  對(duì)理性主義者來(lái)說(shuō)，十九世紀(jì)末至二十世紀(jì)初無(wú)疑是一段令人懷念的美妙時(shí)光。人們相信，無(wú)論是以經(jīng)典力學(xué)、電磁學(xué)和熱力學(xué)為代表的物理學(xué)或是以《德國(guó)民法典》為代表的大陸法系都已接近完備。而在數(shù)學(xué)上，康托爾（Georg Cantor）集合論讓人類(lèi)第一次可以有意義地談?wù)摳鞣N不同的無(wú)窮；弗雷格（GottlobFrege）的概念文字使數(shù)學(xué)得以擺脫來(lái)自自然語(yǔ)言的模糊性；希爾伯特（David Hilbert）號(hào)召建立完備的形式系統(tǒng)一勞永逸地解決經(jīng)典數(shù)學(xué)（包括康托爾集合論）的基礎(chǔ)問(wèn)題：一切明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題都必然有一個(gè)確切的解答。我們甚至可以說(shuō)，某種樂(lè)觀的理性主義是那個(gè)時(shí)代的主流。 理性主義者認(rèn)為，存在某類(lèi)知識(shí)，它們不是通過(guò)一個(gè)個(gè)經(jīng)驗(yàn)案例得到的，而只能依賴(lài)于某種來(lái)自于理性的能力的直接把握。他們進(jìn)一步宣稱(chēng)，人類(lèi)的理性足夠把握這些知識(shí)。  注：圖為萊布尼茲 萊布尼茲是這種樂(lè)觀的理性主義的代表人物。其樂(lè)觀的理性主義最集中的體現(xiàn)，同時(shí)也是對(duì)后來(lái)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究產(chǎn)生重要影響的是他畢生關(guān)于通用文字的設(shè)想：“我認(rèn)為有可能發(fā)展出一種一般的文字，可以像代數(shù)在數(shù)學(xué)中那樣確鑿無(wú)疑地記錄所有領(lǐng)域的研究?！比R布尼茲的設(shè)想被認(rèn)為是現(xiàn)代邏輯的先聲。 在下文中，我們將分析，在理解了弗雷格與希爾伯特的失敗后，哥德?tīng)査軌蛑鲝埖氖窃鯓右环N樂(lè)觀的理性主義（第2節(jié)）；以及作為哥德?tīng)柧V領(lǐng)在當(dāng)代最有代表性的執(zhí)行者，武丁的終極L理論遇到了哪些挑戰(zhàn)（第3節(jié)）。 無(wú)論弗雷格的邏輯主義綱領(lǐng)還是希爾伯特的形式主義綱領(lǐng)都謀求一勞永逸地解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。在今天看來(lái)，這些研究綱領(lǐng)至少在表面上都失敗了。 弗雷格的邏輯主義綱領(lǐng)謀求將全部數(shù)學(xué)建立在邏輯的基礎(chǔ)之上。誠(chéng)然，羅素悖論是對(duì)弗雷格計(jì)劃的重大打擊，但它并不構(gòu)成對(duì)邏輯主義綱領(lǐng)本身的否定?？梢悦鞔_的是，羅素的發(fā)現(xiàn)讓人們意識(shí)到無(wú)論是弗雷格的（二階）邏輯、羅素本人的分支類(lèi)型論抑或集合論作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，無(wú)論它們是否被稱(chēng)作邏輯，仍然可能會(huì)出問(wèn)題，它們安全性仍然是有待檢驗(yàn)的。  希爾伯特自始至終是經(jīng)典數(shù)學(xué)（包括康托爾集合論）的捍衛(wèi)者?？赡苁鞘艿綆缀螌W(xué)公理化傳統(tǒng)的影響以及直覺(jué)主義者的步步緊逼，希爾伯特在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上選擇了形式主義的立場(chǎng)。希爾伯特試圖回避任何哲學(xué)上的糾纏，僅僅用數(shù)學(xué)結(jié)果為數(shù)學(xué)做辯護(hù)。希爾伯特要求：（1）找到包含經(jīng)典數(shù)學(xué)的形式化的公理系統(tǒng)；（2）證明該公理系統(tǒng)的一致性；（3）證明該公理系統(tǒng)的完全性。以上工作只能使用有窮主義方法（finitary method）。此即所謂的希爾伯特綱領(lǐng)。假設(shè)希爾伯特綱領(lǐng)實(shí)現(xiàn)，我們至少可以確信經(jīng)典數(shù)學(xué)是安全的，更進(jìn)一步，所有數(shù)學(xué)命題都可以在一個(gè)有窮的公理系統(tǒng)中被判定。這看似是一個(gè)可以被接受的，一勞永逸的解決方案。 然而，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ肀砻鳎柌赜?jì)劃在很強(qiáng)的意義上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。希爾伯特式形式主義的根本問(wèn)題在于，它不是一個(gè)一以貫之的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場(chǎng)。由此，形式主義者將數(shù)學(xué)分成了兩部分：有意義的真的因而不需要一致性證明的那部分（如有窮主義數(shù)學(xué)）以及更多的純形式的需要一致性證明的那部分。他們要求用較少的有意義的那部分?jǐn)?shù)學(xué)證明更多數(shù)學(xué)的一致性。因此，當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一個(gè)給定系統(tǒng)的一致性證明總需要比那個(gè)系統(tǒng)更多的東西時(shí)，就會(huì)認(rèn)為一切一致性證明就實(shí)現(xiàn)希爾伯特綱領(lǐng)而言是無(wú)意義的。  注：圖為希爾伯特 相比一致性問(wèn)題，對(duì)于作為理性主義者的哥德?tīng)杹?lái)說(shuō)，更迫切的是面對(duì)不完全性現(xiàn)象。不完全性定理帶來(lái)的沖擊如此之大，以至于即使集合論公理化已經(jīng)取得了明顯的進(jìn)展，人們不再像弗雷格或希爾伯特那樣謀求一個(gè)完全的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。樂(lè)觀的理性主義逐漸退出時(shí)代精神的主流。然而，哥德?tīng)柋救藚s是一個(gè)相比弗雷格或希爾伯特更樂(lè)觀的理性主義者。 哥德?tīng)栐?938年證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對(duì)于ZFC公理系統(tǒng)的一致性，也即從ZFC無(wú)法證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是不成立的（假設(shè)ZFC本身是一致的）。哥德?tīng)柌孪脒B續(xù)統(tǒng)假設(shè)可能是獨(dú)立于ZFC的：“康托爾的假設(shè)先天的有三種可能：或者它可以被證明，或者被否證，或者是獨(dú)立的。第三種情形最有可能，……尋找其獨(dú)立性的證明?！备绲?tīng)柕牟孪朐?963年被科恩（PaulCohen）證明。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性相比不完全性定理對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的影響可能更大。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是一個(gè)自然且明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是希爾伯特第1問(wèn)題。數(shù)學(xué)家可以宣稱(chēng)見(jiàn)證哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼哪切┟}都是人造的，缺乏自然的數(shù)學(xué)意義。然而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)獨(dú)立性的發(fā)現(xiàn)意味著數(shù)學(xué)家必須直面不完全性問(wèn)題。除非他們退回構(gòu)造主義數(shù)學(xué)劃下的牢籠中，宣稱(chēng)關(guān)于實(shí)無(wú)窮的理論是虛構(gòu)的。抑或退回形式主義的避難所（如科恩本人以及許多意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)家）。而根據(jù)之前的分析，并不存在徹底的形式主義，所謂的形式主義總是某種意義上的構(gòu)造主義。  注：圖為哥德?tīng)?/span> 正是在這里，哥德?tīng)栃Q(chēng)要為集合論（也即數(shù)學(xué)）尋找新的公理以判定諸如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)這樣的獨(dú)立命題：“不僅今天人們所知的集合論公理系統(tǒng)是不完全的，而且能夠以確定的方式補(bǔ)充新的公理，這些新公理不過(guò)是我們一直在用的公理的自然延續(xù)?！薄＿@就是所謂的“哥德?tīng)柧V領(lǐng)”。關(guān)于哥德?tīng)柧V領(lǐng)歷史及有關(guān)研究現(xiàn)狀的更詳細(xì)的介紹可以參見(jiàn)郝兆寬的《哥德?tīng)柧V領(lǐng)》。在下一節(jié)中，我們將分析武丁計(jì)劃對(duì)哥德?tīng)柧V領(lǐng)的實(shí)踐及其遇到的困難。  郝兆寬教授在《哥德?tīng)柧V領(lǐng)》一書(shū)中寫(xiě)道：
注意，由于版本（1）的哥德?tīng)柧V領(lǐng)不存在所謂的徹底實(shí)現(xiàn)，郝兆寬教授所主張的必須是某種版本（2）的哥德?tīng)柧V領(lǐng)。而這里的徹底實(shí)現(xiàn)指的是武?。╓.HughWoodin）關(guān)于終極L的研究計(jì)劃。 哥德?tīng)栐陬A(yù)言了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性后就提議通過(guò)比不可達(dá)基數(shù)或瑪洛基數(shù)更強(qiáng)的大基數(shù)公理來(lái)判定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問(wèn)題。然而，科恩的方法適用于包含任何已知大基數(shù)的公理系統(tǒng)。單憑大基數(shù)公理是無(wú)法判定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的。 注：左圖為W·HughWoodin，右圖為郝兆寬教授 以武丁和斯蒂爾為代表的加州學(xué)派的一項(xiàng)長(zhǎng)期的研究計(jì)劃是通過(guò)內(nèi)模型理論為大基數(shù)公理的一致性提供佐證。這些大基數(shù)的內(nèi)模型（例如包含一個(gè)可測(cè)基數(shù)的模型L[U]）具有凝聚性（Condensation）等良好的性質(zhì)，使其在力迫擴(kuò)張中保持絕對(duì)。因而力迫法無(wú)法證明某個(gè)命題獨(dú)立于諸如“ZF+V=L[U]+LCA”的公理系統(tǒng)，其中“V=L[U]”表示集合論宇宙就是這個(gè)內(nèi)模型，LCA表示相應(yīng)的大基數(shù)公理。 問(wèn)題是，對(duì)應(yīng)更強(qiáng)大基數(shù)的內(nèi)模型極難構(gòu)造，往往對(duì)應(yīng)某個(gè)大基數(shù)的內(nèi)模型可證地不含有更強(qiáng)的大基數(shù)。更強(qiáng)的大基數(shù)意味著更強(qiáng)的解釋力，實(shí)在論者希望公理系統(tǒng)包含更強(qiáng)的大基數(shù)從而不會(huì)在解釋力上有所損失。而武丁證明了一旦我們找到超緊致基數(shù)的內(nèi)模型，那么它將自動(dòng)成為所有通過(guò)類(lèi)似方式定義的大基數(shù)的內(nèi)模型——終極-L。由此，“ZF+V=終極-L+LCA”就成為一系列免疫于力迫法獨(dú)立性證明的“經(jīng)驗(yàn)完全的”公理系統(tǒng)了。 注意，我們無(wú)法定義什么是大基數(shù)公理，否則我們總可以找到比“所有大基數(shù)存在”更強(qiáng)的大基數(shù)性質(zhì)。武丁計(jì)劃就是找到終極-L的刻畫(huà)。由此，我們只需要通過(guò)加強(qiáng)大基數(shù)公理這一相對(duì)明確的路徑，就可以判定幾乎所有數(shù)學(xué)命題，除非有本質(zhì)上不同于力迫法和哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼男碌莫?dú)立性證明方法出現(xiàn)。 武丁的計(jì)劃的確令人激動(dòng)。它幾乎完美地對(duì)應(yīng)了版本（2.2）的哥德?tīng)柧V領(lǐng)的要求。然而，即使作為哥德?tīng)柧V領(lǐng)實(shí)踐者的武丁的親密盟友如斯蒂爾、馮琦等學(xué)者對(duì)武丁的終極-L計(jì)劃的可能結(jié)果往往持保留意見(jiàn)：它或?qū)⒃馐艽煺郏蚣词钩晒σ膊粫?huì)是一個(gè)“終結(jié)”。他們的理由很簡(jiǎn)單，正如波斯特所說(shuō)的，數(shù)學(xué)是不會(huì)終結(jié)的。顯然，這些學(xué)者主張的是版本（1）的哥德?tīng)柧V領(lǐng)。由于人們可能在關(guān)于哥德?tīng)栁鋈∈讲扇〔煌?chǎng)的情況下支持版本（1）的綱領(lǐng)，我們很難確定他們是否持有與哥德?tīng)柾瑯訕?lè)觀的立場(chǎng)。而我們幾乎可以確定武丁與郝兆寬持有與哥德?tīng)栂喈?dāng)甚至更強(qiáng)的樂(lè)觀立場(chǎng)。 事實(shí)上，真正樂(lè)觀的理性主義者總是試圖給出強(qiáng)而清晰的論斷，它們足夠清晰以至于是可以被證明為錯(cuò)的，它們也幾乎全部被證明是錯(cuò)的。弗雷格、希爾伯特、甚至哥德?tīng)枺南Ｍ诟鼜?qiáng)的大基數(shù)公理解決連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問(wèn)題而被科恩的方法證明為不可能的）概莫能外。然而，正是這些清晰明確的立場(chǎng)以及圍繞它們的工作，甚至對(duì)它們的否定，增加了人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)。 而另一方面，對(duì)理性的樂(lè)觀不應(yīng)盲目以至于無(wú)視一些已知的結(jié)果。正如哥德?tīng)柮鎸?duì)不完全性定理得出的析取式，它告訴我們不存在有窮信息的公理系統(tǒng)能把握全部客觀數(shù)學(xué)。如果科恩以后的集合論研究一再提示我們關(guān)于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的認(rèn)識(shí)可能是不收斂的，更符合理性主義的選擇或許是跟隨王浩的建議：“正視我們所知的（doing justice to what we know）”。 本文選自《自然辯證法通訊》2020年第42卷第12期 |
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