在一個物理系統(tǒng)中，如果該系統(tǒng)的輸入與輸出成正比的話，則被成為線性系統(tǒng)，例如我們熟知的純電阻電路系統(tǒng)，電路的輸入電壓與輸出電流滿足歐姆定律，是個典型的線性系統(tǒng)。

線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為是由系統(tǒng)的線性（微分）方程組來描述，其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相對簡單，人們對其的研究已經(jīng)相當(dāng)完善了，在物理學(xué)和控制學(xué)等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用。

然而，我們的自然界的大部分系統(tǒng)本質(zhì)上卻是非線性的，即輸入與輸出并不是成正比關(guān)系，系統(tǒng)的（微分）方程含有非線性項(xiàng)。例如，當(dāng)入射光的強(qiáng)度較大時，介質(zhì)的極化強(qiáng)度與光強(qiáng)不再是成正比了，這就是所謂的非線性光學(xué)，是一個典型的非線性系統(tǒng)。

相對于線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)看起來顯然要復(fù)雜得多。因此，它又蘊(yùn)含了許多線性系統(tǒng)所沒有的有趣現(xiàn)象，從而吸引了眾多數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家以及各類工程學(xué)家的極大興趣。其中最迷人但也最令人討厭的現(xiàn)象就莫過于“混沌（chaos）”了。

所謂的混沌，簡單的來說就是一個系統(tǒng)的響應(yīng)對初始狀態(tài)相當(dāng)敏感，初始條件的一個微小的變化都可能會導(dǎo)致最終狀態(tài)的巨大差別。一個最經(jīng)典的例子就是蝴蝶效應(yīng)：一只蝴蝶在巴西亞馬遜輕拍翅膀，可以導(dǎo)致一個月后德克薩斯州的一場龍卷風(fēng)。

混沌理論最早可以追溯到19世紀(jì)末期，當(dāng)時大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家龐加萊在研究天體物理問題時發(fā)現(xiàn)，對于保守三體運(yùn)動系統(tǒng)，有些軌道沒有周期，并且這些軌道既不會越來趨向于無窮遠(yuǎn)處，也不會收斂到一個穩(wěn)定點(diǎn)。這是人類歷史上對混沌現(xiàn)象的最初的認(rèn)識（當(dāng)時還沒有引入混沌的概念）。

雙桿擺動畫，呈現(xiàn)混沌行為

在龐加萊之后，混沌現(xiàn)象并沒有引起人們的重視，關(guān)于混沌的研究基本處于停滯狀態(tài)。然而，到了1961年，事情迎來了轉(zhuǎn)機(jī)，氣象學(xué)家愛德華·羅倫茲在用計(jì)算機(jī)模擬天氣情況時，發(fā)現(xiàn)大氣運(yùn)動系統(tǒng)對初值極為敏感，初始狀態(tài)的任何一點(diǎn)微小的變化在演化一定時間后，都會導(dǎo)致完全不一樣結(jié)果。

愛德華·諾頓·羅倫茲（Edward · Norton · Lorenz，1917 – 2008），美國數(shù)學(xué)與氣象學(xué)家，混沌理論之父，蝴蝶效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)者

羅倫茲斷言：準(zhǔn)確地對天氣做出長期的預(yù)測是不可能的。對此，他做了一個相當(dāng)形象的比喻，也就是現(xiàn)在大家所熟知的蝴蝶效應(yīng)。羅倫茲的工作揭示了：即使對于一個確定的方程，我們也可以得出完全隨機(jī)的結(jié)果。這一觀念可以說是對牛頓力學(xué)框架下的“確定論”思想提出了極大的挑戰(zhàn)。 

蝴蝶效應(yīng)

幾乎在同一時期，數(shù)學(xué)家阿諾爾德和莫塞在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了科爾莫戈羅夫提出的一個物理問題，也就是著名的卡姆（KAM）理論。該理論從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格說明了混沌現(xiàn)象是具有普遍性的。

羅倫茲的工作與卡姆理論問世之后，人們才開始慢慢意識到混沌現(xiàn)象的重要性，從而對混沌現(xiàn)象的研究也逐步進(jìn)入正軌。1975年，詹姆斯·約克和李天巖在“周期三蘊(yùn)含混沌”一文中第一次引入“chaos”這個術(shù)語，并被沿用至今。

隨后，茹厄勒與塔肯斯提出可以用“奇怪的吸引子”來刻畫混沌運(yùn)動的整體形態(tài)；曼德布洛特將分形的概念引入混沌理論中，他發(fā)現(xiàn)混沌運(yùn)動系統(tǒng)的相空間具有分形結(jié)構(gòu)，即無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)；費(fèi)根鮑姆發(fā)現(xiàn)了混沌中的分岔具有一些普適性規(guī)律，即后來著名的費(fèi)根鮑姆常數(shù)。

這些工作表明，看似雜亂無章的混沌并不是完全隨機(jī)的，相反，它卻是有跡可循的，有著內(nèi)在普適的規(guī)律。

美麗的分形

事實(shí)上，人們對混沌一開始的認(rèn)識就是混亂的，不可控的。然而，隨著對混沌理論研究逐漸深入，尤其是對其內(nèi)部亂中有序的認(rèn)識之后，人們便開始思考：是否可以通過某些手段去控制混沌呢？

一方面，當(dāng)混沌導(dǎo)致的隨機(jī)性和不確定性給我們帶來災(zāi)難時，我們能否可以通過某種手段去抑制或者消除混沌；另一方面，當(dāng)我們需要混沌為我們帶來便利時，我們又能否可以通過某些手段去產(chǎn)生我們所需要的混沌，或者將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動軌道調(diào)節(jié)到我們所需要的軌道。

混沌系統(tǒng)呈現(xiàn)的分形與分岔

帶著這樣的思考，直到1989年，布勒首次提出了混沌控制的概念。次年，奧特（Edward Ott），格里博格（Celso Grebogi）與約克（James A . Yorke）三人提出了一種參數(shù)微擾控制方法。

他們利用混沌對參數(shù)微擾的極度敏感性，通過對某個可調(diào)節(jié)的參數(shù)進(jìn)行微調(diào)，從而使系統(tǒng)進(jìn)入我們所期望的周期狀態(tài)，達(dá)到控制混沌的目的。該方法開創(chuàng)了混沌控制的先河，問世之后，立馬產(chǎn)生了及其深遠(yuǎn)的影響。人們根據(jù)該三位物理學(xué)家名字的首字母，將這項(xiàng)奠基性的混沌控制方法稱作為OGY方法。

隨后，在OGY方法的基礎(chǔ)上，人們又發(fā)展了一系列其他改進(jìn)的混沌控制方法，例如連續(xù)反饋控制法和自適應(yīng)控制法。

另外，隨著人工智能的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)其可以運(yùn)用到混沌控制中，提高控制的效率，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和模糊控制已經(jīng)成為近年來的熱點(diǎn)方向。

自上而下分別為愛德華·奧特（Edward Ott），切爾所·格里博格（Celso Grebogi）和詹姆斯·阿蘭·約克（James Alan Yorke）

如前所述，我們的世界充滿了非線性效應(yīng)，而這些非線性效應(yīng)往往會引起混沌。因此，混沌與混沌控制理論不僅僅是個數(shù)學(xué)的把戲，其更是擁有無比廣泛的應(yīng)用前景。

除了湍流、氣象以及保守三體系統(tǒng)等物理問題，混沌理論在生物學(xué)等其它基礎(chǔ)自然科學(xué)中也得到了廣泛的應(yīng)用。例如用混沌理論研究昆蟲繁殖問題，甚至是經(jīng)濟(jì)學(xué)，金融學(xué)和政治學(xué)等社會科學(xué)也能經(jīng)常見到混沌理論的身影。

昆蟲繁殖與混沌

另外，除了運(yùn)用混沌理論去解釋和解決以上科學(xué)問題以外，對于現(xiàn)代科技，混沌也有極大的應(yīng)用前景。

在控制科學(xué)與工程領(lǐng)域，混沌控制可以廣泛應(yīng)用于各類非線性控制系統(tǒng)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及控制精度與效率；在信息學(xué)領(lǐng)域，我們可以利用混沌來實(shí)現(xiàn)保密通信，以及信息的壓縮與存儲。

隨著人們對混沌與混沌控制理論研究的逐步深入，我們有理由相信，該項(xiàng)理論和技術(shù)會給我們?nèi)祟悗砀嗟捏@喜。

綜上所述，混沌是一個由非線性效應(yīng)引起的一個相當(dāng)獨(dú)特的現(xiàn)象，具有對初值的敏感性、內(nèi)稟的隨機(jī)性、長期不可預(yù)測性以及分形性和普適性等特點(diǎn)。它表面上看似雜亂無章，內(nèi)部實(shí)則另有乾坤。

δ與α為費(fèi)根鮑姆常數(shù)

在哲學(xué)范疇里，自牛頓力學(xué)建立起來后，決定論早已深入人心。然而，混沌理論和量子論的出現(xiàn)卻動搖了人們對于決定論的信仰，從而引起了一場哲學(xué)思想的變革。

在自然科學(xué)的范疇里，混沌理論中蘊(yùn)含著深刻而又豐富的數(shù)學(xué)與物理學(xué)的美，人們相信，在這些數(shù)學(xué)與物理學(xué)之美的背后必定暗含了宇宙的奧秘。

在應(yīng)用科學(xué)的范疇里，混沌與混沌控制理論能為人類的技術(shù)發(fā)展帶來無限的可能，其廣闊的應(yīng)用前景延升到了各個學(xué)科領(lǐng)域。

然而，故事并沒有就此結(jié)束，人類對混沌的認(rèn)識才只是剛剛開始，內(nèi)部乾坤有待于我們繼續(xù)發(fā)掘。亞馬遜蝴蝶魔法的秘密，還需要我們數(shù)代人去慢慢解開。