基本技巧第1講第二部分基本技巧，主要講述實(shí)數(shù)運(yùn)算的技巧和求絕對(duì)值技巧. 一. 實(shí)數(shù)的運(yùn)算. 實(shí)數(shù)的運(yùn)算主要介紹拆項(xiàng)法和放縮法. 1 拆項(xiàng)法. 先看個(gè)例子. 如何計(jì)算 我們將解題思路分觀察、線索、嘗試三個(gè)步驟來講解. （1）觀察：直接計(jì)算是不可行的. （2）線索：每一項(xiàng)分母中的數(shù)是兩個(gè)相鄰整數(shù)的乘積，有規(guī)律的增加，并且每相鄰兩項(xiàng)的分母都有一個(gè)相同的數(shù). 任取一項(xiàng)，比如 發(fā)現(xiàn)分子正好可以拆成分母兩個(gè)數(shù)的差，從而將這項(xiàng)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差 同樣的， 也可以拆成分母兩個(gè)數(shù)的差： 上述兩項(xiàng)相加可以消去 1/3. （3）嘗試：推廣到一般情況，有 可以拆成 現(xiàn)在來計(jì)算 用上面的公式把每一項(xiàng)拆開，得到 觀察拆后的式子發(fā)現(xiàn)，第二項(xiàng)與第三項(xiàng)抵消，第四項(xiàng)與第五項(xiàng)抵消，依此類推，最后剩下
練一練. II.1 計(jì)算
（觀察：直接計(jì)算是不可行的. 線索：各項(xiàng)分母中的數(shù)有規(guī)律的增加，并且每一項(xiàng)的分母是兩個(gè)整數(shù)的乘積，這兩個(gè)整數(shù)的差始終是2. 如果將每一項(xiàng)中的分子拆成分母兩個(gè)數(shù)的差，為了保持分子不變，需要乘以...） 再練一題. 是不是很快就能看出怎么做？ II.2 計(jì)算
思考：
n 是字母，d 是一個(gè)給定的正整數(shù)，怎么拆？ 再舉一個(gè)例子.計(jì)算
（1）觀察：直接計(jì)算是不可行的. （2）線索：各項(xiàng)分母都是相鄰整數(shù)的乘積. 第一項(xiàng)的分母有2和3，第二項(xiàng)分母也有2和3，每相鄰兩項(xiàng)的分母都有兩個(gè)數(shù)相同，因此想到能不能拆？ 拆的時(shí)候能不能出現(xiàn)抵消的情況？ （3）嘗試：同樣先把分子拆成分母兩個(gè)數(shù)的差，由于分母有三個(gè)數(shù)，嘗試取第一個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)做差，正好都是2，比如：
做差后分子是2不是1，為了保持拆分前后相等，需要乘以1/2
再拆第二項(xiàng)
上邊兩項(xiàng)拆后相加，發(fā)現(xiàn)有兩項(xiàng)可以抵消. 因此，拆！
上題說明如果求和的每一項(xiàng)具有形式
也是可以拆的，這里分母是三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積. 那么思考一下，
怎么拆呢？ 練一練. II.3 計(jì)算
II.4 計(jì)算
2 放縮法. 放縮法在估計(jì)數(shù)的大小時(shí)經(jīng)常用到. 比如下面這個(gè)例子
（1）觀察：要求 4S 的整數(shù)部分. 直接計(jì)算不可行. 直接使用拆項(xiàng)法？也不符合上面的形式. 怎么辦呢？ （2）線索：發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分母中的數(shù)都是整數(shù)的三次方. 能不能通過放縮法變成可以拆分的形式，然后再求值？ （3）嘗試：任取一項(xiàng)，比如
嘗試將其放大得到：
推廣到一般情形，也就是（注意分母不能為0）
可以放大成
放大后的分母含有平方差項(xiàng)，用平方差公式展開得到
分母是三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積. 根據(jù)前面的拆項(xiàng)法，上式可以拆成
最終放大的結(jié)果是
于是
另外顯然
于是有
那么
所以
的整數(shù)部分只能是 4. 練一練. II.5 求證：
提示：
二. 絕對(duì)值問題. 求絕對(duì)值問題需要學(xué)會(huì)的技巧是分情況討論. 舉個(gè)例子. 化簡(jiǎn)
（1）觀察：這個(gè)題包含兩個(gè)絕對(duì)值，要化簡(jiǎn)它，需要去掉兩個(gè)絕對(duì)值. （2）線索：由于絕對(duì)值中含有字母，絕對(duì)值的符號(hào)由字母的取值決定. 因此需要對(duì)字母的取值進(jìn)行討論. （3）嘗試：對(duì)于第一個(gè)絕對(duì)值
根據(jù)
和
討論. 對(duì)于第二個(gè)絕對(duì)值
根據(jù)
和
討論. 要同時(shí)去掉這兩個(gè)絕對(duì)值，需要對(duì)字母的條件進(jìn)行合并后討論. 怎么合并呢？因?yàn)?x 在整個(gè)實(shí)數(shù)上取值，并且兩個(gè)絕對(duì)值的符號(hào)由它與
的大小決定. 因此將 x 在實(shí)數(shù)上的取值分三種情況討論
（a）當(dāng) x<-2 時(shí)
（b） 當(dāng) -2 ≤x <1/2 時(shí)
（c）當(dāng) x ≥1/2 時(shí)
練一練. II.6 化簡(jiǎn)：
（完） |
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