也和物理學(xué)一樣。

讓我們以質(zhì)數(shù)問題為例來說明這一點(diǎn)。所謂質(zhì)數(shù)，是指那些不能用兩個(gè)或兩個(gè)以上更小整數(shù)的乘積來表示的數(shù)，比如2，3，5，7，11，13，17等就是這樣的數(shù)。而比如12可以寫成2×2×3，所以就不是質(zhì)數(shù)。

質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無限的呢，還是存在著一個(gè)最大的質(zhì)數(shù)，凡是比這個(gè)數(shù)更大的數(shù)都可以表示成已有質(zhì)數(shù)的乘積呢？這個(gè)問題最早是歐幾里得（Euclid）解決的，他簡(jiǎn)單而優(yōu)雅地證明了并不存在什么“最大的質(zhì)數(shù)”，質(zhì)數(shù)的數(shù)目超出了任何限度。

為了考察這個(gè)問題，讓我們暫時(shí)假定只知道有限個(gè)質(zhì)數(shù)，其中最大的用N表示。現(xiàn)在我們把所有已知的質(zhì)數(shù)都乘起來，再加上1，把它寫成以下形式：

（1×2×3×5×7×11×13×……×N） 1。

這個(gè)數(shù)當(dāng)然比那個(gè)據(jù)稱的“最大質(zhì)數(shù)”N大得多。但它顯然不能被我們的任何一個(gè)質(zhì)數(shù)（到N為止，包括N在內(nèi)）除盡，因?yàn)閺倪@個(gè)數(shù)的構(gòu)造方式可以看出，拿這些質(zhì)數(shù)中的任何一個(gè)來除它，都會(huì)留下余數(shù)1。

因此，這個(gè)數(shù)要么本身也是一個(gè)質(zhì)數(shù)，要么必定能被一個(gè)比N更大的質(zhì)數(shù)整除。而這兩種情況都與我們最初假設(shè)的N是最大的質(zhì)數(shù)相矛盾。

這種證明方式被稱為歸謬法，是數(shù)學(xué)家最愛用的工具之一。

一旦知道質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無限的，我們自然會(huì)問，是否有什么簡(jiǎn)單的辦法可以把它們一個(gè)不漏地挨個(gè)寫出來。古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家埃拉托色尼（Eratosthenes）最早提出了這樣一種方法，即所謂的“篩法”。你只需將完整的自然數(shù)列1，2，3，4…寫下來，然后相繼刪去所有2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)，等等。圖9顯示了將埃拉托色尼的“篩法”用于前100個(gè)數(shù)的情況，其中總共有26個(gè)質(zhì)數(shù)。通過使用這種簡(jiǎn)單的篩法，我們已經(jīng)制作了10億以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表。

倘若能設(shè)計(jì)出一個(gè)公式，可以迅速地自動(dòng)找到所有質(zhì)數(shù)而且僅僅是質(zhì)數(shù)，那該多方便啊。可惜，經(jīng)過數(shù)個(gè)世紀(jì)的努力，我們?nèi)匀粵]有找到這樣的公式。1640年，著名的法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Pierre Fermat）認(rèn)為自己已經(jīng)設(shè)計(jì)出了一個(gè)只產(chǎn)生質(zhì)數(shù)的公式：2 1，其中n取1，2，3，4等自然數(shù)的值。

運(yùn)用這個(gè)公式，我們得到：

這幾個(gè)數(shù)的確都是質(zhì)數(shù)。但在費(fèi)馬宣布這個(gè)公式之后大約一個(gè)世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家歐拉（LeonardEuler）證明，費(fèi)馬的第五個(gè)數(shù)并非質(zhì)數(shù)，而是6 700 417與641的乘積。于是，費(fèi)馬這個(gè)演算質(zhì)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)規(guī)則被證明是錯(cuò)誤的。

還有一個(gè)引人注目的公式也可以產(chǎn)生許多質(zhì)數(shù)。這個(gè)公式是：

n2-n 41，

其中n也取1，2，3等自然數(shù)的值。人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在n取1到40之間某個(gè)數(shù)的情況下，用上述公式都能產(chǎn)生質(zhì)數(shù)?？上У搅说?1步，這個(gè)公式也不管用了。

事實(shí)上，

(41)2-41 41＝412＝41×41，

這是一個(gè)平方數(shù)，而不是質(zhì)數(shù)。

人們還嘗試過另一個(gè)公式：

n2-79n 1601，

在n取從1到79之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)公式都能產(chǎn)生質(zhì)數(shù)，然而當(dāng)n＝80時(shí)，它又失效了！

于是，尋找只產(chǎn)生質(zhì)數(shù)的普遍公式的問題仍然沒有得到解決。

尚未得到證明也沒有被否證的數(shù)論定理的另一個(gè)有趣例子是1742年提出的所謂“哥德巴赫猜想”。它說：每一個(gè)偶數(shù)都能表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。從一些簡(jiǎn)單的例子很容易看出它是對(duì)的，比如12=7 5，24=17 7，32=29 3。但數(shù)學(xué)家們雖然就此作了大量研究，卻依然不能確鑿地證明這個(gè)命題是對(duì)的，也找不出一個(gè)反例來否證它。直到1931年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家施尼雷爾曼（Schnirelmann）才朝著所期望的證明成功地邁出了建設(shè)性的第一步。他證明，每一個(gè)偶數(shù)都是不多于300 000個(gè)質(zhì)數(shù)之和。后來，“300000個(gè)質(zhì)數(shù)之和”與“2個(gè)質(zhì)數(shù)之和”之間的差距被另一位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了。他把史尼雷爾曼的結(jié)論減少到“4個(gè)質(zhì)數(shù)之和”。但是從維諾格拉多夫的“4個(gè)質(zhì)數(shù)”到哥德巴赫的“2個(gè)質(zhì)數(shù)”，這最后的兩步似乎最難邁過去。我們不知道究竟需要幾年還是幾個(gè)世紀(jì)，才能最終證明或否證這個(gè)困難的命題。

由此可見，要想導(dǎo)出能夠自動(dòng)給出小于任意大的數(shù)的所有質(zhì)數(shù)的公式，我們還有很遠(yuǎn)的路要走，我們甚至不確定究竟能否導(dǎo)出這樣的公式呢。

現(xiàn)在，我們也許可以問一個(gè)更為謙卑的問題：在給定的數(shù)值區(qū)間內(nèi)，質(zhì)數(shù)所占的百分比有多少。隨著數(shù)變得越來越大，這個(gè)百分比是否大致保持恒定？如果不是，它是增大還是減小？我們可以通過查找不同數(shù)值區(qū)間內(nèi)的質(zhì)數(shù)數(shù)目來經(jīng)驗(yàn)地回答這個(gè)問題。我們發(fā)現(xiàn)，100以內(nèi)有26個(gè)質(zhì)數(shù)，1 000以內(nèi)有168個(gè)，1 000 000以內(nèi)有78 498個(gè)，1 000 000 000以內(nèi)有50 847 478個(gè)。把這些質(zhì)數(shù)數(shù)目除以相應(yīng)的數(shù)值區(qū)間，我們便得到了下面這張表：

從這張表上首先可以看出，隨著數(shù)值區(qū)間的擴(kuò)大，質(zhì)數(shù)的相對(duì)數(shù)目在逐漸減少，但并不存在質(zhì)數(shù)的終點(diǎn)。

有沒有什么簡(jiǎn)單的辦法能對(duì)質(zhì)數(shù)在大數(shù)當(dāng)中所占百分比的這種減小做出數(shù)學(xué)表示呢？有的，而且支配質(zhì)數(shù)平均分布的法則堪稱整個(gè)數(shù)學(xué)中最引人注目的發(fā)現(xiàn)之一。這條法則說：從1到任何更大的數(shù)N之間質(zhì)數(shù)所占的百分比近似由N的自然對(duì)數(shù)的倒數(shù)所表示。[1]N越大，這種近似就越精確。

從上表的第四欄可以查到N的自然對(duì)數(shù)的倒數(shù)。將它們與前一欄的值對(duì)比一下，就會(huì)看到兩者非常接近，而且N越大就越接近。

和其他許多數(shù)論命題一樣，上述質(zhì)數(shù)定理起初也是憑經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的，而且長(zhǎng)時(shí)間得不到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。直到19世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬（Jacques Solomon Hadamard）和比利時(shí)數(shù)學(xué)家普桑（de la Vallée Poussin）才終于證明了它。其證明方法太過繁難，這里就不去解釋了。

既然討論整數(shù)，就不能不提到著名的費(fèi)馬大定理，盡管這個(gè)定理與質(zhì)數(shù)的性質(zhì)并無必然聯(lián)系。這個(gè)問題可以追溯到古埃及，那里的每一個(gè)好木匠都知道，一個(gè)三邊之比為3:4:5的三角形必定包含一個(gè)直角。事實(shí)上，古埃及人正是把這樣一個(gè)三角形（現(xiàn)在被稱為埃及三角形）用作木匠的曲尺。

公元3世紀(jì)時(shí)，亞歷山大里亞的丟番圖（Diophantes）開始思考這樣一個(gè)問題：是否只有3和4這兩個(gè)整數(shù)才滿足其平方和等于另一個(gè)整數(shù)的平方？他證明，還有其他三個(gè)一組的整數(shù)（事實(shí)上有無窮多組）具有這樣的性質(zhì)，并且給出了找到這些整數(shù)的一般規(guī)則。這些三邊均為整數(shù)的直角三角形被稱為畢達(dá)哥拉斯三角形，埃及三角形是其中第一個(gè)。構(gòu)造畢達(dá)哥拉斯三角形的問題可以簡(jiǎn)單地表述成解代數(shù)方程

x2 y2= z2，

其中x，y，z須為整數(shù)。[2]

1621年，費(fèi)馬在巴黎買了一本丟番圖所著《算術(shù)》的法文譯本，其中討論了畢達(dá)哥拉斯三角形。費(fèi)馬讀這本書時(shí)，在書頁空白處作了一則簡(jiǎn)短的筆記，說雖然方程

x2 y2= z2

有無窮多組整數(shù)解，但對(duì)于任何

xn yn= zn

類型的方程，當(dāng)n大于2時(shí)永遠(yuǎn)沒有整數(shù)解。

“我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)絕妙的證明，”費(fèi)馬補(bǔ)充說，“但這里的空白太窄了，寫不下?！?/p>

費(fèi)馬去世后，人們?cè)谒膱D書室發(fā)現(xiàn)了丟番圖的那本書，那則旁注的內(nèi)容也公諸于世。三百多年來，各國最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都在力圖重建費(fèi)馬寫那則旁注時(shí)所想到的證明，但至今未能成功。[3]當(dāng)然，在朝著終極目標(biāo)邁進(jìn)方面已經(jīng)有了很大進(jìn)展。一門全新的數(shù)學(xué)分支，即所謂的“理想數(shù)理論”，在嘗試證明費(fèi)馬大定理的過程中被創(chuàng)建出來。歐拉證明，方程x3 y3= z3和x4 y4=z4不可能有整數(shù)解。狄利克雷（Dirichlet）證明，x5 y5=z5也是如此。通過幾位數(shù)學(xué)家的共同努力，現(xiàn)已證明，當(dāng)n的值小于269時(shí)，費(fèi)馬方程都不可能有整數(shù)解。不過，對(duì)指數(shù)n取任何值都成立的一般證明一直沒能作出。人們?cè)絹碓綉岩桑M(fèi)馬要么根本沒有作出證明，要么就是在證明過程中有什么地方弄錯(cuò)了。為了尋求這個(gè)問題的解答，曾經(jīng)懸賞10萬德國馬克，這個(gè)問題因此變得紅極一時(shí)。不過，那些為獎(jiǎng)金而來的業(yè)余數(shù)學(xué)家的努力全都以失敗而告終。

當(dāng)然，這個(gè)定理也有可能是錯(cuò)誤的，只要能找到一個(gè)例子，證明兩個(gè)整數(shù)的某個(gè)相同高次冪之和等于另一個(gè)整數(shù)的同一次冪就可以了。不過在尋找這個(gè)例子時(shí)，我們只能使用比269更大的冪次，這可不是容易的事情啊。

[1]簡(jiǎn)單地說，一個(gè)數(shù)的自然對(duì)數(shù)可以定義為它的普通對(duì)數(shù)乘以2.3026。

[2]丟番圖的一般規(guī)則是：取任意兩個(gè)數(shù)a和b，使2ab是一個(gè)完全平方數(shù)。令x=a ，y=b ，z=a b 。于是用代數(shù)方法很容易證明，x2 y2= z2。用這個(gè)規(guī)則可以列出所有可能的解。最前面幾個(gè)解是：

32 42=52（埃及三角形），

52 122=132，

62 82=102，

72 242=252，

82 152=172，

92 122=152，

92 402=412，

102 242=262。

[3]費(fèi)馬大定理于1995年被英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）所證明?！g者。