解讀《三體》:7. 三體運(yùn)動：歐拉、拉格朗日特解與三體運(yùn)動的新特解

魏成領(lǐng)悟到“空”的微妙之處以及三體運(yùn)動的基本圖景后，用自己的方法，不通過計(jì)算機(jī)，只用紙筆計(jì)算三體運(yùn)動。

一個(gè)年輕的女人因?yàn)閾斓搅怂麃G棄的草稿紙而找到他，對他的方法非常感興趣，約他下山，為他提供計(jì)巨型計(jì)算機(jī)。魏成答應(yīng)了她。此人是申玉菲，后來成為魏成的妻子。此時(shí)的申玉菲已經(jīng)是三體教的信徒。魏成無意中聽到她祈禱：“佛祖保佑我主脫離苦海。”魏成非常不解，但無法盤問出任何信息。這讓魏成感到恐怖。他問了長老，長老考慮片刻后，告訴他：“她的那個(gè)主，是真實(shí)存在的。”“佛祖的存在是你不能夠理解的存在；而她說的主，是以你能夠理解的方式存在著的……”長老勸他別跟申玉菲走，因?yàn)樗X得“她背后可能有一些你我都無法想象的事情”。

下山之后，魏成與申玉菲結(jié)婚，申玉菲非常有錢，魏成有小型機(jī)，還可以到國外用大型機(jī)。他過著“衣來伸手，飯來張口”的生活，只需要專著研究三體運(yùn)動，其他一概不用管。申玉菲從不干涉魏成生活，“我甚至敢肯定，自己帶一個(gè)女人回家她都不在乎”，夫妻倆唯一交流的內(nèi)容就是三體問題，申玉菲每天都要了解研究的進(jìn)展。

這次魏成來報(bào)案，是因?yàn)橛腥艘\殺他。

在寫到魏成并提到“三體問題”后，劉慈欣加了注解：“三個(gè)質(zhì)量相同或相近的物體在相互引力的作用下如何運(yùn)動的問題，是古典物理學(xué)的經(jīng)典問題，對天體運(yùn)動研究有重要意義，自十六世紀(jì)以來一直受到關(guān)注。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉、法國數(shù)學(xué)家拉格朗日，以及近年來一些借助于計(jì)算機(jī)研究的學(xué)者，都找出了三體問題的某些特解。”

這里，大劉將三體運(yùn)動等同于“一般三體運(yùn)動”，而事實(shí)上，三體運(yùn)動還包括了“限制性三體運(yùn)動”。前者對質(zhì)量沒有限制，可以是完全相同，可以是不相同；后者則常常假定一個(gè)“大質(zhì)量+兩個(gè)小質(zhì)量”或者“一個(gè)小質(zhì)量+兩個(gè)大質(zhì)量”。

歐拉、拉格朗日當(dāng)初的研究工作中，確實(shí)涉及到“一般三體運(yùn)動”，但也初步涉及到“限制性三體運(yùn)動”。

我們在下面兩節(jié)現(xiàn)在開始分析歐拉、拉格朗日的工作。

                                                                        歐拉生平與貢獻(xiàn)

歐拉歐拉（Leonhard Euler）于1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾（Basel）的一個(gè)牧師家庭。歐拉自幼天賦超人，10歲即自學(xué)《代數(shù)學(xué)》，13歲進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，主修哲學(xué)與法律，但因?yàn)樗臄?shù)學(xué)才華受到當(dāng)時(shí)歐洲大陸最杰出的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利的激賞，因此每個(gè)周六下午到約翰那里接受單獨(dú)指導(dǎo)。在約翰·伯努利的悉心指導(dǎo)下，歐拉憑借自己的超人才華，于15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得哲學(xué)碩士學(xué)位，學(xué)位論文的主題是研究笛卡爾哲學(xué)和牛頓哲學(xué)的比較。然后，歐拉遵從了父親的意愿，開始學(xué)神學(xué)、希臘語和希伯來語。約翰·伯努利以歐拉可以成為一個(gè)偉大數(shù)學(xué)家為由，說服了歐拉父親，讓歐拉學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。1726年，19歲的歐拉完成了博士學(xué)位論文，內(nèi)容是研究聲的傳播規(guī)律，然后他獲得了巴塞爾大學(xué)的一個(gè)教職。1727年，20歲的歐拉參加了巴黎科學(xué)院有獎(jiǎng)問題競賽（the Paris Academy Prize Problem competition），競賽主題是找出船上的桅桿的最優(yōu)放置方法。歐拉獲得二等獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的是被譽(yù)為“艦船建造學(xué)之父”的布格（Pierre Bouguer）。此后，歐拉再也沒有得過二等獎(jiǎng)，而是在他一生中12次贏得該獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)。1734年1月7日，27歲的歐拉與科學(xué)院附屬中學(xué)的一個(gè)名為柯黛琳娜·葛塞爾（Katharina Gsell，1707-1773）的美術(shù)教師結(jié)婚，對方也是瑞士人。此后兩人生了13個(gè)子女，但僅有5個(gè)活到成年。

1735年，歐拉用自己創(chuàng)立的方法用三天時(shí)間計(jì)算并解決了與彗星軌道有關(guān)的天體力學(xué)難題，據(jù)說其他著名數(shù)學(xué)家用了幾個(gè)月時(shí)間才得到相同結(jié)果。這一年，歐拉右眼失明。失明的原因有多種說法，歐拉認(rèn)為是制作地圖時(shí)太用功，有些記載則認(rèn)為是因?yàn)槌掷m(xù)三天計(jì)算彗星軌道問題，還有一種說法認(rèn)為這是因?yàn)橹叭甑囊粓?/span>發(fā)熱導(dǎo)致的。最可能的情況是持久的積勞成疾與疾病導(dǎo)致。

1741年6月19日，歐拉應(yīng)普魯士腓特烈大帝之邀離開圣彼得堡，前往柏林科學(xué)院任物理數(shù)學(xué)所所長，在此后25年，他繼續(xù)辛勤耕耘，寫的文章超過380篇文章。

1766年，在沙皇凱瑟琳二世的懇求下，59歲的歐拉返回圣彼得堡。這一年，歐拉的另一只眼睛檢查出白內(nèi)障，很快也失明了。但因?yàn)闅W拉有極好的心算能力，有一個(gè)著名的事跡是：他的兩個(gè)學(xué)生在計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的收斂級數(shù)的17項(xiàng)求和時(shí)算到第50位數(shù)，結(jié)果出現(xiàn)差異，歐拉對這個(gè)問題進(jìn)行心算，把錯(cuò)誤找出。因此，歐拉開始在腦中完成論文，念給書記員聽，然后書記員記錄下來，在失明后的17年間，他通過這種口述的方式，完成了幾本著作和大約400篇論文。

1771年，圣彼得堡大火災(zāi)，歐拉的大量著作無法搶救出來，被燒毀。幸好，歐拉有驚人的記憶力，他可以從頭到尾背下維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀(jì)》，能夠復(fù)述年青時(shí)寫下的筆記。憑借驚人的記憶力與毅力，歐拉重新背出大量著作，由學(xué)生與其長子A·歐拉（也是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，但貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不及父親）整理成書。

1783年9月18日下午，歐拉剛計(jì)算完氣球上升定律，為慶祝這個(gè)成功，歐拉請朋友們吃飯，并和孫子嬉戲，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從手中掉落，說了人生最后一句話：“我死了?！比缓蠼K止了他偉大的一生。

歐拉是舉世聞名的數(shù)學(xué)大師，對當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都是出色的貢獻(xiàn)。所以數(shù)學(xué)上有許多以以他的名字命名的重要公式、定理以及常數(shù)。

歐拉對分析學(xué)（包括微積分、微分方程、變分法等領(lǐng)域）有杰出貢獻(xiàn)。微積分雖然被牛頓與萊布尼茨分別創(chuàng)立，但是依然應(yīng)用不大廣泛，其理論根基也不夠牢固。正是歐拉在五十多年的辛勤工作中，使微積分、微分方程都獲得極為繁榮的發(fā)展，并與后來的拉格朗日一起，開辟了變分法。歐拉寫的《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》是18世紀(jì)歐洲標(biāo)準(zhǔn)的微積分教科書，此后幾百年的微積分教材，要么抄歐拉，要么抄那些抄歐拉的著作。

歐拉是一個(gè)極其多產(chǎn)的作者。他寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，一生完成886種論文與書籍，平均每年寫800多頁。除了教科書外，他的全集有74卷。圣彼得堡科學(xué)院用了47年時(shí)間才整理完他的著作。由于歐拉在分析學(xué)方面作出的杰出貢獻(xiàn)，他因此被稱為“分析的化身”。他的老師約翰·伯努利對他說：“我介紹高等分析的時(shí)候，它還是個(gè)孩子，而你正在將它帶大成人。”阿拉戈（D. F. J. Arago）說：“歐拉計(jì)算起來輕松自如， 就像人們呼吸， 鷹在空中飛翔。”拉普拉斯說：“讀歐拉吧，讀歐拉吧，他是我們所有人的導(dǎo)師。（Read Euler, read Euler, he is the master of us all.）”。19世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家高斯曾說：“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法。”二十世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)大師韋伊（A.Weil）說：“今天的學(xué)生從歐拉的無窮分析引論中所能獲得的益處，是現(xiàn)代任何一本教科書都不能比擬的?！?/span>

                                                                                歐拉與三體運(yùn)動

這里，我只強(qiáng)調(diào)他在三體運(yùn)動問題中的貢獻(xiàn)。

在二體系統(tǒng)中，小的天體圍繞大的天體作橢圓軌道運(yùn)動或雙曲軌道或者拋物軌道運(yùn)動。如果這時(shí)候加上一個(gè)其他天體，那么將如何？

比如月球繞著地球運(yùn)動，假設(shè)地球是標(biāo)準(zhǔn)的圓球，那么這就是一個(gè)二體運(yùn)動，月球顯然繞著橢圓軌道運(yùn)動。但不要忘了，附近還有一個(gè)太陽，雖然它距離月球大約1億5千萬千米，比地月之間的平均距離（38萬千米）大了大約400倍，但它的質(zhì)量卻是地球的數(shù)百萬倍。

根據(jù)現(xiàn)代理論，月球本是一個(gè)外來的星球，撞擊到地球一極，地球一開始繞著太陽轉(zhuǎn)時(shí)，赤道面與公轉(zhuǎn)軌道面是重合的，被這么一撞擊，產(chǎn)生了偏離，于是其南北極連線與太陽南北極連線不再平行，太陽的照射在一年中因此不同，因此地球有了春夏秋冬，也就有了古往今來中外詩人詞人的傷春悲秋。然而由于月球依然受到太陽的吸引力干擾，使得月球的精確位置不容易預(yù)測，這是一個(gè)三體運(yùn)動問題，月球問題也是被研究地最多的三體問題之一。牛頓在創(chuàng)立天體力學(xué)之后，就開始研究月球問題。據(jù)說牛頓從不頭痛，但是思考月球運(yùn)動時(shí)就會頭痛。因?yàn)樵虑蜻\(yùn)動過程中，即使不考慮其他行星的引力擾動（天文學(xué)家稱之為“攝動”），太陽的引力擾動也時(shí)無法避免的。這就是一個(gè)三體運(yùn)動問題。

歐拉是月球運(yùn)動理論的實(shí)際創(chuàng)立者。雖然牛頓進(jìn)行了一些前驅(qū)工作，但直到歐拉歐拉持續(xù)數(shù)十年的工作之后，月球理論才被完整建立。對整個(gè)微積分、微分方程以及天體力學(xué)（包括三體運(yùn)動）做出關(guān)鍵性貢獻(xiàn)的人中，歐拉是第一個(gè)。但是，作為月球動力學(xué)創(chuàng)始人，作為偉大的數(shù)學(xué)家與偉大天體力學(xué)家的歐拉，在月球問題上面奮斗了數(shù)十年之后，沮喪地宣稱自己這四十年的努力是失敗的。他們遠(yuǎn)沒有那些詩人詞人悠閑。

直接求解三體問題是極其困難的，因此天體力學(xué)家只能退而求其次，先考慮二體互相環(huán)繞，然后加入一個(gè)小的第三體進(jìn)行擾動，這個(gè)方法被稱為“攝動方法”。                                                                  

盡管晚年的歐拉宣稱自己在月球運(yùn)動理論中奮斗四十多年的結(jié)果是失敗的，但他卻反而在一般三體運(yùn)動方面做出了一個(gè)相當(dāng)意外的杰出成果：在他60歲時(shí)（1767年），他發(fā)現(xiàn)了三體運(yùn)動的3個(gè)特殊解，在這3個(gè)解之中，3個(gè)質(zhì)點(diǎn)始終共線且繞質(zhì)心做橢圓運(yùn)動。這三個(gè)點(diǎn)被稱為“歐拉特解”。

在這篇著名的論文中，歐拉創(chuàng)立了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，在這樣的坐標(biāo)系中研究圓型限制性三體運(yùn)動。此前的坐標(biāo)系都是固定坐標(biāo)系，三個(gè)物體的位置隨時(shí)變化。在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，兩個(gè)大天體的連線被確定為 x 軸，它們的質(zhì)心被確定為原點(diǎn)。這兩個(gè)大天體圍繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動，x軸跟著同步轉(zhuǎn)動，使得兩個(gè)物體始終位于x軸，這就是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。

歐拉的這個(gè)絕妙處理，是三體問題上的一個(gè)極重要進(jìn)展。

他發(fā)現(xiàn)的3個(gè)平衡點(diǎn)后來也被拉格朗日發(fā)現(xiàn)，因此被后世稱為“第一拉格朗日點(diǎn)”（L1）、“第二拉格朗日點(diǎn)”（L2）與“第三拉格朗日點(diǎn)”（L3），但更確切的稱呼其實(shí)應(yīng)該是“第一歐拉點(diǎn)”、“第二歐拉點(diǎn)”與“第三歐拉點(diǎn)”。這三個(gè)點(diǎn)也許應(yīng)該被稱為“歐拉-拉格朗日點(diǎn)”才更確切。這三個(gè)點(diǎn)在航天學(xué)上有極其重要的應(yīng)用。

                                                            拉格朗日與三體運(yùn)動問題

拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）是法國偉大數(shù)學(xué)家之一。1736年1月25日生于意大利都靈。1755年，19歲的拉格朗日解決了著名的“等周問題”，與歐拉一起成為“變分法”的創(chuàng)始人，因此成為都靈皇家炮兵學(xué)校的教授。第二年，由于歐拉的舉薦，20歲的拉格朗日稱為普魯士科學(xué)院通訊院士。

1763年，27歲的拉格朗日用萬有引力解釋了月球的天平動問題（通俗說，既是月球的搖擺問題），因此于第二年獲得法國科學(xué)院獎(jiǎng)勵(lì)。

由于潮汐鎖定，月球的公轉(zhuǎn)周期和自轉(zhuǎn)周期相同，始終以同一面對著地球。但是，由于地球的非球形部分產(chǎn)生的額外攝動，月球會出現(xiàn)點(diǎn)頭和搖頭運(yùn)動，即所謂的天平動，點(diǎn)頭的是緯度天平動，搖頭的是經(jīng)度天平動。實(shí)際上，在天體力學(xué)中，天平動是一種普通的現(xiàn)象，可以在太陽系許多天體的運(yùn)動中觀測到。經(jīng)度天平動和緯度天平動合稱為“物理天平動”，因為它們是由真實(shí)的力學(xué)效應(yīng)引起的。還有一種天平動是光學(xué)天平動，是因?yàn)樵诘厍虻牟煌胤接^測后拼接的觀測圖比單獨(dú)一個(gè)地方觀測多出的部分。這樣，我們實(shí)際看到的月球就不是它表面的一半，而是61%。拉格朗日研究了天平動的動力學(xué)起因，并因此獲得大獎(jiǎng)。

1766年，拉格朗日因?yàn)榻鉀Q木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動問題（這是一個(gè)六體運(yùn)動問題）獲得法國科學(xué)院獎(jiǎng)勵(lì)。

1813年4月11日早晨，拉格朗日逝世。

拉格朗日在全部著作超過500篇，對數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)的主要領(lǐng)域都作出非常重要的貢獻(xiàn)，他在天體力學(xué)方面的很多工作被稍后的拉普拉斯吸收繼承發(fā)展，事實(shí)上，拉普拉斯就抄襲了不少拉格朗日的成果，因此留下了抄襲者的惡名。當(dāng)然，拉普拉斯本人也是非常杰出的天體力學(xué)大師與數(shù)學(xué)大師，只是有時(shí)候過于虛榮，不愿意承認(rèn)拉格朗日的某些貢獻(xiàn)。換言之，即使去除抄襲拉格朗日的那些成果，拉普拉斯依然是偉大的天體力學(xué)大師與數(shù)學(xué)大師。法國當(dāng)時(shí)有"3L”，是拉格朗日、拉普拉斯與勒讓德三人的首字母并稱。其中拉格朗日名譽(yù)最好，拉普拉斯因?yàn)槌u和政治上見風(fēng)使舵而被后代批評。

拉格朗日最著名的專著是《分析力學(xué)》，整部書沒有一張圖，他對此頗為自得。這部書是牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之后的又一部經(jīng)典力學(xué)巨著。物理系學(xué)生學(xué)習(xí)的四大力學(xué)的第一個(gè)就是：“理論力學(xué)”，其實(shí)就是“分析力學(xué)”。

這里我依然只強(qiáng)調(diào)拉格朗日在三體運(yùn)動問題中的貢獻(xiàn)。

在歐拉得到三個(gè)特解之后五年，即1772年，拉格朗日不僅得出了歐拉的三個(gè)特殊解，而且得出了另外兩個(gè)解，這五個(gè)解被統(tǒng)稱為“拉格朗日平衡點(diǎn)”，拉格朗日新發(fā)現(xiàn)的那兩個(gè)點(diǎn)分布于等邊三角形的頂點(diǎn)，在一定的初始條件下將始終保持在等邊三角形的頂點(diǎn)上，如下圖。

順便提一句，孫義燧院士與周濟(jì)林教授合著的《現(xiàn)代天體力學(xué)導(dǎo)論》（2008年）的封面唯一用到的圖案此圖。

必須特別提及的是，歐拉特解與拉格朗日特解，不僅對于限制性三體運(yùn)動成立，對于任意質(zhì)量的三體運(yùn)動也成立。

由于拉格朗日的五個(gè)解中包含了歐拉的三個(gè)解，那三個(gè)解（共線解）對應(yīng)的點(diǎn)因此被稱為L1，L2，L3，這三個(gè)解“線性不穩(wěn)定”，因此也“不穩(wěn)定”。

拉格朗日新發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)解對應(yīng)的點(diǎn)稱為L4與L5，這兩個(gè)點(diǎn)是“線性穩(wěn)定的”，但是在“非線性”時(shí)是否穩(wěn)定，則需要用到幾十年前發(fā)展起來的著名而艱深的KAM理論。

這五個(gè)點(diǎn)非常有用。先考慮兩個(gè)天體，都繞著質(zhì)心做橢圓或者圓周運(yùn)動。再考慮第三個(gè)天體，則三個(gè)歐拉-拉格朗日點(diǎn)（L1，L2，L3）分別在兩個(gè)物體內(nèi)部（L1）

和兩個(gè)物體外側(cè)（L2，L3），分別被稱為內(nèi)拉格朗日點(diǎn)與外拉格朗日點(diǎn)。

兩個(gè)拉格朗日秤動點(diǎn)（L4，L5）的位置恰好都與另外兩個(gè)天體形成等邊三角形。

三個(gè)不穩(wěn)定的拉格朗日點(diǎn)（L1，L2，L3），也得到了應(yīng)用。

5個(gè)歐拉-拉格朗日點(diǎn)的圖如下圖（距離并未按照真實(shí)比例）。

                           拉格朗日點(diǎn)上的天然天體：木星的特洛伊群與地球的特洛伊群

一開始，朗格朗日認(rèn)為自己發(fā)現(xiàn)的秤動點(diǎn)（L4與L5）在天文學(xué)上沒有實(shí)際上的應(yīng)用。

后來，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)木星軌道上存在著希臘（Greek）小行星群和特洛伊（Trojan）小行星群，它們與木星、太陽正好處于等邊三角形頂點(diǎn)處，希臘群在前，特洛伊群在后，前呼后擁地繞太陽轉(zhuǎn)，它們也被統(tǒng)稱為特洛伊群。這是一個(gè)驚人優(yōu)美地驗(yàn)證。

希臘群的第一個(gè)成員星是1906年2月22日才被德國天文學(xué)家沃爾夫（Max Wolf，1863年6月21日-1932年10月3日）發(fā)現(xiàn)的，編號為588號?！?span style="letter-spacing: 0.01rem;">沃爾夫是德國著名的天文攝影專家，采用攝影方法，利用長時(shí)間曝光技巧，根據(jù)劃出的亮線，確定新發(fā)現(xiàn)的天體不是恒星而是小行星。他一生發(fā)現(xiàn)248顆小行星與4顆超新星：SN 1895A、SN 1909A、SN 1920A與SN 1926A（與雷牧斯共同發(fā)現(xiàn)）。沃爾夫還發(fā)現(xiàn)了14P/沃夫彗星和43P/沃夫-哈林頓彗星，并發(fā)現(xiàn)了紅矮星沃夫359，這是最靠近太陽系的恒星之一?！?/span>

這顆小行星被命名為“阿喀琉斯”，他是古希臘特洛伊戰(zhàn)爭中的英雄人物。此前小行星命名多以希臘女神名字來命名，但是這顆小行星軌道特別，運(yùn)動較慢，處于木星軌道上，因此是比較離群的，符合“阿喀琉斯”特立獨(dú)行的性格，此后在這個(gè)位置又發(fā)現(xiàn)了一些小行星，如，1907年與1919年分別發(fā)現(xiàn)624號與911號小行星，他們分別被命名為赫克托爾（特洛伊王子，在特洛伊戰(zhàn)爭中殺死普特洛克羅斯，然后又被阿喀琉斯殺死）與阿伽門儂（特洛伊戰(zhàn)爭中的希臘軍統(tǒng)帥），它們被統(tǒng)稱為“希臘群”或者“阿喀琉斯群”。按照敵我雙方關(guān)系，“希臘群”中的成員不應(yīng)有“赫克托爾”，因?yàn)樗窍ＥD的敵人，特洛伊的英雄。但是，那時(shí)候尚未區(qū)分“希臘群”與“特洛伊群”，因此出現(xiàn)混合。到21世紀(jì)，希臘群成員已經(jīng)超過1000顆。

木星軌道后方的發(fā)現(xiàn)幾乎同步于前方。1906年底，在木星軌道后方大約60度發(fā)現(xiàn)編號為617號的小行星，跟隨木星運(yùn)動，它被命名為普特洛克羅斯，是阿喀琉斯的親密伙伴，此后這個(gè)位置上發(fā)現(xiàn)的小行星都被集體稱為“特洛伊群”或者“普特洛克羅斯群”。與上面的道理相同，這個(gè)群不應(yīng)該出現(xiàn)“普特洛克羅斯”，因?yàn)樗恰疤芈逡痢钡臄橙恕５?1世紀(jì)，特洛伊群成員超過600顆。

這類群體被統(tǒng)稱為“特洛伊群”。

以上是太陽-木星系統(tǒng)的特洛伊群。在此后，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)火星-太陽、土星-太陽、海王星-太陽也有類似的小行星群，位于L4和L5點(diǎn)。

太陽-地球系統(tǒng)的類似的特洛伊小行星直到2011年7月才被“紅外線空間望遠(yuǎn)鏡廣域紅外線巡天探測衛(wèi)星（Wide-field Infrared Survey Explorer，WISE）”發(fā)現(xiàn)，WISE于2009年12月14日發(fā)射。2010年1月6日，拍攝第一張照片，2010年1月14日，以四個(gè)波段開始巡天，計(jì)劃為期9個(gè)月，其中前6個(gè)月觀測99%的天空，后3個(gè)月持續(xù)觀測。2010年10月，WISE的制冷劑用完，轉(zhuǎn)為觀測近地天體，2011年2月1日，WISE任務(wù)結(jié)束，進(jìn)入休眠狀態(tài)。2013年12月，NASA重新激活WISE，并將其改名為NEOWISE，被激活后的25天內(nèi)識別到太陽系內(nèi)857個(gè)小天體。

WISE的主要儀器為口徑40厘米的紅外線望遠(yuǎn)鏡，工作波長3-25微米（3000 -25000納米，我們眼睛可見的光的波長范圍為400-770納米）。由于極高的靈敏度，天文學(xué)家預(yù)期它每天可以發(fā)現(xiàn)數(shù)十顆小行星。

這顆小行星位于太陽-地球L4點(diǎn)，被命名為“2010 TK7”。它的直徑接近300米，遠(yuǎn)日點(diǎn)與近日點(diǎn)分別為1.19095AU與0.80955AU，運(yùn)行軌道的半長軸為1.00025AU。AU為太陽與地球的平均距離。

2010 TK7的偏心率為0.19066，軌道傾角為20.8656°。軌道周期為365.394地球日，接近地球的軌道周期（365.256地球日）。

2010 TK7與地球之間的距離在不斷變化，最小距離也有2000萬公里，是月球與地球距離（約38萬公里）的50倍。當(dāng)前它與地球之間相距8000萬公里，是地月距離的200倍。

2010 TK7的軌道非常奇異，雖然現(xiàn)在它處于L4點(diǎn)，但是卻因?yàn)槭艿狡渌笮行堑臄z動引力而四處漂移，有時(shí)候會漂移到L3點(diǎn)，這是地球背向太陽的那個(gè)點(diǎn)，屬于歐拉點(diǎn)，然后還會漂回來，來回運(yùn)動的周期約400年。更奇異的是，Martin Connors、Paul Wiegert與Christian Veillet三人在Nature的論文中還指出，公元500年時(shí)，它的位置可能在拉格朗日點(diǎn)L5點(diǎn)，然后通過L3來到點(diǎn)L4附近，然后在L3點(diǎn)與L4點(diǎn)之間來回運(yùn)動，周期約400年，半長軸也以相同周期在0.997到1.003AU之間震蕩。以上兩個(gè)周期運(yùn)動見下圖。

由于受到眾多大行星攝動，2010TK7的軌道很混亂，難以預(yù)測。這也正是三體問題的核心問題。

                                                 歐拉-拉格朗日點(diǎn)上的人造天體：SOHO、GGS Wind與ACE

美國發(fā)射的由NASA與ESA聯(lián)合管理的太陽觀測衛(wèi)星SOHO（Solar and Heliospheric Observatory，太陽和日球?qū)犹煳呐_）就位于太陽-地球系統(tǒng)的L1點(diǎn)上，距離太陽很遠(yuǎn)（0.99AU），距離地球很近（0.01AU），因?yàn)橘|(zhì)量與地球大得多，所以必須距離地球近才可以使得這顆衛(wèi)星受到的兩個(gè)引力互相平衡。因此這顆衛(wèi)星其實(shí)不能算嚴(yán)格意義上的衛(wèi)星，它不繞地球運(yùn)動，而是跟隨地球一起繞著日-地系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動，實(shí)際上可以近似地說它與地球一起繞太陽運(yùn)動，因此日-地系統(tǒng)的質(zhì)心幾乎完全與太陽質(zhì)心重合。簡單說，SOHO處于日-地系統(tǒng)的“內(nèi)拉格朗日點(diǎn)”。

SOHO于1995年12月2日發(fā)射升空，1996年5月正式運(yùn)行，原計(jì)劃運(yùn)行2年，但實(shí)際上運(yùn)行時(shí)間超過18年。SOHO不僅是研究太陽的最重要飛船，也可以觀測彗星，至今已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了2700多顆彗星。SOHO還可以針對太陽活動，進(jìn)行太空天氣實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)。在1998年的一次突發(fā)事件中，SOHO差點(diǎn)失控丟失，此后，地面控制人員將其設(shè)置為史上第一個(gè)“三軸穩(wěn)定飛船（three-axis-stabilized spacecraft）”，以其反作用輪（reaction wheels）作為陀螺。陀螺儀是傅科（Léon Foucault）于1852年發(fā)明的，是飛船控制姿態(tài)的最重要儀器。

除了SOHO之外，還有另外至少兩個(gè)衛(wèi)星處于太陽-地球系統(tǒng)的L1點(diǎn)附近：GGS Wind與ACE（Advanced Composition Explorer）。

GGS Wind全稱是“The Global Geospace Science (GGS) WIND”，是一顆地球科學(xué)衛(wèi)星。其中Wind可能代表新澤西州的East Windsor，這顆衛(wèi)星是在這里的Martin Marietta天文空間部門設(shè)計(jì)制造的。

GGS WIND衛(wèi)星自轉(zhuǎn)穩(wěn)定化圓柱形衛(wèi)星，直徑2.4米，高1.8米，用以研究太陽風(fēng)中的射電與等離子體，也用于研究太陽風(fēng)達(dá)到之前的地球磁層（地球上方1 000公里到大氣頂端之間的稀薄電離氣體層）。于1994年12月1日美國東部時(shí)間04:31:00發(fā)射升空，運(yùn)載火箭為Delta II 7925-10，

GGS WIND本被計(jì)劃于發(fā)射升空不久之后就進(jìn)入L1點(diǎn)，但是因?yàn)镾OHO與ACE被安排在相同區(qū)域，所以直到2004年才持續(xù)處于L1點(diǎn)，至今仍在運(yùn)轉(zhuǎn)。上面用以控制姿態(tài)與位置的燃料還可以讓它正常運(yùn)行約60年。至2014年3月，直接或間接利用GGS WIND的數(shù)據(jù)寫出的論文已經(jīng)達(dá)到約3千篇（見wiki 百科的介紹）。ACE全稱“Advanced Composition Explorer”（直譯為“高級組成探測器”），由約翰霍普金斯應(yīng)用物理實(shí)驗(yàn)室（Johns Hopkins Applied Physics Laboratory）制造，于1997年8月25日14:39:00由Delta II 7920-8發(fā)射升空，

發(fā)射時(shí)為757千克，凈重562千克。

ACE是用以研究太陽元素組成、粒子加速與轉(zhuǎn)移等課題的衛(wèi)星。

因?yàn)橐惨芯刻?，所以也被放在L1點(diǎn)上。

外拉格朗日點(diǎn)有更重要的應(yīng)用。著名的WMAP（The Wilkinson Microwave Anisotropy Probe，威爾金森微波各向異性探測器）就位于外拉格朗日點(diǎn)L2上，

在日-地系統(tǒng)連線靠近地球的點(diǎn)上，距離地球距離為150萬公里（月球與地球平均距離為38萬公里，約為這個(gè)距離的4分之1），如下圖所示，地球與太陽的距離則為1.5億公里，為這個(gè)距離的100倍。

為何SOHO與WMAP二者一個(gè)在內(nèi)拉格朗日點(diǎn)，一個(gè)在外拉格朗日點(diǎn)？因?yàn)镾OHO要探測太陽，所以直接面對太陽，而WMAP要盡量躲避太陽，所以就躲在地球后面。顯然，WMAP也不算真正的衛(wèi)星，也是與地球一起繞著太陽運(yùn)動，如下圖。

但是，之前已經(jīng)說過，共線情形下的解不穩(wěn)定，也就是說，物體在相應(yīng)點(diǎn)不能穩(wěn)定停留，星體位置會偏離平衡點(diǎn)，這種偏離會隨著時(shí)間的推移而變大。但是發(fā)射的人造天體含有液體，可以通過地面控制噴射液體，產(chǎn)生反沖力，維持運(yùn)動穩(wěn)定，使星體位置在平衡掉位置附近運(yùn)動，這樣的校正，需要的能量并不多，可以實(shí)現(xiàn)。如同一只削尖的鉛筆，筆尖朝下，立在桌面上，即使暫時(shí)穩(wěn)定，但是很快就會倒下，這就是共線情形不穩(wěn)定的很好類比。但如果我們在鉛筆快倒下時(shí)，適當(dāng)?shù)胤鲆幌?，那么鉛筆就會保持穩(wěn)定。SOHO和WMAP的穩(wěn)定性也是通過類似方式保持的。

從上面的討論中，我們看到了歐拉解與拉格朗日解的巨大威力。

                                                                              三體運(yùn)動的新的周期解

在談到三體運(yùn)動的進(jìn)展時(shí)，魏成提到了國外的進(jìn)展：“以目前世界上這個(gè)研究領(lǐng)域的一般狀況來看，進(jìn)展可以說是突破性的。前些年，加利福尼亞大學(xué)的理查德·蒙特哥馬利和巴黎第七大學(xué)的桑塔·克魯茲、阿連·尚斯那，還有法國計(jì)量研究機(jī)構(gòu)的研究人員，用一種叫做“逼近法”的算法，找到了三體運(yùn)動的一種可能的穩(wěn)定形態(tài)：在適當(dāng)?shù)某跏紬l件下，三體的運(yùn)行軌跡將形成一個(gè)首尾銜接的8字形。”

魏成說到的8字形（“figure eight”）軌跡，指的是1993年Cristopher Moore發(fā)現(xiàn)的一類周期解（特解），見圖\ref{fig:3body}左。下圖右為紗線形（“yarn”）特解。圖上方為抽象空間中的軌跡，下方為真實(shí)空間中看到的軌跡。

三體問題周期解在歐拉與拉格朗日之后就就進(jìn)展很少。20世紀(jì)70年代，Roger Broucke和Michel Hénon用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，得到了更多結(jié)果?，F(xiàn)在，這些周期解上被分為3族：

[·] 歐拉-拉格朗日族，就是上面介紹的歐拉與拉格朗日發(fā)現(xiàn)的那些平衡點(diǎn)；

[·] Broucke-Hadjidemetriou--Hénon族；

[·] 8字形族。

2013年，這方面的研究獲得又一個(gè)突破性進(jìn)展，物理學(xué)家Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic在《物理評論快報(bào)》（Phys. Rev. Lett. 110, 114301 (2013)）上發(fā)表文章，宣布發(fā)現(xiàn)13族新的特解，三體問題特解的族數(shù)直接從3族擴(kuò)充到16族。

Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic將新的13族分為3類：

第1類共3族，分別為：

[·] I.A.1~butterfly I（蝴蝶類I）；

[·] I.A.2~butterfly II（蝴蝶類II）；

[·] I.A.3~bumblebee（大黃蜂類）；

第2類共7族，分別為：

[·] I.B.1 moth I （飛蛾類I）；

[·] I.B.2 moth II （飛蛾類II）；

[·] I.B.3 butterfly III （蝴蝶類III）；

[·] I.B.4 moth III （飛蛾類III）；

[·] I.B.5 goggles （護(hù)目鏡類）；

[·] I.B.6 butterfly IV （蝴蝶類IV）；

[·] I.B.7 dragonfly（蜻蜓類）。

第3類共3族（后面2族又分為a與b）族，分別為：

[·] II.B.1~yarn（紗線類）；

[·] II.C.2a/b~yin-yang I（“陰陽圖”形類I）；

[·] II.C.3a/b~yin-yang II（“陰陽圖”形類II）。

下圖為Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic

在2013年的《物理評論快報(bào)》的文章上給出的5類解，其中第一類是之前已經(jīng)被其他人發(fā)現(xiàn)的。

上圖分別給出三體運(yùn)動的特解的6族曲線，前5個(gè)為抽象空間中的軌跡，其中a與d圖及其在真實(shí)空間中的軌跡見圖上上圖的下方。圖f為陰陽圖類解II型在真是空間中的軌跡。這6族分別為：

[(a)] 8字形類軌道；

[(b)] I.A.1~butterfly I（蝴蝶類I）；

[(c)] I.B.1 moth I （飛蛾類I）；

[(d)] II.B.1~yarn（紗線類）；

[(e)] II.C.2a~yin-yang I（“陰陽圖”形類I）；

[(f)] II.C.3a~yin-yang II（“陰陽圖”形類II）在真實(shí)空間中的軌跡。

也就是說，自從1993年Cristopher Moore發(fā)現(xiàn)8字形軌跡之后，直到2003年，才出現(xiàn)新的突破。

魏成提到了8字形解，又說“后來人們都熱衷于尋找這種特殊的穩(wěn)定狀態(tài)，找到一個(gè)就樂得跟什么似的，到目前為止也就是找到了三四種。”故事發(fā)生在2007年，從1993年到2007年之間沒有任何人宣布發(fā)現(xiàn)新的類型，一直停留在1993年的情況，直到2013年才一口氣發(fā)現(xiàn)了以上說的13族。

魏成接著說：“其實(shí)，我用進(jìn)化算法已經(jīng)找到了一百多種穩(wěn)定狀態(tài)，把那些軌跡畫出來，足夠辦一個(gè)后現(xiàn)代派畫展了。”我們就當(dāng)魏成已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了新的軌跡但未公開。

魏成接著說：“但這不是我的目標(biāo)，三體問題的真正解決，是建立這樣一種數(shù)學(xué)模型，使得三體在任何一個(gè)時(shí)間斷面的初始運(yùn)動矢量已知時(shí)，能夠精確預(yù)測三體系統(tǒng)以后的所有運(yùn)動狀態(tài)。這也是申玉菲渴望的目標(biāo)。”

這恰是拉普拉斯當(dāng)年的設(shè)想，假定任意給定時(shí)刻的速度的大小與方向（速度矢量包含了速度的大小與方向）給定，然后就可以根據(jù)力學(xué)規(guī)律確定出之后的所有精確運(yùn)動。這就是所謂的“決定論”。

龐加萊確實(shí)沒有說這樣不可能，他只是說三體運(yùn)動沒有一般的積分，除了少數(shù)特解（周期解）之外，絕大多數(shù)情況下，三體運(yùn)動的軌跡不可能出現(xiàn)周期性重復(fù)。這是什么意思呢？月球繞著地球旋轉(zhuǎn)，以地球?yàn)閰⒄瘴?，每過大約27天半，月球就就回歸到原來位置，如此循環(huán)，這就是最簡單的周期性運(yùn)動。當(dāng)然，實(shí)際上，月球繞地球的距離每年都有幾厘米的變化，其軌道并非精確的橢圓軌道，其運(yùn)動并非嚴(yán)格的周期運(yùn)動，但我們忽略其他一切外力干擾（攝動），月球運(yùn)動就是周期運(yùn)動。

但三體問題中，周期運(yùn)動是極難出現(xiàn)的。除了以上16族周期解之外，雖然還可以發(fā)現(xiàn)更多周期解，但周期解數(shù)目依然遠(yuǎn)小于“非周期解”的情況，對于大多數(shù)三體運(yùn)動，運(yùn)動都是無規(guī)則的。

對于這樣混亂的無規(guī)則運(yùn)動，要計(jì)算它們在此后每一時(shí)刻的位置與速度大小、方向，需要非常復(fù)雜的計(jì)算，因此要?jiǎng)佑么笮陀?jì)算機(jī)。計(jì)算機(jī)能力越強(qiáng)，就能預(yù)測地越精確。

這個(gè)問題不可能通過方程與模型自身的改進(jìn)來解決，只能求助于不斷提高的計(jì)算機(jī)計(jì)算能力。所以這實(shí)際上根本用不著魏成，只需要計(jì)算機(jī)。但作為三體人的代理人之一，申玉菲依然希望魏成能夠給出更有效的方法，預(yù)測三體運(yùn)動中，物體進(jìn)行非周期運(yùn)動時(shí)，任何時(shí)刻的位置、速度大小與方向。