2011 年 4 月，作者（前排右二）與香港浸會大學(xué)數(shù)學(xué)系 “泛函分析” 班同學(xué)

我在中國拿到了南京大學(xué)的碩士學(xué)位，后來留學(xué)美國密歇根州立大學(xué)，1990 年獲得博士學(xué)位。一眨眼，我已在美國一所大學(xué)的數(shù)學(xué)系任教 28 年了。

我上學(xué)較早，14 周歲高中畢業(yè)，先后在 3 個(gè)工廠當(dāng)過 5 年工人。我很榮幸成為了 77 級南京大學(xué)數(shù)學(xué)系新生中的一員，當(dāng)年數(shù)學(xué)系的高考均分與天文系并列全校第一，這得益于我進(jìn)廠學(xué)徒前，在 3 個(gè)月內(nèi)從頭到尾精讀完 “文革” 前高中 3 年的 18 本數(shù)理化課本。可以說，我很早就經(jīng)歷了自學(xué)和無師自通的實(shí)踐，知道怎樣讀書、懂得掌握概念是學(xué)通數(shù)學(xué)的不二法門。

進(jìn)大學(xué)后，在全班強(qiáng)手如林且人人苦讀的氛圍中，我循序漸進(jìn)，穩(wěn)打穩(wěn)扎，配合數(shù)學(xué)與人文課內(nèi)課外書籍的大量閱讀，在本科畢業(yè)時(shí)真正愛上了數(shù)學(xué)，走上了職業(yè)數(shù)學(xué)家的康莊大道。今年已經(jīng) 60 周歲的我，自認(rèn)為對怎樣讀書，尤其對怎樣讀好數(shù)學(xué)有些心得體會，甚至有過深入思考。

一 因熱愛而專注

理工科的大學(xué)生都要修高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課，如微積分和線性代數(shù)。這些數(shù)學(xué)課程通常難于一般工程學(xué)科的專業(yè)課，因此很多人學(xué)得頗為吃力，希望有捷徑可走。事實(shí)上，根本沒有讀好數(shù)學(xué)的 “靈丹妙藥”，如果有的話，數(shù)學(xué)家的子女肯定都是數(shù)學(xué)家了，因?yàn)楦篙厱⑦@些妙方傳給后代。但很顯然，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的子女長大后都干其他行當(dāng)去了。

即便如此，對 “怎樣學(xué)習(xí)” 這一難題總會有一些相對行之有效的行動準(zhǔn)則。在我讀大學(xué)本科的年代，班里那些會念書的聰明同學(xué)就掌握了這些有效的準(zhǔn)則。我自己也積累了很多可以與人交流的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。對于年輕學(xué)子，了解這些有用的學(xué)習(xí)方法并且實(shí)踐之，可能會顯著提高讀書的效率，并大大增強(qiáng)不畏困難的勇氣。

在談?wù)?“怎樣學(xué)習(xí)” 這個(gè)話題時(shí)，我們不應(yīng)忘記一個(gè)前提條件，就是學(xué)習(xí)的動力來自對所學(xué)科目的熱愛。這種出自興趣的熱愛往往被自己的天賦之才所點(diǎn)燃。那么，如同在數(shù)學(xué)上常做的那樣，我們先給出一組假設(shè)，然后再來探討怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)。這里所指的數(shù)學(xué)并非僅指數(shù)學(xué)系學(xué)生要修的那些數(shù)學(xué)，它包括大學(xué)課程里開設(shè)的任何“高等的數(shù)學(xué)”。

我們的假設(shè)是：學(xué)生已經(jīng)建立起對所學(xué)科目的感情，即學(xué)習(xí)的興趣已經(jīng)不成問題，并且該學(xué)生愿意勤奮學(xué)習(xí)。他或她是否天賦極高或智力平平，我們并不在意。在理想的狀態(tài)下，我們想知道的是怎樣事半功倍地學(xué)好這門學(xué)科。

首先要強(qiáng)調(diào)的是：學(xué)習(xí)的第一要素為專注。很難想象一個(gè)注意力高度不集中的人會念好書。有的人天生就有在熱鬧場所也能靜心讀書的本領(lǐng)，但另一些人即便在靜謐無聲的環(huán)境中也難以埋首書本。他們像身體中鉛元素含量超標(biāo)的兒童，患有多動癥，剛看了幾秒書，就開始東張西望，坐立不安。這樣的人，如果改不了動來動去的讀書姿勢，最好不要進(jìn)數(shù)學(xué)系，免得遭受《數(shù)學(xué)分析》中極限語言的痛苦折磨。須知，深奧的極限理論非凝眸定力一字一句地琢磨，不能深刻領(lǐng)會其精神實(shí)質(zhì)，頂多是云里霧里的一知半解，似懂非懂。我想指出的是，專注者看書一小時(shí)的效果，抵得上精神渙散者 5 個(gè)小時(shí)的智力勞動。如果真想學(xué)好數(shù)學(xué)，注意力較差的人必須下定決心排除萬難，先學(xué)會 “專注” 這門童子功。

怎樣才能掌握這門功夫呢? 京劇大師梅蘭芳先生出名前，曾苦練眼功。他小時(shí)候兩眼稍有近視，導(dǎo)致眼神不能外露，偶爾迎風(fēng)還會流淚，眼珠轉(zhuǎn)動也不靈活，這對于一個(gè)演員來說是個(gè)致命傷。拜師時(shí)，老師討厭他的一雙 “死魚眼睛” 而不肯教他。這就像學(xué)數(shù)學(xué)者先患了多動癥一樣。但是眼神先天不足的梅蘭芳不灰心，通過馴養(yǎng)鴿子練眼功。他的眼光始終盯住藍(lán)天中翱翔的鴿群，眼珠也隨著空中盤旋的鴿子左右轉(zhuǎn)動。久而久之，春夏秋冬，他最終練就了舞臺上一個(gè)個(gè)女性角色顧盼有神、熠熠生輝的雙眼。

舉一反三，我們便可以開出醫(yī)治 “專注缺乏癥” 的一劑良方：到人多嘈雜的場所去讀書。如果你不喜歡走出戶外訓(xùn)練自己，也可以打開電視機(jī)，選擇一個(gè)特別有趣的節(jié)目，調(diào)高音量，然后坐在電視機(jī)前看書，努力不讓自己抬起頭來看電視。剛開始時(shí)，你大概被身邊晃動的人群、高分貝的 “混合唱” 或屏幕里動人心弦的表演攪得心煩意亂，進(jìn)不了書的世界。但是，只要你強(qiáng)迫自己目光如炬地注視眼前的鉛字，無視他人他物，達(dá)到天塌下來也無所畏懼的境界，你的注意力就會穩(wěn)步上升。用不了幾次，你的專注能力就會沖上 90 分的高度。如果這樣，祝賀你已經(jīng)具有了學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)必備條件。

二 掌握概念

我在長期的讀書經(jīng)歷中，體會出學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的法寶，就是對概念的精通。其實(shí)這也是數(shù)學(xué)學(xué)得透徹的人的共性。數(shù)學(xué)以公理和公設(shè)為前提，以定義為先導(dǎo)，以邏輯為工具，逐步推演出緊緊圍繞在被定義概念周圍的各種命題。在這個(gè)過程中，推理的藝術(shù)籠罩一切。而我們看懂定理證明的一切本領(lǐng)，來源于中學(xué)所學(xué)的歐幾里得幾何。

數(shù)學(xué)命題的內(nèi)容不外乎是關(guān)于某個(gè)概念的性質(zhì)，或與其他概念的關(guān)系。命題表述中的所有概念都必須被定義。故在它們的證明中，所涉及的概念無處不在。因此一遇到某個(gè)概念，腦海里就應(yīng)浮現(xiàn)出關(guān)于它的清晰圖像。比如說，微分學(xué)里有個(gè)簡單的命題：若函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)是連續(xù)的。它的幾何直觀性是顯然的：若函數(shù)的圖像在一點(diǎn)有切線，則函數(shù)的圖像在這一點(diǎn)無間斷。在這個(gè)命題當(dāng)中，有三個(gè)數(shù)學(xué)概念，其中 “函數(shù)” 是中學(xué)里就學(xué)過的老概念。其他兩個(gè)概念，即 “連續(xù)” 和“導(dǎo)數(shù)”，則是在微分學(xué)中先后被引進(jìn)的。所以在證明這個(gè)命題時(shí)，一定要對這兩個(gè)概念的定義了然于胸。如果連導(dǎo)數(shù)的定義還停留在模模糊糊的狀態(tài)，或者根本還沒有弄懂 “連續(xù)” 究竟意味著什么，怎么能從一個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性推演出它的連續(xù)性呢？

既然概念如此重要，為什么很多學(xué)生并不把它放在眼里呢？原因之一是，對于他們而言，背誦定義比理解定義更容易、更輕松。背誦是機(jī)械性行為，而理解則需要投入思考。好的教科書中的數(shù)學(xué)定義，描述得非常清楚，也很節(jié)約，即沒有任何廢話，每個(gè)字都有用。要完全理解復(fù)雜定義的內(nèi)涵并非易事，需要不停地苦思冥想，絞盡腦汁。檢驗(yàn)自己是否真正弄懂了一個(gè)定義，一個(gè)妙法就是命令自己寫出該定義不滿足時(shí)的一句陳述。如果寫不出來，即離真懂定義尚有一段距離。

1986 年，作者在教學(xué)助理辦公室

茲舉一例。假設(shè)讀者學(xué)過 “ε-δ” 語言的極限定義，即函數(shù) f 當(dāng) x 趨向于 a 時(shí)的極限為 L，如果任給正數(shù) ε，存在正數(shù) δ，使得當(dāng)位于 f 的定義域內(nèi)的 x 滿足不等式 0<|x - a|<δ 時(shí)，不等式 |f(x)-L|<ε 就成立。那么，“函數(shù)在 a 點(diǎn)的極限不是 L”這一現(xiàn)象該怎么陳述呢？這是關(guān)于一個(gè)性質(zhì)不成立的說法。當(dāng)這個(gè)性質(zhì)比較簡單的時(shí)候，否定的說法同樣簡單。例如，“我是一個(gè)學(xué)生”的否定敘述就是 “我不是一個(gè)學(xué)生”。然而，對于一個(gè)包含了“任給”“存在”“當(dāng)...... 就” 等單詞和短語的復(fù)雜定義，它的否定語句就不是那么簡單了。我們需要開動頭腦里所有的邏輯機(jī)器，揮舞分析的大刀才能辦得到。讀到這里的讀者，就請你寫出 “函數(shù)在 a 點(diǎn)的極限不是 L” 的定義吧。

固然，有人是愿意思考的，但可能由于某些不易控制的內(nèi)外因素，對于復(fù)雜的定義或艱深的證明，一下子難以理解。這時(shí)，耐心就起了關(guān)鍵作用。這里，我們不妨借用一下美國物理學(xué)家理查德 · 費(fèi)曼在 23 歲時(shí)給他 14 歲妹妹的讀書指導(dǎo)：“你從頭讀，盡量往下讀直到你一竅不通時(shí)，再從頭開始。這樣堅(jiān)持往下讀，直到你全能讀懂為止?！?這個(gè)方法是行之有效的，最適用于希望無師自通的自學(xué)者。

既然數(shù)學(xué)是一門 “證明的科學(xué)”，從某種意義上說，學(xué)會了證明或者至少看懂了證明，就等于學(xué)好了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)中的命題常有其他名字，大部分重要的命題被稱為“定理”。一小部分以“引理” 冠名，還有的叫 “推論” 或“系”。前者的功能是為了證明其他定理，后者就是前面一個(gè)定理的某個(gè)直接結(jié)果。弄不懂命題的證明，對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言幾乎就是 “恥辱”。所以，我的博士論文導(dǎo)師李天巖教授的博士論文導(dǎo)師約克教授曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)說：“理解重要定理證明的每一步比理解定理本身還重要。” 但是，如何看懂定理的證明呢？

2015 年我發(fā)表在《數(shù)學(xué)文化》上的《約克教授談教育》一文中，記載了約克教授對于怎樣看懂定理證明的指導(dǎo)性建議：

“學(xué)生（甚至教授）要試圖理解證明中的關(guān)鍵思想，并最好找到兩個(gè)關(guān)鍵的想法。這些關(guān)鍵思路不一定非得以‘引理’的面貌出現(xiàn)，因?yàn)闀幸苍S指出了太多似是而非的關(guān)鍵線索。其實(shí)關(guān)鍵思想往往是令學(xué)生大吃一驚的那個(gè)，因而不同人會挑出一個(gè)證明中的不同關(guān)鍵想法。它們是提高我們理解力的關(guān)鍵要素。一個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)子也許會有復(fù)雜的證明，故學(xué)生們應(yīng)當(dāng)從這個(gè)過程中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)關(guān)鍵的思想。”

2010 年 11 月，李天巖教授（左三）與過去的博士生相聚美國，右一為作者

三 做題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要步驟是做習(xí)題，然而絕不是做得越多越好。我的大學(xué)同學(xué)田剛院士讀本科時(shí)雖然做了近兩萬道習(xí)題，但是他現(xiàn)在并不鼓勵學(xué)數(shù)學(xué)的大學(xué)生像他過去那樣。不可否認(rèn)的是，美國造就了很多杰出的數(shù)學(xué)家，原因就在于美國學(xué)生做題不是為了應(yīng)試，而是為了鞏固概念并幫助 “推陳出新”。

那么，怎樣做題才算 “科學(xué)地做題”？學(xué)好數(shù)學(xué)最根本的要旨是掌握概念，所以概念不清的時(shí)候不要急于做題。事實(shí)上，完成任務(wù)式的做題是難以“做好題” 的。下課后應(yīng)該不慌不忙地先把定義、定理了解得一清二楚，然后再開始做題，有助于加深概念理解。好的教科書列出的習(xí)題，一部分是圍繞概念或應(yīng)用定理的“常規(guī)題目”，還有一部分是錦上添花極具挑戰(zhàn)性的上等題目。有的書干脆列出帶有提高性的重要命題，挑戰(zhàn)讀者的解題和證明能力。要敢于嘗試這類題目，不要做太多幾乎不用動腦子的“概念題”。這才是提高數(shù)學(xué)品味的最佳途徑。

總而言之，學(xué)習(xí)與婚姻一樣，都是終身大事。在青少年階段養(yǎng)成 “好讀書” 的習(xí)慣和 “讀好書” 的品味，在課堂求學(xué)的數(shù)年，學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)，尋求適合自己的讀書方法，就能化被動為主動，喚起書中鉛字的活力，把它們讀得翩翩起舞，你的思維就會活動起來，閱讀快感會不斷升騰，你的人生經(jīng)歷也將越來越滋潤有味了。