一、相關(guān)定義

　　拓?fù)淇臻g的定義如下：

　　定義1. 設(shè)X是一非空集合，X的一個(gè)子集族稱(chēng)為X的一個(gè)拓?fù)洌绻鼭M(mǎn)足：

　?。?）都包含在中

　?。?）中任意多個(gè)成員的并集仍在中

　?。?）中有限多個(gè)成員的交集仍在中

　　度量空間的定義如下：

　　定義2. 集合X上的一個(gè)度量是一個(gè)映射：,它滿(mǎn)足

　　（1）正定性. , ,, 當(dāng)

　?。?）對(duì)稱(chēng)性. ,

　　（3）三角不等式. ,

　　當(dāng)集合X上規(guī)定了一個(gè)度量后，稱(chēng)為度量空間。從相關(guān)定義中看出，若將度量空間中的開(kāi)子集取作球形鄰域，則拓?fù)淇臻g是度量空間的推廣。常見(jiàn)的度量空間有下面的一些例子:

　　例1：歐氏空間賦予距離拓?fù)浜鬄槎攘靠臻g。

　　例2：空間X賦予如下度量：，則X為度量空間。

　　例3：對(duì)實(shí)數(shù)上的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)空間，我們可以賦予如下最大模范數(shù)誘導(dǎo)的度量，即任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的的距離為這兩函數(shù)差的最大模，同樣對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，光滑函數(shù)都有類(lèi)似的定義。

　　例4：在辛幾何中，在哈密頓微分同胚群中Hofer曾定義了如下度量：

　　從其誘導(dǎo)的范數(shù)稱(chēng)為Hofer范數(shù)，該范數(shù)是研究辛拓?fù)?、辛嵌入的?qiáng)有力武器。

　　二、相關(guān)性質(zhì)

　　度量空間中許多性質(zhì)都發(fā)源于歐氏空間，它們滿(mǎn)足、、、分離公理與、可數(shù)公理，但有許多性質(zhì)到拓?fù)淇臻g就不再保持。例如可分性就不再保持。

　　命題1：可分度量空間的子空間也是可分的。

　　證明:不妨假設(shè)X是可分的度量空間，A是X的子空間，B為X的可數(shù)稠密子集。下面證明為A的可數(shù)稠密子集。

　　首先證明為A的可數(shù)子集。因?yàn)锽為可數(shù)子集，可數(shù)集的子集仍為可數(shù)集，所以為A的可數(shù)子集。

　　其次證明為A的稠密子集，此時(shí)需要在子空間拓?fù)湎掠懻摚葱枳C明A中任何開(kāi)集與的交不空，由子空間拓?fù)涠x，A中開(kāi)集u為X中開(kāi)集P與A的交，即.又因?yàn)锽為X的稠密子集，即X的任何開(kāi)集與B的交非空。所以，從而得證。

　　但可分拓?fù)淇臻g的子空間一般是不可分的，例子參見(jiàn)[1]。

　　仍有許多例子在度量空間中部成立，但在拓?fù)淇臻g中是成立的。比如在拓?fù)淇臻gX中，序列，一般推不出，但在可余拓?fù)淇臻g中，我們有如下命題：

　　命題2：在實(shí)數(shù)空間R中賦予如下的余可數(shù)拓?fù)?，，若有序列，則當(dāng)n充分大時(shí)。

　　證明：在上，序列意味著對(duì)X 的任意鄰域u，當(dāng)n充分大時(shí)，都在u中，而中的開(kāi)集為可數(shù)集的余集。故我們?nèi)=，此U為包含x的開(kāi)鄰域,但U中不含，此與矛盾。故當(dāng)n充分大時(shí)。

　　命題3：f為拓?fù)淇臻g到實(shí)數(shù)的連續(xù)映射，其中，則f為常值映射。

　　證明：假設(shè)f不是常值映射，即有實(shí)數(shù)c,d且和x,y有如下式子，。我們?nèi),d的鄰域u,v使得u,v均為開(kāi)集且互不相交。因?yàn)閒為連續(xù)映射，所以開(kāi)集的逆像為開(kāi)集，記u,v的逆像集為p,q。由拓?fù)涞亩x知且p,q有交集矛盾。

　　三、結(jié)語(yǔ)

　　度量空間和拓?fù)淇臻g是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，特別是現(xiàn)代微分幾何與現(xiàn)代微分方程的發(fā)展度量空間的相關(guān)理論已經(jīng)不能滿(mǎn)足其需要，像在辛幾何與切觸微分幾何中如何定義度量是一個(gè)非常棘手的問(wèn)題。區(qū)分度量空間和拓?fù)淇臻g具有非常顯示的意義。