【經(jīng)典例題】

如下圖，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點(diǎn)P、Q分別在BD、AD上，則AP PQ最小值為________．

【思路分析】

（1）已知AE⊥BD，ED=3BE，因此可證△ABE∽△DAE，表示出AE的長，在Rt△ABE中，運(yùn)用勾股定理求出AE，DE，BE的長，再運(yùn)用勾股定理或求三角形的面積法求出AD的長。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，添加輔助線將AP和PQ轉(zhuǎn)化到同一條線段上，因此作A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接A′D，PA′，可證得△AA′D是等邊三角形，由垂線段最短可知當(dāng)PQ⊥AD?時(shí)，A′P PQ最小，即可求出結(jié)果。

本題涉及到兩個(gè)重要的幾何模型：

【模型一】射影定理

如下圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，則有射影定理如下：①CD2=AD·DB，②BC2=BD·BA ， ③AC2=AD·AB (可以通過三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例去證明)

說明：射影定理的內(nèi)容課本上已刪減，但試題中往往要用上定理的結(jié)論，甚至連九年級(jí)課本上有些題的求解也會(huì)涉及到此定理，因此若作為九年級(jí)即將面臨中考的學(xué)生，了解并熟記定理的結(jié)論，仍是大有裨益的。

【模型二】角內(nèi)有一點(diǎn)的線段和最值問題

如下圖，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，M和N分別是OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)求PM MN的最小值。

解決方法：如下圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥OB于點(diǎn)N，交OA于點(diǎn)M,此時(shí)，PM MN的值最小。

【總結(jié)歸納 】

數(shù)學(xué)題是永遠(yuǎn)做不完的，我們應(yīng)該把有限的時(shí)間和精力投入到那些極具代表性的好題上，研究透后記住它的幾何模型和解題原理，再到實(shí)戰(zhàn)中進(jìn)一步應(yīng)用和提煉升華，這才是好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 這是一道綜合題，涉及到勾股定理，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，也是一道極具價(jià)值，值得認(rèn)真研究的好題，本題的求解為我們提供了一種解決線段和最值問題的很好的思路和方法，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，不要僅僅滿足課本上講到的知識(shí)，而應(yīng)開拓眼界，盡可能多積累掌握一些有用的結(jié)論或模型。

本題規(guī)范解答過程：

設(shè)BE=x，則DE=3x，∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE·DE，即AE2=3x2 ，

∴AE=√3x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=AE2 BE2 ， 即32=（√3x）2， 解得x=3/2

∴AE= 3√3/2， DE= 9/2，BE=3/2 ，∴AD=3√3. 如下圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接A′D，PA′，

則A′A=2AE=3√3=AD=A′D，∴△AA′D是等邊三角形，∵PA=PA′， ∴當(dāng)A′、P、Q三點(diǎn)在一條線上時(shí)，A′P PQ最小，又垂線段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，A′P PQ最小，∴AP PQ=A′P PQ=A′Q=DE= 9/2，故答案是： 9/2