在系統(tǒng)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)之前，有必要了解一些基本的統(tǒng)計(jì)學(xué)概念和術(shù)語，現(xiàn)在把這些概率與術(shù)語總結(jié)了一下，可能有不太完善的地方，僅供大家參考。

什么是統(tǒng)計(jì)學(xué)

統(tǒng)計(jì)學(xué)是收集、分析、展示和解釋數(shù)據(jù)的科學(xué)。這里說的數(shù)據(jù)就是科學(xué)中的事實(shí)和證據(jù)，數(shù)據(jù)不僅限于數(shù)字，它也可能是圖像或文字，實(shí)際上，任何信息都可以稱為數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)和變量

在了解這兩個(gè)術(shù)語之前，先看一組數(shù)據(jù)，從這組數(shù)據(jù)出發(fā)，說明這幾個(gè)術(shù)語。

這組數(shù)據(jù)是R中自帶的數(shù)據(jù)集，即iris這個(gè)數(shù)據(jù)集，iris數(shù)據(jù)集的中文名是安德森鳶尾花卉數(shù)據(jù)集，英文全稱是Anderson’s Iris data set。iris包含150個(gè)樣本，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)集的每行數(shù)據(jù)。每行數(shù)據(jù)包含每個(gè)樣本的四個(gè)特征和樣本的類別信息，所以iris數(shù)據(jù)集是一個(gè)150行5列的二維表，我們先看一下這個(gè)數(shù)據(jù)集的結(jié)構(gòu)，如下所示：

再看一下前幾條信息，如下所示：

> head(iris)
  Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
1          5.1         3.5          1.4         0.2  setosa
2          4.9         3.0          1.4         0.2  setosa
3          4.7         3.2          1.3         0.2  setosa
4          4.6         3.1          1.5         0.2  setosa
5          5.0         3.6          1.4         0.2  setosa
6          5.4         3.9          1.7         0.4  setosa

從上面的這兩個(gè)結(jié)果，我們可以得到這些信息：

第一，這個(gè)數(shù)據(jù)集一共有150行，5列。

第二，每1列的名稱分別為Sepal.Length、Sepal.Width、Petal.Length、Petal.Width和Species，它們分別表示鳶尾花的花萼長度，花萼寬度、花瓣長度，花瓣寬度，種屬，也就是說第1行中一共有這5個(gè)信息，我們把這5個(gè)信息稱為變量(variable)。這里需要說明一下的是，變量(variable)在計(jì)算機(jī)/數(shù)據(jù)庫等領(lǐng)域也叫屬性(attribute)、特征(feature)、特性(characteristic)、字段(field)等等。

再回到iris這個(gè)數(shù)據(jù)集中。

其中，我們把種屬(Species)這個(gè)信息稱為定性變量（qualitative variable），定性變量取的值稱為水平(level)或類(class)。定性變量有其它的教材中也會(huì)稱為分類變量(categorical variable)、屬性變量(attributives variable)、名義變量/標(biāo)稱變量(nominal variable)或維度(dimension)。定性變量的例子除了種屬外，還有其他的例子，例如我們常見的性別，顏色等，在有些情況下，定量變量也會(huì)按照定性變量去處理，例如，為了調(diào)查方便，我們在問卷中可以只問高收入、中收入還是低收入，而不是問具體多少錢，這種定性變量還能進(jìn)行排序，它們也常常稱為定序變量（ordinal variable）。

再看其它的4個(gè)變量，它們是用具體的數(shù)字表示，這些變量稱為定量變量(quantitative variable)。定量變量還能分為連續(xù)型變量(continuous variable)和離散型變量(discrete variable)。

連續(xù)型變量的例子有身高、體重、熱量、速度、長度等，它們的取值 是實(shí)數(shù)軸的某一個(gè)區(qū)間或者是某些區(qū)間集合中的所有可能點(diǎn)的變量。

離散型變量的例子有，某種事件發(fā)生的次數(shù)，例如拋5次硬幣，在描述有幾次正面朝上的時(shí)候，只可能是0次，1次，2次，3次，4次，5次，而不可能是1.5次這種小數(shù)，離散型變量只能取正整數(shù)或0。

還看上面的案例，整個(gè)iris這個(gè)數(shù)據(jù)集中，除了第1行的變量名稱外，剩下的內(nèi)容則是與這些變量對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)(data)，可以把數(shù)據(jù)看成變量的觀測值，或者是試驗(yàn)結(jié)果，例如，身高是一個(gè)變量，測量一個(gè)人的身高，就好比一次試驗(yàn)，可觀測到一次試驗(yàn)結(jié)果，就是觀測值(observation)。這里還要提一下，觀測值(observation)在計(jì)算機(jī)/數(shù)據(jù)庫領(lǐng)域也叫記錄(record)、對(duì)象(object)、向量(vector)、模式(pattern)、事件(event)、例(case,instance)、樣本(sample)、或項(xiàng)、實(shí)體(entity)等等。

我們一般所說的數(shù)據(jù)是一個(gè)集合名詞，每一個(gè)數(shù)字包含很多觀測值，每個(gè)觀測值也稱為一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(data point, point)或例(case)。就以這個(gè)iris的數(shù)據(jù)集為例，它的每1列代表一個(gè)變量，而每1行則為一個(gè)對(duì)象關(guān)于各個(gè)變量的觀測值，簇也把這種數(shù)據(jù)方陣的每一行叫做一個(gè)觀測（值），就像下面的樣子，它就是一個(gè)觀測：

這也是一個(gè)觀測值，如下所示：

概率和隨機(jī)變量

在統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中，有很多對(duì)象都被認(rèn)為具有隨機(jī)性(randomness)，隨機(jī)的事情也有規(guī)律的，例如我們拋一個(gè)硬幣，在硬幣落在地面之前，硬幣朝哪面我們是不知道的，它是隨機(jī)的，事先無法準(zhǔn)確地預(yù)測。但是，只要這個(gè)硬幣是正常的，沒問題的，那么我們就知道，硬幣朝上與朝下的概率基本上是相等的。

在這里，硬幣的朝上與朝下的這個(gè)變量，它就是隨機(jī)變量(random variable)。而一個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)則完全被與其相關(guān)的概率或概率分布決定。那什么是概率？

一個(gè)事件(event)的概率(probability)是該事件發(fā)生可能性的一個(gè)數(shù)量度量，它的聚會(huì)范圍是0到1，也可能是0或1.當(dāng)一個(gè)事件的概率接近1時(shí)，則說明這個(gè)事件很可能發(fā)生；如果概率接近0，則說明不太可能發(fā)生，如果概率為0.5，那么說明該事件發(fā)生和不發(fā)生的可能性一樣。

簡單來說，概率稱量某個(gè)事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)，有些概率在某種假定條件下可以算出來，例如拋硬幣，得到正面朝上與反面朝上的概率都是0.5，這種可能計(jì)算概率的事件稱為等可能事件（equally likely event)，這種可能是假定的，對(duì)于硬幣來說，就是假定正面與反面朝上的?一樣，如果我們拋了一千次，其中得到正面與反面朝上的頻率或相對(duì)頻數(shù)(relative frequency)都接近0.5，那么就說明這個(gè)硬幣是公平的，是正常的，這些事件理論上可能通過重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率來計(jì)算其發(fā)生的概率。

不過有些概率是無法用重復(fù)計(jì)算來估計(jì)的，例如有人認(rèn)為，最近3個(gè)月內(nèi)中東地區(qū)發(fā)生大規(guī)模軍事沖突的概率是80%，這顯著無法用重復(fù)試劑來估計(jì)，這只是他們基于過去的經(jīng)合和掌握的信息形成的信息，這種概率稱為主觀概率(subjective probability)。

利用R產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)

在進(jìn)行抽樣時(shí)，或者是模擬某個(gè)分布時(shí)，我們常常要用到隨機(jī)數(shù)，現(xiàn)在都是用軟件來生成隨機(jī)數(shù)，雖然這種隨機(jī)數(shù)不晃真正的隨機(jī)數(shù)，但是已經(jīng)足夠使用了，使用軟件生成的這種隨機(jī)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù)(pseudo-random number)，現(xiàn)在介紹一下用R來如何生成隨機(jī)數(shù)。

現(xiàn)在生成10個(gè)2到3之間的，服從均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)，如下所示：

現(xiàn)在解釋一下，先看runif()這個(gè)函數(shù)，在R中，這個(gè)函數(shù)前面的r表示隨機(jī)，unif表示服從均勻分布，類似的還有rnorm()，它的功能類似，只是它生成的是服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，其中norm就是正態(tài)分布的意思。

現(xiàn)在，再看set.seed(1000)的作用是保證你隨機(jī)生成的數(shù)字前后一致，如果它的參數(shù)就是一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字可以隨意指定，括號(hào)里的數(shù)字只要一致，那么每次生成的隨機(jī)數(shù)就一致，如果不使用這個(gè)函數(shù)，那么我們每次運(yùn)行runif(10,2,3)，它生成的隨機(jī)數(shù)就不一樣，現(xiàn)在看一下下面的代碼：

> runif(10,2,3) # 不指定set.seed()
 [1] 2.567518 2.049710 2.561620 2.966179 2.509945 2.700937 2.020349 2.783569
 [9] 2.584397 2.317293
> runif(10,2,3) # 再次運(yùn)行runif(10,2,3),生成的結(jié)果就不一樣
 [1] 2.996208 2.531047 2.109908 2.633212 2.797929 2.712990 2.702835 2.562833
 [9] 2.258873 2.506937
> set.seed(1000) # 指定set.seed(1000)
> runif(10,2,3) # 生成的結(jié)果就與前面的一樣
 [1] 2.327879 2.758846 2.113936 2.690755 2.516402 2.067738 2.738715 2.583535
 [9] 2.215771 2.256122

總體（population）

根據(jù)研究目的而確定的同質(zhì)觀察單位的全體，更確切地說，它是同質(zhì)的所有觀察單位某種觀察值的集合，例如調(diào)查某地2008年7歲正常女童的身高，而其中的觀察單位（個(gè)體）則是每個(gè)女童。由于這里的總體明確規(guī)定了空間、時(shí)間、人群范圍內(nèi)有限個(gè)觀察單位，因此稱為有限總體（finite populaton）。而在一些情況下，總體的概念則是設(shè)想的或抽象的，例如研究某治療慢性前列腺增生的藥物的療效，這里的總體的同質(zhì)基礎(chǔ)是慢性前列腺增生患者，該總體應(yīng)包括用該藥治療的所有前列腺增生癥患者的治療結(jié)果，沒有時(shí)間和空間的限制，其觀察單位的全體數(shù)只是理論上存在的，因此可以視為“無限”，稱為無限總體（infinite populaton）。

為了降低成本，因此在醫(yī)學(xué)研究中通常彩從總體中抽取樣本（sample）的方法，根據(jù)樣本信息來推斷總體特征，這種方法叫抽樣研究（sampling research），從總體中抽取部分觀察單位的過程稱為抽樣（sampling）。

為了保證樣本的代表性，抽樣必須遵循隨機(jī)化（randomization）原則。從總體中隨機(jī)抽得的部分觀察單位，其實(shí)際測量的集合就是樣本，該樣本中包含的觀察單位數(shù)稱為該樣本的樣本含量（sample size）。例中從某地2008年7歲正常女童中，隨機(jī)抽取了110名女童，測量身高，得到了110名女童的身高測量值，組成了樣本；也可能從就診的前列腺增生癥患者中隨機(jī)抽取了100名患者，并觀察藥物的治療效果，就組成了治療效果的樣本。

統(tǒng)計(jì)推斷

在實(shí)際研究工作中，受條件所限，在研究中很難得到整個(gè)總體，往往只能得到總體中的一個(gè)子集，即實(shí)際工作中往往按隨機(jī)的方式從總體中抽取若干有代表性的同質(zhì)個(gè)體所構(gòu)成的一個(gè)樣本（sample）進(jìn)行研究，這就需要通過樣本有限的、不確定的信息來歓有關(guān)總體的特征，這就是統(tǒng)計(jì)推斷（statistical inference），簡言之，統(tǒng)計(jì)推斷是指由樣本所提供的信息對(duì)總體數(shù)量規(guī)律做出推斷。

數(shù)據(jù)整體的一般描述

極差

又叫全距(Range)，是用來表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)(measures of variation)，其最大值與最小值之間的差距；即最大值減最小值后所得之?dāng)?shù)據(jù)。

均值

通常情況下，我們所說的均值都是所有的數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的數(shù)目，但是，在一些特殊的情況下，會(huì)指明均值的類型，例如是算術(shù)均值，還是幾何均值。

算術(shù)均值(arithmetic mean)

算術(shù)平均數(shù)是對(duì)集中趨勢的最常用的描述。我們對(duì)某個(gè)量進(jìn)行了n次觀測，把測量到的數(shù)值分別記為X1, X2,…, Xn，那么要得到算術(shù)平均數(shù)，只需把X1到Xn加起來，再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n。數(shù)學(xué)公式為：

幾何均值（geometric mean）

幾何平均數(shù)是指n個(gè)觀察值連乘積的n次方根。

中位數(shù)(median)

中位數(shù)是把該變量所有取值從小到大（或從大到小）排序，取最中間的一個(gè)（例如總共有21個(gè)數(shù)，則取排行第11的）。如果樣本量是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)的平均。

眾數(shù)(mode)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫眾數(shù)，有時(shí)眾數(shù)在一組數(shù)中有好幾個(gè)。用M表示。 理性理解：簡單的說，就是一組數(shù)據(jù)中占比例最多的那個(gè)數(shù)。

例如：2，3，3，3，4，5的眾數(shù)是3。 但是，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)都是最多的，那么這幾個(gè)數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 例如：2，2，3，3，4，5的眾數(shù)是2和3。 其次，如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，那么這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)。 例如：2，3，4，5沒有眾數(shù)。

百分位數(shù)(percentile)

如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，則某一百分位所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù)?？杀硎緸椋阂唤Mn個(gè)觀測值按數(shù)值大小排列。如，處于p%位置的值稱第p百分位數(shù)。

百分位數(shù)的計(jì)算

結(jié)果如下：

> quantile(w) # 給出w的四分位數(shù)
   0%   25%   50%   75%  100% 
47.40 57.85 63.50 66.75 75.00 
> quantile(w,probs=seq(0,1,0.2),na.rm=FALSE) # 給出向量w的20%，40%分位數(shù)
   0%   20%   40%   60%   80%  100% 
47.40 56.98 62.20 64.00 67.32 75.00 
> quantile(w,0.80) # 求w的80%分位數(shù)
  80% 
67.32 
> quantile(w,0.75)- quantile(w,0.25) #半極差計(jì)算
75% 
8.9 

另外一種方法是用cumsum()函數(shù)來計(jì)算：

結(jié)果如下所示：

> cumsum(round(table(w)/length(w)*100,2)) # cumsum表示的是累積之和
  47.4     50   56.9     57   58.7   62.2   63.5     64   66.6   66.9     69     72     75 
  6.67  13.34  20.01  26.68  33.35  46.68  53.35  66.68  73.35  80.02  86.69  93.36 100.03 

四分位數(shù)（Quartile)

統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值就是四分位數(shù)。第一，四分位數(shù) (Q1)，又稱“較小四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第25%的數(shù)字。第二，四分位數(shù) (Q2)，又稱“中位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第50%的數(shù)字。第三，四分位數(shù) (Q3)，又稱“較大四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第75%的數(shù)字。第三，四分位數(shù)與第一四分位數(shù)的差距又稱四分位距（InterQuartile Range,IQR）。四分位距的優(yōu)點(diǎn)在于，與全距（極差）相比，較少受異常值的影響。 R中用來顯示四分位數(shù)的函數(shù)是quantile，另外用boxplot可以繪制出某個(gè)數(shù)據(jù)集的箱線圖。

箱線圖結(jié)果boxplot(w)如下所示：

條睛線圖的解讀：最下面是下界，最上面的圓圈是上界，上界的圓圈是異常值，中間矩形的底邊是下分位數(shù)，上邊是上四分位數(shù)，中間的粗線是中位數(shù)，箱體的高是四分位距。

數(shù)據(jù)離散程度的描述

對(duì)于一批數(shù)據(jù)來說，我們有時(shí)候需要看一下這批數(shù)據(jù)的波動(dòng)分散程度如何，這就需要一些指標(biāo)。

變異

醫(yī)學(xué)研究的對(duì)象雖功能復(fù)雜的有機(jī)作整體。不同的個(gè)體在相同的條件下，對(duì)外因環(huán)境因素可以發(fā)生不同的反應(yīng)，這種同質(zhì)基礎(chǔ)上個(gè)體特征值之間的差異，稱為變異（variation）（醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)及SAS應(yīng)用，王炳順）。

離均差

每一個(gè)變量值X與均數(shù)μ的差值，即離均差(X-μ)。

離均差平方和

由于離均差有正有負(fù)，最終所有離均差的和即(X-μ)為0，因此離均差的和無法描述一組數(shù)據(jù)的變異大小。因此將離均差平方后相加得到平方和Var(X)=E(X-μ)^2，這就是離均差平方和（sum of squares of deviations from mean）。

總體方差

雖然離均差平方和消除了正負(fù)的影響，但是如果變量值N越大，則離均差平方和也越大，為此，將離均離平方和除以N就得到了方差，方差用δ^2表示，計(jì)算公式為：

另外，方差（variance）也稱均方差（mean square deviation）

樣本方差

上面的是總體方差，如果是樣本方差，那么總體均值μ是未知的，因此，這個(gè)時(shí)候就要用樣本的均值來替代總體的均值，這個(gè)時(shí)候也不能用δ^2來表示樣本方差，需要用來表示方差，此外，N值也要減去1，公式就如下所示：

樣本方差與總體方差的分母不一樣，這是因?yàn)闃颖痉讲畹姆帜甘褂胣-1才更接近于總體的參數(shù)，這是無偏估計(jì)（unbiased estimator），如果直接使用n，那就是有偏估計(jì)（biased estimator ），不過當(dāng)樣本數(shù)量大到一定程度時(shí)，分母是n-1和n差別不大，具體的證明過程這里略過，網(wǎng)上很多。

標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）是方差的正平方根，其單位與原變量值的單位相同，總體標(biāo)準(zhǔn)差用δ表示，計(jì)算公式為：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差

樣本標(biāo)準(zhǔn)差的公式如下所示：

標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算函數(shù)

在Excel中計(jì)算方差的公式為STDEV.P和STDEV.S其中，STDEV.P計(jì)算時(shí)，認(rèn)為你給出的數(shù)據(jù)是總體，因此它的分母為N，而STDEV.S計(jì)算時(shí)，認(rèn)為你給出的數(shù)據(jù)是樣本，因此它的分母為N-1。在R中，用到的函數(shù)為sd，默認(rèn)的就是樣本，因此分母為N-1。

標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別

在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中，還經(jīng)常遇到標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤。例如我們要調(diào)查地區(qū)A中10歲男孩的身高。如果全部都統(tǒng)計(jì)下來，直接測是最準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。但是成本高，不現(xiàn)實(shí)。因此需要進(jìn)行采樣，一次測量100個(gè)男孩的身高，求這一次的均值M1與標(biāo)準(zhǔn)差S1，如果采樣10次，每次都取100人，我們會(huì)得到10個(gè)均值，分別記為M1，M2，M3…M10，對(duì)這10個(gè)均值再求一個(gè)均值M以及標(biāo)準(zhǔn)差S，其中這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差S就是標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error)，即均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差(standard error of mean)。

變異系數(shù)(coefficient of variation)

簡稱為CV，標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。公式為：

參考資料

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué).第四版.孫振球

小白統(tǒng)計(jì).馮國雙

為什么樣本方差（sample variance）的分母是 n-1？

吳喜之. 統(tǒng)計(jì)學(xué):從概念到數(shù)據(jù)分析[M]. 高等教育出版社, 2008.