打開數(shù)學(xué)，解開疑惑

基礎(chǔ)知識點：

   1.角的平分線分得的兩個角相等，角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線；

   2.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

   3.角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

   4.三角形的內(nèi)心：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等，這個交點叫做三角形的內(nèi)心；

   5.等腰三角形底邊上的高（或中線）平分頂角（三線合一）。

一、根據(jù)對稱性，截長補短構(gòu)造全等

例題、已知：如圖，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD

解析：

方法一、截長構(gòu)造全等

      在線段AB上取點E，使得AC=AE

      易證△ACD≌△AED

      再證等腰△EBD即可

方法二、補短構(gòu)造全等

      延長AC到E，使得CE=CD

      ∴∠E=1/2∠ACD=∠B

      再證△ABD≌△AED即可

二、根據(jù)角平分線的性質(zhì)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

例題、如圖，已知AB＞AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180°

解析：    由C點向∠BAF的兩邊作垂線

        HL證明Rt△BCN≌Rt△DCM

      由此得到∠ADC+∠B=180°

三、根據(jù)等腰三角形三線合一，作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

   從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）

例題、如圖，∠BAD=∠DAC，AB＞AC,CD⊥AD于D，H是BC中點。求證：2DH=（AB-AC）

解析：    延長CD交AB于點E

   則可得等腰△ACE

   進(jìn)而得到DH為△CBE的中位線

   問題可證

四、以角分線上一點做角的另一邊的平行線構(gòu)造等腰三角形

有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如下圖所示

例題、如圖已知：在△ABC，∠B的角平分線與∠C的外角平分線相交于M，過M做BC的平行線分別交AB、AC于E、F。求證EF=BE-CF。

解析：           等腰△BEM與等腰△CFM

        得到BE=ME、CF=MF

        進(jìn)而得到EF=ME-MF=BE-CF

三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)結(jié)論

結(jié)論1：如圖1，點D是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，則∠D=90°+ 1/2∠A.

結(jié)論2：如圖2，點D是△ABC兩個外角平分線的交點，則∠D=90°- 1/2∠A.

結(jié)論3：如圖3，點D是△ABC一個外角平分線和一個內(nèi)角角平分線的交點，則∠D=1/2∠A.

結(jié)論4：如圖3，點D是△ABC一個外角平分線和一個內(nèi)角角平分線的交點，則AD是△ABC的外角平分線.點DD是△ABC旁心（三角形旁切圓的圓心,簡稱為三角形旁心，它是三角形一個內(nèi)角的平分線和其他兩個內(nèi)角的外角平分線的交點；顯然，任何三角形都存在三個旁切圓、三個旁心）

結(jié)論5：如圖4，點D是△ABC一個內(nèi)角平分線和一邊的交點，則BA:BC=AD:CD

結(jié)論6：如圖5，點D是△ABC一個內(nèi)角平分線和一邊的交點，則BA:AC=BD:CD