一定要學(xué)好三門(mén)學(xué)科美國(guó)數(shù)學(xué)家L。A。斯蒂恩在《今日數(shù)學(xué)》中寫(xiě)道： “這三門(mén)學(xué)科――－代數(shù)、分析和拓?fù)洙D―代表了現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的共同修養(yǎng)。這些領(lǐng)域的定理、定義和方法，形成數(shù)學(xué)教育的經(jīng)典：一個(gè)人不能閱讀用代數(shù)、分析和拓?fù)涞恼Z(yǔ)言寫(xiě)的數(shù)學(xué)書(shū)，就不能自命真有數(shù)學(xué)知識(shí)。從二十世紀(jì)初期的這三個(gè)領(lǐng)域里產(chǎn)生了五花八門(mén)、難易相信的現(xiàn)代數(shù)學(xué)?！?/span> 這三門(mén)學(xué)科其中兩門(mén)――代數(shù)和分析是大一的必修課。一定要認(rèn)真學(xué)好。 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，一定要堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)概念第一，運(yùn)算技巧第二的原則。 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。這里的“數(shù)”和“形”應(yīng)做廣義的理解。這樣，結(jié)構(gòu)、范疇、模型等對(duì)象都可包括在里面。 數(shù)學(xué)是推理的科學(xué)。推理的第一步就是要定義概念。毛澤東在《實(shí)踐論》中寫(xiě)道：“社會(huì)實(shí)踐的繼續(xù)，使人們?cè)趯?shí)踐中引起的感覺(jué)和印象的東西反復(fù)了多次，于是在人們的腦子里生起了一個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程中的突變（即飛躍），產(chǎn)生了概念。概念這種東西已經(jīng)不是事物的現(xiàn)象，不是事物的各個(gè)片面，不是它們的外部聯(lián)系，而是抓著了事物的本質(zhì)，事物的全體，事物的內(nèi)部聯(lián)系了。概念同感覺(jué)，不但是數(shù)量上的差別，而且有了性質(zhì)上的差別。循此繼進(jìn)。使用判斷和推理的方法，就可產(chǎn)生出合乎論理的結(jié)論來(lái)?！?/span> 邏輯學(xué)上把概念看成是思維的細(xì)胞，是反映對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式。在思維過(guò)程中人們依靠概念構(gòu)成判斷并形成推理。 2003級(jí)數(shù)院學(xué)生孫洪賓談到姜伯駒老師非常強(qiáng)調(diào)對(duì)于基本數(shù)學(xué)定義的理解與記憶。在期末考試中，幾乎每一道題目都有一小問(wèn)是要求我們敘述定義或是公理。 數(shù)學(xué)有一個(gè)特點(diǎn)就是高度抽象。數(shù)學(xué)的抽象能力是很重要的能力。許寶馬錄先生非常強(qiáng)調(diào)這點(diǎn)，他說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的抽象能力是重要的，一些問(wèn)題經(jīng)過(guò)抽象之后，不僅問(wèn)題簡(jiǎn)明了，而且它的實(shí)質(zhì)也更清楚了。”他經(jīng)常用實(shí)例教育學(xué)生，如何進(jìn)行抽象，就是經(jīng)常分析和比較，能把表面上看起來(lái)似乎不相干的內(nèi)容經(jīng)抽象后看出來(lái)實(shí)質(zhì)上是一樣的。 代數(shù)和幾何這些基本原理是來(lái)源于對(duì)日常生活經(jīng)驗(yàn)的抽象。這種抽象可以一環(huán)套一環(huán)地反復(fù)進(jìn)行。這里“抽象”這個(gè)詞要理解為“去除”的意思，也就是去掉那些對(duì)有關(guān)問(wèn)題的來(lái)龍去脈或?qū)δ程囟康膩?lái)說(shuō)是非本質(zhì)的東西。因此，我們對(duì)數(shù)學(xué)概念不僅要知道它是怎樣定義的，而且要知道它是怎樣抽象出來(lái)的。有些重要的數(shù)學(xué)概念如實(shí)數(shù)、函數(shù)不是一開(kāi)始就這樣定義的，而是經(jīng)過(guò)多人、多年才得到今天的概念。就是說(shuō)有些數(shù)學(xué)概念不是“不刊”的，而是“可刊”的。 抽象的過(guò)程就是由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)過(guò)程，毛澤東是這樣描述這個(gè)過(guò)程的：“要完整地反映整個(gè)事物，反映事物的本質(zhì)，反映事物的內(nèi)部規(guī)律性，就必須經(jīng)過(guò)思考作用，將豐富的感覺(jué)材料加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、禹及里的改造制作工夫，造成概念和理論的系統(tǒng)?！蔽覀儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就要學(xué)習(xí)這概念是如何抽象出來(lái)的，還要能回到具體對(duì)象去。 我們學(xué)好數(shù)學(xué)是為了更好的運(yùn)用數(shù)學(xué)，一定要“真懂”。不要認(rèn)為考試得了高分就是“真懂”了。我大學(xué)同學(xué)朱健士每次考試成績(jī)不高，但他考試后還繼續(xù)看書(shū)，真正弄懂，后來(lái)被選為工程院士。 學(xué)習(xí)方法上還是華羅庚先生的由厚到薄，印到厚的過(guò)程。許寶馬錄先生將第一階段再分為兩個(gè)階段，他說(shuō)，讀一本書(shū)要經(jīng)過(guò)變厚再變薄的幾個(gè)階段。第一階段要變厚，就是要補(bǔ)充書(shū)上未詳細(xì)給的、甚至未給的證明；找出書(shū)上的錯(cuò)誤給以更正；自己想到的內(nèi)容，給以補(bǔ)充。。。。，這樣念完一本書(shū)，這本書(shū)就變厚了。第二階段是由厚再變薄。這就是要把書(shū)中的關(guān)系、推理的關(guān)鍵步驟和基本方法提煉出來(lái)，掌握了這些，全書(shū)的內(nèi)容都了然如指。這第二個(gè)階段是不容易的，沒(méi)有這第二階段，就不易進(jìn)入研究的領(lǐng)域。 在第一階段，許先生的讀書(shū)方法是看清楚了一條定理的條件和結(jié)論后，應(yīng)自己去設(shè)法證明，寫(xiě)出來(lái)與書(shū)上的進(jìn)行比較，看哪些是書(shū)上的好，什么地方是自己的好，弄清原因，然后再整理，這樣才能真正吸收書(shū)上的內(nèi)容。這樣做當(dāng)然很費(fèi)工夫，沒(méi)有勤奮好學(xué)的毅力，是很難堅(jiān)持的。 許先生還要求念一本書(shū)，就要故意和作者作對(duì)，盡量去挑書(shū)上的毛病，不要認(rèn)為寫(xiě)書(shū)的人是大專家，不會(huì)有錯(cuò)，很難找到一本一點(diǎn)錯(cuò)也沒(méi)有的書(shū)。許先生就是這樣做的。張堯庭教授說(shuō)，他隨許老師十年，發(fā)現(xiàn)許先生讀過(guò)的書(shū)幾乎都被他找出各種大大小小的錯(cuò)。張教授還舉出自己經(jīng)歷的事例，他說(shuō)，剛念費(fèi)勒的《概率論及其應(yīng)用》時(shí)，許先生說(shuō)書(shū)中的循環(huán)事件定義有問(wèn)題。還指出，定義為什么不妥，應(yīng)如何修改。當(dāng)時(shí)張教授是快大學(xué)畢業(yè)的學(xué)生，從未想過(guò)書(shū)上的定義有問(wèn)題，特別像費(fèi)勒這樣的大專家，他寫(xiě)的書(shū)，定義還會(huì)有問(wèn)題，似乎是難以想象的。隔了一年，費(fèi)勒的書(shū)出了修訂版，張教授拿到新書(shū)后，看到循環(huán)事件的定義真是修改了，而且是和許先生說(shuō)的一樣，自此以后，張堯庭念書(shū)時(shí)對(duì)新的概念特別注意它的定義是否合適。 關(guān)于印到厚，2004級(jí)數(shù)院學(xué)生韓思蒙（獲哈佛大學(xué)全額獎(jiǎng)學(xué)金，攻讀統(tǒng)計(jì)學(xué)博士）體會(huì)很深，他說(shuō)：“陳天權(quán)老師曾經(jīng)諄諄教導(dǎo)我們說(shuō)：學(xué)數(shù)學(xué)一頁(yè)書(shū)要讀出十頁(yè)筆記，雖然作者會(huì)跳過(guò)一些內(nèi)容，但是作者所明白的其中的奧妙，我們未必清楚，所以需要在筆記中全部補(bǔ)充完整。就這樣薄薄的一本書(shū)，我們往往要寫(xiě)下厚厚的筆記?！?/span> 對(duì)于由厚到薄，張景中院士這樣講的：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，切忌死記硬背，機(jī)械推演，貴在聯(lián)系貫通，舉一反三。數(shù)學(xué)概念要聯(lián)系生活實(shí)際，數(shù)學(xué)方法要解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)本身的各部分內(nèi)容，更有密切的聯(lián)系?！坝捎谟忻芮械穆?lián)系，所以可以壓縮。他舉了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)。 他說(shuō)：”非0實(shí)數(shù)的0次冪為1“，當(dāng)F（x）是指數(shù)函數(shù)時(shí)表述為F（0）＝1，當(dāng)F（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)表述為F（1）＝0； “1的任意次冪為1“，對(duì)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)表現(xiàn)為底不為1，對(duì)于冪函數(shù)F（x）表現(xiàn)為F（1）＝1，在圖上又表現(xiàn)為曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）。 這三類函數(shù)都有單調(diào)性，但歸根結(jié)底無(wú)非是兩點(diǎn)，就是“大于1的正數(shù)，正指數(shù)冪大于1；小于1的正數(shù)，正指數(shù)冪小于1“。因?yàn)榇笥?的正數(shù)的倒數(shù)小于1，兩點(diǎn)又歸為一點(diǎn)。 一件事有幾種說(shuō)法，說(shuō)來(lái)說(shuō)去是一回事。一個(gè)城市的電話號(hào)碼增1位，人口增長(zhǎng)10倍，說(shuō)明指數(shù)增長(zhǎng)快；人口增長(zhǎng)10倍，電話號(hào)碼才增加1位，說(shuō)明對(duì)數(shù)增長(zhǎng)慢。 看清楚這一點(diǎn)，學(xué)數(shù)學(xué)就能舉一反三，就有了味道，就記得住，就用得活。 100多頁(yè)的數(shù)學(xué)課本，這樣想來(lái)想去，就只有十幾頁(yè)，兩三頁(yè)，甚至只有幾行了。但這幾行又能千變?nèi)f化，解決大量實(shí)際問(wèn)題?！?/span> 學(xué)數(shù)學(xué)，必須要做習(xí)題。習(xí)題有三種，一是很容易的，主要是直接套用公式或定理，，一是不容易做的，技巧性很高的，許寶馬錄先生對(duì)這類題很重視，說(shuō)這個(gè)題不容易做，那正說(shuō)明你應(yīng)該做這個(gè)題目。我記得我讀書(shū)時(shí)有道題用了幾天才做出。有同學(xué)很快做出來(lái)了，我不去問(wèn)他，我想別人能作得出，我也能做得出。我們那時(shí)絕大多數(shù)人的作業(yè)是獨(dú)立完成的。 第三種習(xí)題本身就是定理，不夠格放于正文，只能當(dāng)習(xí)題。這些題必須做，做了后就可以當(dāng)定理用。 許寶馬錄先生很認(rèn)真做習(xí)題，他還保存了40年代在西南聯(lián)大教書(shū)時(shí)做的習(xí)題。除了自己認(rèn)真做外，還要求學(xué)生做題不僅要對(duì)，而且方法要好，他不僅對(duì)作業(yè)批改對(duì)不對(duì)，而且還指出這個(gè)題解的方法好不好，對(duì)不好的，批示給出另外更好的方法。 我們學(xué)數(shù)學(xué)不僅是學(xué)知識(shí)，還要學(xué)數(shù)學(xué)的思維方法。北大丘維聲教授概括為： 觀察――抽象――探索――猜測(cè)――論證。 具體來(lái)說(shuō)，就是觀察客觀現(xiàn)象，抓住主要特征，抽象出概念或者建立模型，猜測(cè)可能有的規(guī)律，然后進(jìn)行深入分析、邏輯推理和計(jì)算，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律。 他給學(xué)生上第一堂課時(shí)就提出數(shù)學(xué)的思維方式，他說(shuō)：“也許三年后，你們都不會(huì)記得這些推導(dǎo)，十年后，都不會(huì)記得這些定理，但是數(shù)學(xué)的思維方式，會(huì)影響你們一輩子?！?/span> 其實(shí)，不僅數(shù)學(xué)思維是如此，物理等自然科學(xué)的研究也是如此，從觀察現(xiàn)象，再抽象，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，提出假說(shuō)，然后論證，只是論證方法不同而已。 就是文學(xué)，也需要細(xì)致觀察，找到共同特征，得到形象語(yǔ)言。高爾基說(shuō)：“文學(xué)是用語(yǔ)言來(lái)創(chuàng)造形象、典型和性格，用語(yǔ)言來(lái)反映現(xiàn)實(shí)事件、自然景象和思維過(guò)程?！睋?jù)說(shuō)短篇小說(shuō)之王莫泊桑畢業(yè)論文就是觀察100個(gè)馬車(chē)夫，抽象出共同特征用一個(gè)馬車(chē)夫來(lái)表達(dá)。每門(mén)學(xué)科都有自己的語(yǔ)言，表達(dá)方式和形式不同。 將各門(mén)學(xué)科的知識(shí)概括為共性的學(xué)科就是哲學(xué)。哲學(xué)的原意就是愛(ài)智。對(duì)哲學(xué)的定義有多種。有一說(shuō)法是：哲學(xué)可以用三句話來(lái)描述：（一）哲學(xué)就是培養(yǎng)智慧；（二）哲學(xué)就是發(fā)現(xiàn)真理；（三）哲學(xué)就是印證價(jià)值。 馮友蘭先生認(rèn)為哲學(xué)的內(nèi)容是“人類精神的反思”，北師大周桂鈿教授把人類精神分為三大類：真、善、美。因此，哲學(xué)按研究?jī)?nèi)容分，可以分為求真的哲學(xué)，求善的哲學(xué)與求美的哲學(xué)。 求真的哲學(xué)，根據(jù)科學(xué)成果，通過(guò)邏輯分析，探討宇宙本原，西方哲學(xué)以求真的科學(xué)哲學(xué)為主流。 求善的政治哲學(xué)，研究的主題是社會(huì)治理的問(wèn)題，以歷史上政治興衰成敗作為借鑒，以當(dāng)代人的性情作為依據(jù)進(jìn)行研究。 有一點(diǎn)是共同的，那就是學(xué)習(xí)哲學(xué)，能使人聰明。我希望你們?cè)谕?/span>選課中選點(diǎn)哲學(xué)課，如不選也要旁聽(tīng)?zhēng)渍n。能進(jìn)北大的學(xué)生都是聰明的，學(xué)了哲學(xué)更聰明，何樂(lè)而不為呢？ 你們二年級(jí)后就要分專業(yè)了，不論學(xué)什么專業(yè)，這三門(mén)課一定要學(xué)好。學(xué)好了這三門(mén)，以后的學(xué)習(xí)就不太費(fèi)力了。你們中不可能都從事數(shù)學(xué)工作，很可能大部分轉(zhuǎn)行，也需要一部分人轉(zhuǎn)行（主要是非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家數(shù)學(xué)知識(shí)普遍不精，不排除個(gè)別人的數(shù)學(xué)比學(xué)數(shù)學(xué)的還好。）數(shù)學(xué)在絕大多數(shù)領(lǐng)域都能發(fā)揮作用，到北大后，你必須尋求你最感興趣的學(xué)科，本科以后再去。因此本科的學(xué)習(xí)對(duì)你們今后學(xué)什么專業(yè)都是很重要的。 北大數(shù)院的學(xué)生，好樣的。 我們讀大學(xué)時(shí)絕大多數(shù)人都希望對(duì)數(shù)學(xué)有所貢獻(xiàn)，有人更想在數(shù)學(xué)史上留下自己的名字。但是由于這種或那種原因，我們的黃金時(shí)間被虛耗了。我們年級(jí)才出了7個(gè)院士。我們老了，做不到“老驥伏櫪，志在千里?！绷恕Ｍ踹x曾說(shuō)，“老驥伏櫪”，最好用“扶植新秀，甘為人梯”的精神來(lái)實(shí)現(xiàn)自己“志在千里”的雄心壯志。我沒(méi)有王選的水平，沒(méi)有能力“扶植”，我說(shuō)掌握的知識(shí)不足以做“人梯”。我只有期望，讓你們實(shí)現(xiàn)我們的愿望：使我國(guó)數(shù)學(xué)重整雄風(fēng)，在世界數(shù)學(xué)中有重要一席位置。 一． 我在中學(xué)時(shí)很少聽(tīng)課，老師在上面講，我就在堂上做作業(yè)，講完課，我作業(yè)也做完了，比老師布置的作業(yè)要多。但到大學(xué)后我聽(tīng)課很認(rèn)真，一是你不聽(tīng)好課，無(wú)法做題。一是老師講的太好了。王選在總結(jié)他取得成績(jī)有幾條，其中之一就是聽(tīng)了許多大師講的基礎(chǔ)課，打下非常扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。聽(tīng)完課后還要好好復(fù)習(xí)。至少達(dá)到1比1。即1小時(shí)課要用1小時(shí)復(fù)習(xí)。我指的是主干課。我們年級(jí)有位同學(xué)叫朱賤士，考試成績(jī)中下，打他 二． 科學(xué)就是用已知探索未知，就要走前人未走過(guò)的路。這條路很艱巨，需要勇氣和鍥而不舍的實(shí)干精神。支撐他們的是對(duì)科學(xué)的癡迷和熱愛(ài)。愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：只有把科學(xué)作為自己的熱愛(ài)，把科學(xué)的真、善、美作為自己的追求，把科學(xué)內(nèi)化為我們精神一部分的時(shí)候，才有產(chǎn)生偉大的科學(xué)思想的熱情和靈感。 很多數(shù)學(xué)家取得成就的主要原因是熱愛(ài)數(shù)學(xué)，追求數(shù)學(xué)美。 數(shù)學(xué)最初是以非常樸實(shí)的方式發(fā)展起來(lái)的。它從數(shù)1，2，3，。。。和直觀易見(jiàn)的幾何圖形如點(diǎn)、線段、直線、空間的平面、角、三角形、圓等出發(fā)，逐步發(fā)展成具有數(shù)域和圖形域的較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，這些數(shù)域和圖形域的研究并不各自成一體系，而是通過(guò)測(cè)量這個(gè)概念來(lái)相互聯(lián)系。就這樣產(chǎn)生了數(shù)學(xué)。開(kāi)始是巴比倫人和埃及人，但把數(shù)學(xué)推倒一個(gè)嶄新階段的卻是希臘人。他們覺(jué)得不能光是向前探索，更應(yīng)回顧思索，通過(guò)他們的努力，數(shù)學(xué)才發(fā)展成為具有現(xiàn)代概念的一門(mén)科學(xué)。一方面，他們已認(rèn)識(shí)到，（數(shù)學(xué)）證明就是將數(shù)學(xué)命題通過(guò)最簡(jiǎn)單的合乎邏輯的推論，歸納為其他一些已知事實(shí)，即歸納為那些已為經(jīng)驗(yàn)所證實(shí)、足以使人信服的東西。另一方面，他們已意識(shí)到，這種歸納過(guò)程不可能無(wú)限進(jìn)行下去，而只能局限于數(shù)或圖形的某些最簡(jiǎn)單的性質(zhì)，這些性質(zhì)的可靠性又可由直觀或經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定。 就這樣，他們第一次有意識(shí)地搜集一系列的基本事實(shí)，如過(guò)兩點(diǎn)只能引一條直線等。并將其編纂成集，同時(shí)他們還奠定了邏輯學(xué)基礎(chǔ)。這兩方面的專著使幾何由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地建立起來(lái)了。歐幾里徳幾何學(xué)就成為這門(mén)科學(xué)的典范。 這樣說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)主要依靠推理，我為什么要求培養(yǎng)想象力呢？英國(guó)數(shù)學(xué)家德。摩根（De Morgan1806－1871）說(shuō)：“數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的動(dòng)力不是推理，而是想象力的發(fā)揮。”試想，如果沒(méi)有想象力，數(shù)學(xué)怎能和藝術(shù)結(jié)合。 想象力培養(yǎng)更需要人文科學(xué)特別是文學(xué)。我們知道很多大數(shù)學(xué)家文學(xué)修養(yǎng)很高，如蘇步青先生2000年出版一本書(shū)《數(shù)與詩(shī)的交融》，里面精選了蘇老的詩(shī)詞（他寫(xiě)了500多首）。 三． 高斯在給Schumacher的信中說(shuō)：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)特征就是在我們的符號(hào)和名詞的語(yǔ)言中，有一個(gè)杠桿，通過(guò)這個(gè)杠桿可以將非常復(fù)雜的論證簡(jiǎn)化成某個(gè)機(jī)理，盡管在大多數(shù)情況下，這樣做的實(shí)質(zhì)就是默認(rèn)某些假設(shè)，然而機(jī)械地使用這個(gè)杠桿，卻是多么地屢見(jiàn)不鮮。我認(rèn)為，每當(dāng)進(jìn)行運(yùn)算，每當(dāng)運(yùn)用概念時(shí)，我們都必須始終不忘初始條件，卻不能把通過(guò)這種機(jī)理得出的結(jié)果，看成是超出明確規(guī)定范圍的數(shù)學(xué)性質(zhì)?！?/span> 對(duì)數(shù)學(xué)概念我們要徹底理解。如函數(shù)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的特征?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)是研究函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)。再如極限概念。高等數(shù)學(xué)就是從嚴(yán)格的極限理論開(kāi)始的。極限理論一方面是無(wú)窮數(shù)列和函數(shù)理論的基礎(chǔ)，另一方面又是函數(shù)連續(xù)性和微積分計(jì)算的基礎(chǔ)。連續(xù)函數(shù)和微積分的重要性不僅在于是整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，而且在物理、技術(shù)等方面都有很重要的應(yīng)用。很多物理問(wèn)題是以微分方程的形式出現(xiàn)的。再如集合論。集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基石。幾乎所有數(shù)學(xué)概念的精確定義都是建立在集合論基礎(chǔ)上的，而且數(shù)學(xué)演繹方法就具有邏輯論證與集合論論證相結(jié)合的特征。簡(jiǎn)單地說(shuō)，集合論語(yǔ)言是全世界數(shù)學(xué)家表達(dá)和領(lǐng)會(huì)的公共用語(yǔ)。因此，如果誰(shuí)想在高等數(shù)學(xué)本身或者它的實(shí)際應(yīng)用中取得任何進(jìn)展，那么他就必須熟悉集合論的基本概念和結(jié)果，以及表達(dá)它們的語(yǔ)言。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些大的分支，特別是代數(shù)、幾何、分析，都是建立在公理體系上的。建立過(guò)程大致如下：已知為一組數(shù)學(xué)對(duì)象（通常稱為集），該集的各個(gè)元素和用于描述這些數(shù)學(xué)對(duì)象的基本性質(zhì)的一組公理，接著就提出下列工作:首先由這些公理推出盡可能多的推論，即盡量將這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)擴(kuò)展到最大范圍；然后將有關(guān)公理體系的所有處理方法進(jìn)行全面考察。 康托提出集合論后，產(chǎn)生了矛盾，數(shù)學(xué)家借此機(jī)會(huì)更徹底地思考了在定義數(shù)學(xué)概念時(shí)涉及到的問(wèn)題。于是，一門(mén)系統(tǒng)的數(shù)理邏輯便發(fā)展起來(lái)了。 四． 我們現(xiàn)在學(xué)到的證明不是原始的證明，最好了解證明改進(jìn)過(guò)程。這個(gè)證明是否定型。不少數(shù)學(xué)家活動(dòng)的一大部分是尋求舊定理的新證明，他們想找到最快捷、最漂亮、最有效的途徑。1955級(jí)同學(xué)當(dāng)年就改進(jìn)了課本上的證明。 看《通俗數(shù)學(xué)名著譯叢》國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟將2000年定位“世界數(shù)學(xué)年”，其主要宗旨就是’使數(shù)學(xué)及其對(duì)世界的意義被社會(huì)所了解，特別是被普通公眾所接受。“為了迎接2000年世界數(shù)學(xué)年，上海教育出版社1997年出版了《通俗數(shù)學(xué)名著譯叢》。叢書(shū)的讀者對(duì)象很廣泛。對(duì)于專業(yè)數(shù)學(xué)工作者，本叢書(shū)的部分作品也是值得一讀的。因?yàn)楝F(xiàn)代數(shù)學(xué)是一株分支很多的大樹(shù)，一個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)于他所研究的專業(yè)以外的領(lǐng)域，也往往深有隔行如隔山之感，也需要涉獵其他分支的進(jìn)展，了解數(shù)學(xué)不同分支的聯(lián)系。 除了叢書(shū)以外，還可以讀些數(shù)學(xué)史，如《古今數(shù)學(xué)思想》等。這些是輔助讀物，目的是擴(kuò)大眼界，當(dāng)然首先要聽(tīng)好課，學(xué)好教材。 對(duì)目前所用教材，我沒(méi)有看過(guò)。我手頭上只是部分讀過(guò)的。那時(shí)教材主要是蘇聯(lián)的，也參考西方的（很多沒(méi)有譯本，只有看原版）。有的教材沒(méi)有習(xí)題，另有習(xí)題集。有的是附有習(xí)題的。 對(duì)于附有習(xí)題集的，作者都強(qiáng)調(diào)要認(rèn)真做。如《測(cè)度論》的作者在序中說(shuō)：“差不多在每一節(jié)的末尾，總有一些習(xí)題，有些以問(wèn)題方式提出，但大部分是作為肯定的命題提出而希望讀者能加以證明的。應(yīng)該將這些習(xí)題看作構(gòu)塵書(shū)的有機(jī)部分；在這些習(xí)題里，不但有了解理論不可缺少的正例和反例，也有新概念的定義，偶爾更有在不久以前還是研究對(duì)象的完整理論。 對(duì)于沒(méi)有習(xí)題的，就需要從習(xí)題集中精選，是否做完，我們過(guò)去要求多做些（老師要求多看文獻(xiàn)，少做點(diǎn)題，說(shuō)這是對(duì)看文獻(xiàn)來(lái)說(shuō)的，但習(xí)題量是不少的），前幾年，在北大任教大學(xué)同學(xué)對(duì)我說(shuō)，由于有了數(shù)學(xué)軟件，現(xiàn)在要求學(xué)生做題比我們那時(shí)少得多。 學(xué)數(shù)學(xué)要注意邏輯推理，更重要的是想象力，這是德。摩根說(shuō)的；“數(shù)學(xué)的原動(dòng)力是想象力而不是推理。”數(shù)學(xué)的思維方式是：觀察――抽象―――探索――猜測(cè)―――論證。 要培養(yǎng)想象力，就需要多讀文學(xué)作品特別是詩(shī)歌。 |
|
|
來(lái)自： 秘哉巴比倫 > 《經(jīng)驗(yàn)之談》
