編輯本段數(shù)論概述

　　數(shù)論就是指研究整數(shù)性質(zhì)的一門理論。整數(shù)的基本元素是素?cái)?shù)，所以數(shù)論的本質(zhì)是對(duì)素?cái)?shù)性質(zhì)的研 究。2000年前，歐幾里得證明了有無(wú)窮個(gè)素?cái)?shù)。既然有無(wú)窮個(gè)，就一定有一個(gè)表示所有素?cái)?shù)的素?cái)?shù)通項(xiàng)公式，或者叫素?cái)?shù)普遍公式。它是和平面幾何學(xué)同樣歷史悠久的學(xué)科。高斯譽(yù)之為“數(shù)學(xué)中的皇冠” 按照研究方法的難易程度來(lái)看，數(shù)論大致上可以分為初等數(shù)論（古典數(shù)論）和高等數(shù)論（近代數(shù)論）。 　　初等數(shù)論主要包括整除理論、同余理論、連分?jǐn)?shù)理論。它的研究方法本質(zhì)上說(shuō)，就是利用整數(shù)環(huán)的整除性質(zhì)。 初等數(shù)論也可以理解為用初等數(shù)學(xué)方法研究的數(shù)論。 其中最高的成就包括高斯的“二次互反律”等。 　　高等數(shù)論則包括了更為深刻的數(shù)學(xué)研究工具。它大致包括代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、算術(shù)代數(shù)幾何等等。

編輯本段數(shù)論門類

初等數(shù)論

　　同上所述， 初等數(shù)論主要就是研究整數(shù)環(huán)的整除理論及同余理論。此外它也包括了連分?jǐn)?shù)理論和少許不定方程的問(wèn)題。 本質(zhì)上說(shuō)，初等數(shù)論的研究手段局限在整除性質(zhì)上。 　　初等數(shù)論中經(jīng)典的結(jié)論包括 算術(shù)基本定理、歐幾里得的質(zhì)數(shù)無(wú)限證明、中國(guó)剩余定理、歐拉定理（其特例是 費(fèi)馬小定理）、高斯的二次互逆律 ， 勾股方程的商高定理、 佩爾方程的連分?jǐn)?shù)求解法等等。 　　

解析數(shù)論

　　借助微積分及復(fù)分析 （即復(fù)變函數(shù)）來(lái)研究關(guān)于整數(shù)的問(wèn)題，主要又可以分為乘性數(shù)論與加性數(shù)論兩類。乘性數(shù)論藉由研究積性生成函數(shù)的性質(zhì)來(lái)探討質(zhì)數(shù)分布的問(wèn)題，其中質(zhì)數(shù)定理與狄利克雷定理為這個(gè)領(lǐng)域中最著名的古典成果。加性數(shù)論則是研究整數(shù)的加法分解之可能性與表示的問(wèn)題，華林問(wèn)題是該領(lǐng)域最著名的課題。 　　解析數(shù)論的創(chuàng)立當(dāng)歸功于黎曼。 他發(fā)現(xiàn)了黎曼zeta函數(shù)之解析性質(zhì)與數(shù)論中的素?cái)?shù)分布問(wèn)題存在深刻聯(lián)系。確切的說(shuō)， 黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的分布情況決定了素?cái)?shù)的很多性質(zhì)。黎曼猜測(cè)， 那些零點(diǎn)都落在復(fù)平面上實(shí)部為1/2的直線上。這就是著名的黎曼假設(shè)--被譽(yù)為千禧年七大世界數(shù)學(xué)難題之一。值得注意的是， 歐拉實(shí)際上在處理素?cái)?shù)無(wú)限問(wèn)題時(shí)也用到了解析方法。 　　解析數(shù)論方法除了圓法、篩法等等之外， 也包括和橢圓曲線相關(guān)的模形式理論等等。此后又發(fā)展到自守形式理論，從而和表示論聯(lián)系起來(lái)。

代數(shù)數(shù)論

　　代數(shù)數(shù)論，將整數(shù)環(huán)的數(shù)論性質(zhì)研究擴(kuò)展到了更一般的整環(huán)上，特別是代數(shù)數(shù)域。一個(gè)主要課題就是關(guān)于代數(shù)整數(shù)的研究，目標(biāo)是為了更一般地解決不定方程 求解的問(wèn)題。 其中一個(gè)主要的歷史動(dòng)力來(lái)自于尋找費(fèi)馬大定理的證明。 　　代數(shù)數(shù)論更傾向于從代數(shù)結(jié)構(gòu)角度去研究各類整環(huán)的性質(zhì)， 比如在給定整環(huán)上是否存在算術(shù)基本定理等等。 　　這個(gè)領(lǐng)域與代數(shù)幾何之間的關(guān)聯(lián)尤其緊密， 它實(shí)際上也構(gòu)成了交換代數(shù)理論的一部分。 它也包括了其他深刻內(nèi)容，比如表示論、p-adic理論等等。 　　

幾何數(shù)論 數(shù)的幾何

　　主要在于通過(guò)幾何觀點(diǎn)研究整數(shù)（在此即格點(diǎn)， 也稱整點(diǎn)）的分布情形。最著名的定理為Minkowski 定理。 這門理論也是有閔科夫斯基所創(chuàng)。 對(duì)于研究二次型理論有著重要作用。

計(jì)算數(shù)論

　　借助電腦的算法幫助數(shù)論的問(wèn)題，例如素?cái)?shù)測(cè)試和因數(shù)分解等和密碼學(xué)息息相關(guān)的話題。

超越數(shù)論

　　研究數(shù)的超越性，其中對(duì)于歐拉常數(shù)與特定的 Zeta 函數(shù)值之研究尤其令人感到興趣。此外它也探討了數(shù)的丟番圖逼近理論。

組合數(shù)論

　　利用組合和機(jī)率的技巧，非構(gòu)造性地證明某些無(wú)法用初等方式處理的復(fù)雜結(jié)論。這是由艾狄胥開創(chuàng)的思路。比如蘭伯特猜想的簡(jiǎn)化證明。

算術(shù)代數(shù)幾何

　　這是數(shù)論發(fā)展到目前為止最深刻最前沿的領(lǐng)域， 可謂集大成者。 它從代數(shù)幾何的觀點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)深刻的數(shù)學(xué)工具去研究數(shù)論的性質(zhì)。比如外爾斯證明費(fèi)馬猜想就是這方面的經(jīng)典實(shí)例。 整個(gè)證明幾乎用到了當(dāng)時(shí)所有最深刻的理論工具。 　　當(dāng)代數(shù)論的一個(gè)重要的研究指導(dǎo)綱領(lǐng)，就是著名的郎蘭茲綱領(lǐng)。 　　

其他的研究方法

　　除了上述傳統(tǒng)方法之外，也有其他一些研究數(shù)論之法， 但是沒(méi)有完全得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。 比如有物理學(xué)家，通過(guò)量子力學(xué)方法聲稱證明了黎曼假設(shè)。

編輯本段數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

古代時(shí)期

　　公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了數(shù)論的本質(zhì)是素?cái)?shù)，他自己證明了有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，公元前250年古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法。

編輯本段數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

　　公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了數(shù)論的本質(zhì)是素?cái)?shù)，他自己證明了有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，公元前250年古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法： 　?。ㄒ唬?#8220;要得到不大于某個(gè)自然數(shù)N的所有素?cái)?shù)，只要在2---N中將不大于√N的素?cái)?shù)的倍數(shù)全部劃去即可”?！。ǘ┽醽?lái)人們將上面的內(nèi)容等價(jià)轉(zhuǎn)換：“如果N是合數(shù)，則它有一個(gè)因子d滿足1<d≤√N”。（《基礎(chǔ)數(shù)論》13頁(yè)，U杜德利著，上?？萍汲霭嫔纾? 　?。ㄈ┰賹ⅲǘ┑膬?nèi)容等價(jià)轉(zhuǎn)換：“若自然數(shù)N不能被不大于(根號(hào))√N的任何素?cái)?shù)整除，則N是一個(gè)素?cái)?shù)”。見（代數(shù)學(xué)辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁(yè)）。 　?。ㄋ模┥厦孢@句話的漢字可以等價(jià)轉(zhuǎn)換成為用英文字母表達(dá)的公式： 　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1)

　　 　　其中 p1，p2，.....，pk表示順序素?cái)?shù)2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是腳標(biāo)，由于打印不出來(lái)，凡字母后面的數(shù)字或者i與k都是腳標(biāo)] ，則N是一個(gè)素?cái)?shù)。 　?。ㄎ澹┛梢园眩?strong>1）等價(jià)轉(zhuǎn)換成為用同余式組表示： 　　N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (2)

　　 　　例如，29，29不能夠被根號(hào)29以下的任何素?cái)?shù)2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一個(gè)素?cái)?shù)。 　　以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 　　由于（2）的模p1，p2，....，pk 兩兩互素，根據(jù)孫子定理(中國(guó)剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范圍內(nèi)有唯一解。 　　例如k=1時(shí)，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）區(qū)間的全部素?cái)?shù)。 　　k=2時(shí)，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）區(qū)間的全部素?cái)?shù)。 　　k=3時(shí), 　　---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| 　　---------------------|---------|----------|--------|---------| 　　n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| 　　n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| 　　------------------------------------------------------------ 　　求得了（7，7*）區(qū)間的全部素?cái)?shù)。仿此下去可以求得任意大的數(shù)以內(nèi)的全部素?cái)?shù)。上圖是文章出處。 　　自古以來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說(shuō)還沒(méi)有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。

古希臘數(shù)學(xué)家——?dú)W幾里得

　　自我國(guó)古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公因數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問(wèn)題等等。在國(guó)外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)論中一個(gè)最基本的問(wèn)題——整除性問(wèn)題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來(lái)應(yīng)用了。后來(lái)的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對(duì)整數(shù)性質(zhì)的研究做出過(guò)重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。 　　在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。可以認(rèn)為， 質(zhì)數(shù)是整個(gè)數(shù)論的研究基石。 　　到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識(shí)已經(jīng)十分豐富了，但是仍然沒(méi)有找到素?cái)?shù)產(chǎn)生的模式。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)研究》，1800年寄給了法國(guó)科學(xué)院，但是法國(guó)科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。 在《算術(shù)研究》中，高斯把過(guò)去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問(wèn)題和已知的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。 高斯在這一著作中主要提出了同余理論， 并發(fā)現(xiàn)了著名的二次互反律， 被其譽(yù)之為“數(shù)論之酵母”。 　　黎曼在研究ζ函數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)的解析性質(zhì)和素?cái)?shù)分布之間的深刻聯(lián)系， 由此將數(shù)論領(lǐng)進(jìn)了分析的領(lǐng)域。這方面主要的代表人物還有英國(guó)著名數(shù)論學(xué)家哈代 、李特伍德、拉馬努金等等。在國(guó)內(nèi)，則有華羅庚、陳景潤(rùn)、王元等等。 　　另一方面， 由于此前人們一直關(guān)注費(fèi)馬大定理的證明， 所以又發(fā)展出了代數(shù)數(shù)論的研究課題。 比如庫(kù)莫提出了理想數(shù)的概念--可惜他當(dāng)時(shí)忽略了代數(shù)擴(kuò)環(huán)的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了復(fù)整數(shù)環(huán)的理論--即高斯整數(shù)。他在3次情形的費(fèi)馬猜想中也用了擴(kuò)環(huán)的代數(shù)數(shù)論性質(zhì)。 代數(shù)數(shù)論發(fā)展的一個(gè)里程碑，則是希爾伯特的《數(shù)論報(bào)告》。 　　隨著數(shù)學(xué)工具的不斷深化， 數(shù)論開始和代數(shù)幾何深刻聯(lián)系起來(lái)， 最終發(fā)展稱為當(dāng)今最深刻的數(shù)學(xué)理論，諸如算術(shù)代數(shù)幾何， 它們將許多此前的研究方法和研究觀點(diǎn)最終統(tǒng)一起來(lái)， 從更加高的觀點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)行研究和探討。 　　由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國(guó)家應(yīng)用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。 　　素?cái)?shù)與圓周率關(guān)系 　　∑1／k2=∏（1／p2）－1=∏2／6 　　歐拉給出了圓周率與素?cái)?shù)的關(guān)系，k=1，2，3，，，。 　　p=素?cái)?shù)，并且遍歷所有素?cái)?shù)。 　　∏2／6分子表示圓周率的平方。 　　平方改成復(fù)數(shù)就是黎曼猜想了。真是神奇。

編輯本段整除問(wèn)題

整除數(shù)的特征：

　　1.末位數(shù)是偶數(shù)能被2整除；末位數(shù)是0或5能被5整除。末兩位是4或25的倍數(shù)的數(shù)，能被4或25整除。末三位是8或125的倍數(shù)的數(shù)，能被8或125整除。 　　2.各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是3或9的倍數(shù)的數(shù)，能被3或9整除。 　　3.奇數(shù)位各個(gè)數(shù)字之和與偶數(shù)位的各個(gè)之和的差位11的倍數(shù)，，則這個(gè)數(shù)能被11整除。 　　4.一個(gè)多位數(shù)把他的末三位和其他位數(shù)分成兩部分，則兩部分的茶是7,11,13的倍數(shù)，則這個(gè)是能被7,11,13整除?！∪祟悘膶W(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來(lái)由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們合起來(lái)叫做整數(shù)。（注：現(xiàn)在，自然數(shù)的概念有了改變，包括正整數(shù)和0） 　　對(duì)于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。又叫算術(shù)，它與幾何學(xué)是最古老的兩門數(shù)學(xué)分支。傳統(tǒng)的幾何學(xué)已經(jīng)枯萎，而傳統(tǒng)的數(shù)論（即算術(shù)）還有大量的問(wèn)題無(wú)法解決。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無(wú)阻礙地進(jìn)行。也就是說(shuō)，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無(wú)阻礙地進(jìn)行，利用這一性質(zhì)人們發(fā)明了大數(shù)密碼體系。至今仍然關(guān)系著國(guó)家的安全。 　　人們?cè)趯?duì)整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)淺薄地劃分可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）；深刻地劃分可以分為素?cái)?shù)，合數(shù)，“1”等。兩千多年來(lái)，數(shù)論學(xué)有一個(gè)重要的任務(wù)，就是尋找素?cái)?shù)性質(zhì)及分布規(guī)律，為此，花費(fèi)了巨大的心血。 利用素?cái)?shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來(lái)許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。 　　數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來(lái)整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說(shuō)，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。 　　數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問(wèn)題敘述簡(jiǎn)明，“很多數(shù)論問(wèn)題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來(lái)，并且僅用三言兩語(yǔ)就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說(shuō)：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒(méi)有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)，并勸他將來(lái)從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國(guó)內(nèi)外各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，數(shù)論問(wèn)題總是占有相當(dāng)大的比重?！? 　　自古以來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說(shuō)還沒(méi)有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。 自我國(guó)古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公因數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問(wèn)題等等。在國(guó)外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)論中一個(gè)最基本的問(wèn)題——整除性問(wèn)題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來(lái)應(yīng)用了。后來(lái)的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對(duì)整數(shù)性質(zhì)的研究做出過(guò)重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。 　　在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注?？梢哉J(rèn)為， 質(zhì)數(shù)是整個(gè)數(shù)論的研究基石。

十八世紀(jì)末時(shí)期

　　到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識(shí)已經(jīng)十分豐富了，但是仍然沒(méi)有找到素?cái)?shù)產(chǎn)生的模式。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)研究》，1800年寄給了法國(guó)科學(xué)院，但是法國(guó)科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。 在《算術(shù)研究》中，高斯把過(guò)去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問(wèn)題和已知的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。 高斯在這一著作中主要提出了同余理論， 并發(fā)現(xiàn)了著名的二次互反律， 被其譽(yù)之為“數(shù)論之酵母”。 　　黎曼在研究ζ函數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)的解析性質(zhì)和素?cái)?shù)分布之間的深刻聯(lián)系， 由此將數(shù)論領(lǐng)進(jìn)了分析的領(lǐng)域。這方面主要的代表人物還有英國(guó)著名數(shù)論學(xué)家哈代 、李特伍德、拉馬努金等等。在國(guó)內(nèi)，則有華羅庚、陳景潤(rùn)、王元等等。 　　另一方面， 由于此前人們一直關(guān)注費(fèi)馬大定理的證明， 所以又發(fā)展出了代數(shù)數(shù)論的研究課題。 比如庫(kù)莫提出了理想數(shù)的概念--可惜他當(dāng)時(shí)忽略了代數(shù)擴(kuò)環(huán)的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了復(fù)整數(shù)環(huán)的理論--即高斯整數(shù)。他在3次情形的費(fèi)馬猜想中也用了擴(kuò)環(huán)的代數(shù)數(shù)論性質(zhì)。 代數(shù)數(shù)論發(fā)展的一個(gè)里程碑，則是希爾伯特的《數(shù)論報(bào)告》。 　　隨著數(shù)學(xué)工具的不斷深化， 數(shù)論開始和代數(shù)幾何深刻聯(lián)系起來(lái)， 最終發(fā)展稱為當(dāng)今最深刻的數(shù)學(xué)理論，諸如算術(shù)代數(shù)幾何， 它們將許多此前的研究方法和研究觀點(diǎn)最終統(tǒng)一起來(lái)， 從更加高的觀點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)行研究和探討。

現(xiàn)代

　　由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國(guó)家應(yīng)用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。

編輯本段數(shù)論中的問(wèn)題

　　數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問(wèn)題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)?#8220;摘取”。下面簡(jiǎn)要列出幾顆“明珠”：費(fèi)馬大定理、孿生素?cái)?shù)問(wèn)題、歌德巴赫猜想、梅森素?cái)?shù)問(wèn)題、黎曼猜想……

編輯本段中國(guó)數(shù)論及專家

　　在我國(guó)近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過(guò)重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召、潘承洞等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。陳景潤(rùn)、王元等在“篩法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績(jī)；周海中在著名數(shù)論難題——梅森素?cái)?shù)分布的研究中取得了世界領(lǐng)先的卓著成績(jī)。