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哥德爾不完全性定理的內(nèi)容和有效范圍 (3) 各種典型誤解實(shí)例

程京德

從筆者前面三篇關(guān)于哥德爾不完全性定理的博文（“哥德爾不完全性定理之原始陳述” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-943124.html, “哥德爾不完全性定理的內(nèi)容和有效范圍 (1) 哥德爾斷定了什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-986744.html, “哥德爾不完全性定理的內(nèi)容和有效范圍 (2) 哥德爾并沒有斷定什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-989704.html）到今天已經(jīng)有些時(shí)光了，一直忙其他工作，顧不上調(diào)查文獻(xiàn)并且接著寫完。

今天看到科學(xué)網(wǎng)上一篇精選博文（“他寫下人類最高成就，粉碎了上千年的數(shù)學(xué)信念，還迷倒了愛因斯坦”），才覺得必須要抽時(shí)間繼續(xù)做科普工作了。本文將以漸進(jìn)（未必是以對(duì)象文章發(fā)表時(shí)間為序）方式列舉一些對(duì)哥德爾不完全性定理的典型誤解實(shí)例，以正式公開發(fā)表的文章為對(duì)象。

在科學(xué)網(wǎng)精選博文“他寫下人類最高成就，粉碎了上千年的數(shù)學(xué)信念，還迷倒了愛因斯坦”(http://blog.sciencenet.cn/blog-2966991-1052754.html)中，作者如下寫道：

“哥德爾提出的不完備定理證明了一個(gè)可怕的事實(shí)。任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術(shù)的陳述，則必定存在一個(gè)不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“相容”和“完備”是不能同時(shí)滿足的！當(dāng)然對(duì)于普通人來說，哥德爾的這個(gè)定理是非常晦澀難懂的。總之其證明了一點(diǎn)，從古至今的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為所有數(shù)學(xué)問題是可以被完美證明的，只要不斷地努力，總有一天數(shù)學(xué)將變得無懈可擊。而哥德爾不完備定理告訴所有人，數(shù)學(xué)問題并不是都能被證明的，你們的數(shù)學(xué)不是完美的?！?/span>

這段對(duì)哥氏定理的解釋，幾乎句句都在曲解哥氏定理。首先，哥氏定理不是關(guān)于“公理體系”的而是關(guān)于“形式系統(tǒng)”的（由此可以看出作者大概沒有知識(shí)和能力在概念上區(qū)分這兩者）。其次，“包含初等算術(shù)的陳述”是一句非常含混而不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕缍?，不知作者是否真的能夠說清楚什么是“初等算術(shù)的陳述”，什么是“包含”？再次，“也就是說，“相容”和“完備”是不能同時(shí)滿足的！”  這句話似乎是作者為哥氏定理結(jié)論所做的解釋，哥氏定理哪里給出這樣的結(jié)論了？除去對(duì)哥德爾不完全性定理的誤解，上面這段話中的后面部分，也是對(duì)數(shù)學(xué)家們以及數(shù)學(xué)史的曲解和胡說，充分顯示了作者的無知。

筆者本人當(dāng)然不會(huì)幼稚到期待科學(xué)網(wǎng)編輯具備判斷該博文內(nèi)容正確性的知識(shí)和能力，僅從標(biāo)題、眾多圖片、由大量形容詞和副詞堆砌的“華麗”語(yǔ)句，該文被科學(xué)網(wǎng)編輯認(rèn)定為精選博文也不奇怪。但是，對(duì)于在最最要害之處問題多多的該文，和科學(xué)網(wǎng)編輯同樣不具備專業(yè)判斷力的非專業(yè)人士、青年學(xué)生、少年兒童如果全面相信和接受該文的話，那可是上當(dāng)不淺；從這個(gè)意義來說，該文“誤人子弟”！關(guān)于筆者本人對(duì)科普文章作者之責(zé)任的觀點(diǎn)，有興趣的讀者請(qǐng)看筆者專門申明的博文“科普文章作者的責(zé)任”（http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-1053444.html）。

（2017年5月5日記，2017年5月9日補(bǔ)充）

在科學(xué)網(wǎng)上檢索了一下“哥德爾定理”，得到的博文信息之多，令人吃驚！哈哈，難怪……。

在科學(xué)網(wǎng)精選博文“我對(duì)數(shù)學(xué)的管窺蠡測(cè)”(http://blog.sciencenet.cn/blog-660333-664253.html)中，作者如下寫道：

“希爾伯特提出自己思索已久的克服數(shù)學(xué)危機(jī)的方案，稱為“形式主義綱領(lǐng)”或“希爾伯特綱領(lǐng)”，目的是建立一個(gè)包羅萬(wàn)象的數(shù)學(xué)體系，使得每個(gè)命題在這個(gè)體系下都可以指出對(duì)錯(cuò)。希爾伯特的這種努力不久后被邏輯學(xué)家哥德爾打破了。哥德爾在1931年證明了后來被稱為不完全性的定理（Godel Incompleteness Theorem）：任何數(shù)學(xué)體系均有它既不能證明也不能證偽的命題?！?/span>

上文言及的所謂“數(shù)學(xué)危機(jī)”，應(yīng)該由是19世紀(jì)末20世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的一系列悖論（康托悖論，羅素悖論，瑞恰德悖論等等）而引發(fā)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)嚴(yán)格性問題。希爾伯特提出的方案，要解決的問題是如何論證數(shù)論或者數(shù)學(xué)分析這樣的古典數(shù)學(xué)的一致性，亦即，不會(huì)存在邏輯矛盾。其目的不是上文作者所說的“建立一個(gè)包羅萬(wàn)象的數(shù)學(xué)體系，使得每個(gè)命題在這個(gè)體系下都可以指出對(duì)錯(cuò)”。哥氏定理的結(jié)論當(dāng)然不是作者所說的“任何數(shù)學(xué)體系均有它既不能證明也不能證偽的命題”。估計(jì)作者并不了解形式系統(tǒng)中“形式證明”的概念，以通常字面上的意義去理解“證明”，所以才有了“證偽”這樣的說法。

在科學(xué)網(wǎng)精選博文“正面回?fù)簦焊绲聽柖ɡ砗臀髅傻恼軐W(xué)（3）”(http://blog.sciencenet.cn/blog-731678-664470.html)中，作為對(duì)上個(gè)實(shí)例博文的“正面回?fù)簟保髡呷缦聦懙溃?/span>

“哥德爾證明了以下兩個(gè)被統(tǒng)稱為“哥德爾不完備性定理”的定理（摘自wikipedia中文版）：

【定理一】任何相容的形式體系，只要蘊(yùn)涵皮亞諾算術(shù)公理，就可以在其中構(gòu)造在體系中既不能證明也不能否證的命題（即體系是不完備的）。Any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statementthat is true,[1] but not provable in the theory (Kleene 1967, p. 250). （wikipedia上英文比較清楚，但是要需要解釋的太多，就不翻譯了）

【定理二】任何相容的形式體系，只要蘊(yùn)涵皮亞諾算術(shù)公理，它就不能用于證明它本身的相容性。For any formal effectively generated theory T including basic arithmetical truths and also certain truths about formal provability, if T includes a statement of its own consistency then T is inconsistent. （wikipedia上英文比較清楚，但是要需要解釋的太多，就不翻譯了）”

筆者曾經(jīng)在以前的博文中說過，現(xiàn)在有些“學(xué)者”居然依靠用Wikipedia和百度查詢來的信息寫作，此精選博文便是一個(gè)實(shí)例。在此實(shí)例中，摘自Wikipedia中文版的對(duì)哥德爾不完全性定理的中文陳述，以及Wikipedia的英文解釋都不嚴(yán)謹(jǐn)而含混。從中文陳述內(nèi)容來看，似乎作者們（Wikipedia中文版及該博文）區(qū)分不開形式系統(tǒng)內(nèi)“形式證明”和形式系統(tǒng)外“元證明”在概念上的不同。

（2017年5月5日晚記）

在科學(xué)網(wǎng)精選博文“哥德爾定理的證明——1 背景和內(nèi)容”(http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-691945.html)中，作者為了“讓有理工科基礎(chǔ)的讀者能領(lǐng)會(huì)精神，數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)和哲學(xué)專業(yè)了解數(shù)理邏輯的讀者，能夠消化這個(gè)證明”而如下寫道：

“現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)可以很方便地得到信息，從網(wǎng)上很快能了解到哥德爾定理（G?del's Theorem）的嚴(yán)謹(jǐn)陳述【1】（本博文筆者注：作者列出的參考文獻(xiàn)【1】為Wikipedia詞條，請(qǐng)讀者參看原精選博文），但是進(jìn)一步的解讀往往似是而非，一些推論或反駁多是從字面上的聯(lián)想和發(fā)揮?！?/span>

“羅素和懷特海在1910-1913年出版了三卷的《數(shù)學(xué)原理》，他們自信已將全部的數(shù)學(xué)建立在純邏輯的基礎(chǔ)上，為今后的所有數(shù)學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！?/span>

“哥德爾根據(jù)《數(shù)學(xué)原理》構(gòu)造出一個(gè)簡(jiǎn)單的包含著皮亞諾算術(shù)公理的形式演算系統(tǒng)，稱之為PM。哥德爾定理有兩個(gè)結(jié)論，這結(jié)論對(duì)任何包含有自然數(shù)加法和乘法的形式公理系統(tǒng)也成立： 1. PM如果是相容的（consistent）則是不完備的（incomplete）。2. PM不能證明自身的相容性（consistency）?！?/span>

筆者前面說過，現(xiàn)在有些“學(xué)者”居然依靠用Wikipedia和百度查詢來的信息寫作，此精選博文為又一個(gè)實(shí)例，此文列舉的4條參考文獻(xiàn)中，3條是Wikipedia詞條，1條是哥氏定理證明的科普著作。

在此實(shí)例中，精選博文作者關(guān)于哥德爾不完全性定理的第一句話就完全錯(cuò)了。首先，作為學(xué)術(shù)界一個(gè)周知的習(xí)慣，“PM”是指 Whitehead 和 Russell 在1910年至1913年間所著三卷本學(xué)術(shù)名著 “Principia Mathematica”（Russell 在1903年先寫就了 “Principles of Mathematics”，然后與 Whitehead 合作寫就三卷本之后用意義相同的拉丁文命名，1903年計(jì)劃的第四卷最終沒有完成）。其次，哥德爾在其1931年論文中的第一段及腳注2就明明白白地說明了 “the system of Principia Mathematica (PM) and, on the other, the axiom system for set theory of Zermelo-Fraenkel (later extended by J. v. Neumann)” (摘自哥德爾1931年論文英譯)是什么，而完全不是作者所胡說的“哥德爾根據(jù)《數(shù)學(xué)原理》構(gòu)造出一個(gè)簡(jiǎn)單的包含著皮亞諾算術(shù)公理的形式演算系統(tǒng)，稱之為PM”。這些都是經(jīng)過數(shù)理邏輯基本訓(xùn)練或者讀過最基本的數(shù)理邏輯史或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論專業(yè)書籍的人都知道的重要事實(shí)，不可隨便歪曲的。

必須明確地指出，歷史事實(shí)是，羅素和懷特海從未像精選博文作者所說的那樣“自信已將全部的數(shù)學(xué)建立在純邏輯的基礎(chǔ)上，為今后的所有數(shù)學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)”，而是恰恰相反。羅素在1901年發(fā)現(xiàn)了著名的羅素悖論(Russell's paradox)之后，為了解決悖論問題而發(fā)展建立了類型論，從經(jīng)典邏輯演算出發(fā)，再加上兩條非邏輯公理（無窮公理和選擇公理），才具體推導(dǎo)出了部分?jǐn)?shù)學(xué)。

精選博文作者關(guān)于哥德爾不完全性定理以及有效范圍的解釋，大概是從Wikipedia或者百度抄來的，描述也是含混不清的，“結(jié)論對(duì)任何包含有自然數(shù)加法和乘法的形式公理系統(tǒng)也成立”這一說法顯然不對(duì)。哥德爾提出和證明的不完全性定理，是數(shù)理邏輯學(xué)史上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囟x概念，嚴(yán)格地運(yùn)用邏輯推論規(guī)則的典范，豈可隨意曲解而不破壞其原始意義？

從精選博文作者把Wikipedia詞條解釋看作為“嚴(yán)謹(jǐn)陳述”來寫作以及筆者在上面指出的錯(cuò)誤來看，該系列精選博文的內(nèi)容究竟是否不像該作者批評(píng)別人的那樣，不是“似是而非”，不是“從字面上的聯(lián)想和發(fā)揮”，是否達(dá)到該作者的目的：“讓有理工科基礎(chǔ)的讀者能領(lǐng)會(huì)精神，數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)和哲學(xué)專業(yè)了解數(shù)理邏輯的讀者，能夠消化這個(gè)證明”了，請(qǐng)本文讀者各自判斷吧，筆者在這里僅僅舉出實(shí)例就事論事，其它評(píng)價(jià)在這里就省去了。

（2017年5月7日記）

在科學(xué)網(wǎng)博文“從哥德爾不完備定理想到的”(http://blog.sciencenet.cn/blog-401820-941028.html)中，作者在首先給出了哥德爾不完全性定理的Wikipedia英語(yǔ)詞條解釋和百度中文詞條解釋的兩個(gè)鏈接之后，如下寫道：

“哥德爾不完備定理是數(shù)理邏輯領(lǐng)域的一個(gè)重要定理，某種意義上顛覆了人類的世界觀。但是對(duì)哥德爾不完備定理有很多誤讀。本文企圖對(duì)此澄清?！?/span>

“哥德爾第一不完備定理的結(jié)論是：ZFC系統(tǒng)存在不可判別命題。所謂不可判別命題，就是在承認(rèn)ZFC無矛盾的條件下，把這個(gè)命題或者命題的否定添加入ZFC都不至于引發(fā)矛盾。”

“哥德爾第二不完備定理的結(jié)論則更加驚悚。這個(gè)定理說明：如果一個(gè)（強(qiáng)度足以證明基本算術(shù)公理的）公理系統(tǒng)可以用來證明它自身的無矛盾性，那么它是有矛盾的?！?/span>

首先，作者本人沒有說明在文首給出哥德爾不完全性定理的Wikipedia英語(yǔ)詞條解釋和百度中文詞條解釋的兩個(gè)鏈接到底是何用意。是用來作為哥氏定理標(biāo)準(zhǔn)解釋的參考文獻(xiàn)？還是用來作為“誤讀”的實(shí)例？筆者雖不能武斷地?cái)喽?，但是從此文?nèi)容來看覺得作者的用意似乎是前者而非后者；理由是，如果是后者，那么作者本人應(yīng)該是會(huì)在文章中說明何處何為“誤讀”的。如果筆者的感覺不錯(cuò)，那么此文便是依靠用Wikipedia和百度查詢來的信息寫作的又一個(gè)實(shí)例（何其多啊?。?。

其次，盡管作者寫作此文的目的是“對(duì)哥德爾不完備定理有很多誤讀。本文企圖對(duì)此澄清”，但是作者對(duì)于哥德爾不完全性定理的解釋并不清晰嚴(yán)謹(jǐn)，大概稱其仍然是“誤讀”甚至是“歪曲”也不過分。筆者在下面針對(duì)此文對(duì)哥氏定理的“誤讀”和“歪曲”逐條進(jìn)行剖析。

“ZFC系統(tǒng)存在不可判別命題?！? 除去“判別”這個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)用詞（標(biāo)準(zhǔn)用詞是“判定”）不論，作者的這一解釋無端地縮小了哥氏第一不完全性定理的有效范圍，大大地?fù)p傷了該定理本來的意義。大多數(shù)常見的對(duì)哥氏定理的誤解是任意地?cái)U(kuò)大其有效范圍，而縮小其有效范圍的誤解少見，此博文為一個(gè)實(shí)例。哥氏定理的結(jié)論和有效范圍原本是“對(duì)于所有基于經(jīng)典數(shù)理邏輯的、包含初等數(shù)論的、ω一致的形式系統(tǒng)”（參見：“哥德爾不完全性定理的內(nèi)容和有效范圍(1) 哥德爾斷定了什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-986744.html），作者肆意縮小其范圍，大概是由于作者不知道哥德爾的工作的出發(fā)點(diǎn)和目的。

“如果一個(gè)（強(qiáng)度足以證明基本算術(shù)公理的）公理系統(tǒng)可以用來證明它自身的無矛盾性，那么它是有矛盾的?！? 作者的這一解釋已經(jīng)不是對(duì)哥氏定理的誤解，可以說是歪曲了。公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)完全不是一回事，哥德爾的工作全部都是針對(duì)形式系統(tǒng)而非隨便什么公理系統(tǒng)的。作者自己大概根本就說不清什么是“一個(gè)（強(qiáng)度足以證明基本算術(shù)公理的）公理系統(tǒng)”，所以大概并不知道自己在說些什么。哥氏第二不完全性定理原本是“對(duì)于一個(gè)基于經(jīng)典數(shù)理邏輯的、遞歸的、一致的形式系統(tǒng)，表達(dá)其一致性的命題在該系統(tǒng)中不可證”（參見：“哥德爾不完全性定理的內(nèi)容和有效范圍 (1) 哥德爾斷定了什么？” http://blog.sciencenet.cn/blog-2371919-986744.html），作者上述解釋的后半段對(duì)哥氏定理的歪曲是明顯的。

最后，蛇足一句，筆者未能從此博文中讀出，作者自己究竟從哥氏定理“想到”了些什么？

（2017年5月10日記）

在一篇最近的文章 “吳文俊先生的思想對(duì)我學(xué)術(shù)研究的影響”(微信號(hào)：老顧談幾何)中，作者如下寫道：

“哥德爾的不完備定理指出對(duì)于任何一個(gè)包含算術(shù)公理的公理體系，都存在一個(gè)命題，其真與假都不與公理體系矛盾?！?/span>

這個(gè)實(shí)例對(duì)哥德爾不完全性定理的解釋錯(cuò)誤，如同我們?cè)谏厦嬉呀?jīng)指出過的，是非常明顯的；其有趣之處在于，它向我們顯示了，即便是專業(yè)數(shù)學(xué)家，只要不是真正經(jīng)過數(shù)理邏輯訓(xùn)練的或者認(rèn)真學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論（元數(shù)學(xué)）的，仍然會(huì)對(duì)哥氏定理做出錯(cuò)的很離譜的解釋。

（2017年5月12日記）

在科學(xué)網(wǎng)博文“哥德爾定理科普的常見問題——邏輯學(xué)筆記2”(http://blog.sciencenet.cn/blog-1255140-1031284.html)中，作者如下寫道：

“是否對(duì)于任一個(gè)數(shù)學(xué)命題我們都能證明其正確還是錯(cuò)誤呢？會(huì)不會(huì)存在某些正確的命題，而我們又無法證明它呢？邏輯學(xué)家哥德爾證明了這樣的命題確實(shí)是存在的。他構(gòu)造了一個(gè)命題，這個(gè)命題及其否命題都無法證明。正命題和否命題，必然一個(gè)正確一個(gè)錯(cuò)誤。由于兩者都無法證明，所以說明存在著正確而又不能證明的命題。”

這是一個(gè)貌似正確但是實(shí)際上很有問題的解說實(shí)例，哥德爾當(dāng)然從來都沒有證明過作者所說的事情。這個(gè)實(shí)例對(duì)哥德爾不完全性定理的解釋錯(cuò)誤，在于完全沒有明確界定這里所說的“證明”是什么的情形下，隨意斷定哥德爾“證明”了“存在某些正確的命題，而我們又無法“證明”（筆者注：這里的引號(hào)是筆者加的）它”。估計(jì)作者沒有元數(shù)學(xué)知識(shí)，分不清楚在這里（亦即，哥德爾證明不完全性定理這件事情）實(shí)際上存在兩種完全不同的“證明”概念：哥德爾“證明”其不完全性定理時(shí)所用的元數(shù)學(xué)證明，以及不完全性定理的斷定中所涉及的目標(biāo)數(shù)學(xué)證明（亦即，有窮觀點(diǎn)證明）。如果讓筆者來用最通俗但不失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑拋砀膶懽髡叩脑?，那么?yīng)該是如下這樣的：“哥德爾用元數(shù)學(xué)方法證明了：在基于經(jīng)典數(shù)理邏輯的算術(shù)形式系統(tǒng)中，構(gòu)造出用有窮證明方法不可證的真命題的方法是可以給定的?！?/span>

（2017年5月20日記）

在今天發(fā)表的一篇文章“彪炳千秋吳方法”(微信號(hào)：老顧談幾何)中，作者如下寫道：

“公理化系統(tǒng)首先建立一系列“不可辯駁”的公理（axioms），然后通過邏輯演算來推演引理、定理和推論，從而推演出整個(gè)理論體系。只要承認(rèn)公理，那么所有的推導(dǎo)結(jié)果必然自動(dòng)為真。特別是所有的推演過程都可以嚴(yán)格檢驗(yàn)，由機(jī)械完成。”

“歷史上，以希爾伯特（Hilbert）為代表的數(shù)學(xué)家力圖用公理化方法來統(tǒng)一整個(gè)數(shù)學(xué)，建立一個(gè)包羅萬(wàn)象的公理系統(tǒng)，來囊括所有的數(shù)學(xué)真理。哥德爾的不完備性定理否定了這一宏偉藍(lán)圖。哥德爾證明任意一個(gè)包含初等數(shù)論的公理系統(tǒng)，并且是自洽的，它必定包含某些命題，這些命題的真?zhèn)螣o法被該系統(tǒng)證明；如果此系統(tǒng)無矛盾，則其無矛盾性不可能在此系統(tǒng)內(nèi)證明。這意味著，對(duì)于任意包含有限公理的形式系統(tǒng)，存在一條數(shù)學(xué)真理，此系統(tǒng)可以表述但是無法證明，因此真理的探索過程是無止境的；同時(shí)，這一系統(tǒng)的無矛盾性，必須由其他系統(tǒng)來證明?！?/span>

“歐幾里得幾何的公理體系不包含初等數(shù)論，它是完備的。”

從這個(gè)實(shí)例的作者陳述內(nèi)容來看，作者應(yīng)該是沒有真正經(jīng)過數(shù)理邏輯訓(xùn)練或者認(rèn)真學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論（元數(shù)學(xué)）的。作者區(qū)分不開具體公理系統(tǒng)和抽象公理系統(tǒng)的不同，區(qū)分不開公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)的不同，區(qū)分不開哥德爾工作中元數(shù)學(xué)“證明”概念和目標(biāo)形式系統(tǒng)“證明”概念的不同而將兩者混為一談。

作者對(duì)其所說的“公理化系統(tǒng)”“推演出整個(gè)理論體系”是毫無根據(jù)的夸大其詞，沒有邏輯演算可以保證做到這一點(diǎn)。接下來的兩句話同樣是毫無根據(jù)的夸大其詞。在承認(rèn)公理的前提下，什么叫做“真”？什么叫做“自動(dòng)為真”？什么叫做“必然自動(dòng)為真”？作者肯定沒有模型論知識(shí)。至于作者所說的“推演過程”是否真正能夠“由機(jī)械完成”，也是既要看作者所言“推演過程”是指什么，還要看作者所言“機(jī)械完成”是個(gè)可計(jì)算性問題還是個(gè)計(jì)算復(fù)雜性問題來判別是否有實(shí)際意義。希爾伯特學(xué)派的形式主義證明論方法，遠(yuǎn)非作者所謂“用公理化方法來統(tǒng)一整個(gè)數(shù)學(xué)”那么簡(jiǎn)單！哥德爾不完全性定理當(dāng)然也沒有像作者所說“否定了這一宏偉藍(lán)圖”。哥氏定理是關(guān)于一大類形式系統(tǒng)（PM及相關(guān)系統(tǒng)）而根本不是關(guān)于作者所謂“任意一個(gè)包含初等數(shù)論的公理系統(tǒng)”的，所以當(dāng)然也與作者所言之“證明”根本無關(guān)。作者之“這意味著”后面的解說，基本上失真并且歧義。對(duì)歐式幾何公理體系說“完備”是毫無意義的，顯示了作者不懂完全（完備）性概念。

值得一提的是，此文對(duì)吳文俊先生的幾何定理自動(dòng)證明方法的解說，也有失真之處，但是與本博文目的不太相關(guān)，這里就不多說了。

如同筆者在本文前面就曾經(jīng)講過的，這樣的實(shí)例向我們顯示了，即便是專業(yè)數(shù)學(xué)家，只要不是真正經(jīng)過數(shù)理邏輯訓(xùn)練的或者認(rèn)真學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的，仍然會(huì)對(duì)哥德爾不完全性定理做出很離譜的錯(cuò)誤解釋。由此可以想見，眾多的非數(shù)學(xué)專業(yè)出身的“哥氏定理愛好者”，如果同樣是沒有真正經(jīng)過數(shù)理邏輯訓(xùn)練或者認(rèn)真學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的，對(duì)哥氏定理的隨意解釋將會(huì)怎樣了。

（2017年5月21日記）